数学：3.4.1《基本不等式的证明（2）》教案（苏教版必修5）

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第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步掌握基本不等式；
2.学会推导并掌握均值不等式定理；
3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法
通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：
重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．重要不等式：如果
2．基本不等式：如果,是正数，那么我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数。
二、研探新知
最值定理：已知都是正数， ①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
证明：∵， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”， ∴当时有；
②当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”∴当时有．
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （1）求 的最值，并求取最值时的的值。
解：∵∴ ，于是，
当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是，此时．
（2）若上题改成，结果将如何？
解：∵ ，于是，
从而，∴的最大值是，此时．
例2 （1）求的最大值，并求取时的的值。
（2）求的最大值，并求取最大值时的值
解：∵，∴，∴则，当且仅当，即时取等号。∴当时，取得最大值4。
例3 若，求的最小值。
解：∵，∴
当且仅当，即时取等号，
∴当时，取最小值
例4 求下列函数的值域:（1）；（2）
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知，求的最大值，并求相应的值。
2．已知，求的最大值，并求相应的值。
3．已知，求函数的最大值，并求相应的值。
4．已知求的最小值，并求相应的值。
五、归纳整理，整体认识
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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