数学：3.3.3《简单的线性规划问题（1）》教案（苏教版必修5）

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 7 课时：§3.3.3 简单的线性规划问题（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数
3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值
4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。
二、过程与方法
1.本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
2.考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性
三、情感、态度与价值观
1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新
2.渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣
【教学重点与难点】：
重点：线性规划的图解法
难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解
【学法与教学用具】：
1. 学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系
2. 教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用
2.问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？
二、研探新知
1. 基本概念 对于在约束条件下，若，式中变量、满足上面不等式组，则不等式组叫做变量、的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；
将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．
平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．
因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
2.求解线性规划的可行解的步骤
1 指出线性约束条件和线性目标函数
2 画出可行域的图形
3 平移直线，在可行域内找到最优解
提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？
3.初步尝试
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品乙产品件时，工厂获得的利润为,则.这样，上述问题就转化为：当、满足不等式并且为非负整数时，的最大值是多少？
①变形——把，这是斜率为；当变化时，可以得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点，使直线经点时截距最大
②平移——通过平移找到满足上述条件的直线
③表述——找到给（4，2）后，求出对应的截距及的值
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点满足，
即，而且，直线往右平移时，随之增大．
由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
变题：设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，
∴，．
例2（1）已知，求的取值范围；（2）设，且，，求的取值范围。
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，
作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，所以，．
（2），，，由（1）知，．
例3 已知的三边长满足，，求的取值范围。
解：设，，则，作出平面区域，由图知：，，
∴，即．
四、巩固深化，反馈矫正
1.求的最大值，使式中满足约束条件．
2．已知函数满足，，求的取值范围。
五、归纳整理，整体认识
1.了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
表述方法一：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;
（2）设，画出直线 （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值
表述方法二：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
说明：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
（2）线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
线性规划的意义、最优解的含义
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网