5.3平行线的性质 同步练习（含解析）人教版数学七年级下册

5.3平行线的性质
（共25题，满分100分）
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意保持试卷整洁
一、单选题
1．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为(　　)
A． B． C． D．
3．如图，桌面上有木条b固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
A．20 B．30 C．70 D．80
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等
5．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．74°12′ B．74°36′ C．75°12′ D．75°36′
6．用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一束光线与水平面成 的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于( )
A． B．45° C．50° D．60°
8．有下列四个命题：
①、同位角相等；②、如果两个角的和是 180 度，那么这两个角是邻补角；
③、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直． 其中是真命题的个数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下列是假命题的是（ ）．
A．直角都相等 B．同角的余角相等
C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
10．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠a=44°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．44° C．45° D．46°
二、填空题
11．将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上．若，则的度数为 ．
12．如图,已知AD∥BE,点C是直线FG上的动点,若在点C的移动过程中,存在某时刻使得∠ACB=45°, ∠DAC=22°,则∠EBC的度数为 .
13．如图，下列推理中，请写出你认为是正确推理的编号 ．
①因为，所以；
②因为，所以；
③因为，所以；
④因为，所以.
14．如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．

15．如图，直线l1∥l2，∠1=120°，则∠2= 度．
16．如图， a∥b，直线c与直线a，b相交，已知，则 ．
17．下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
18．小明在楼上点处行到楼下点处的小丽的俯角是，那么点处的小丽看点处的小明的仰角是 度．
19．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB，CD于点E，F，FG是∠EFD的平分线，交AB于点G，若∠FEG=70°，那么∠FGB等于 ．
20．如图，直线，平分，若，则的度数是 ．
三、解答题
21．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）连结，若的2倍与的互余，比的2倍多，求和的度数．
22．如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F．
求证：．
证明：∵于点A，于点F，（已知）
∴．（垂直的定义）
∴AD∥EF，（ ）
∴__________（ ）
∵AE∥CD，（已知）
∴________．（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴．（等量代换）
23．（1）如图，试判断、、之间的关系．并说明理由．
（2）如图，，．试判断和的位置关系，并说明理由．
24．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当，，且时，求的度数．
25．如图，，点E、F分别在线段、上，连结交于G，．若，，，求和的度数．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”和“邻补角互补”来求∠2的度数．
【详解】解：,
,
故选择：B
【点睛】本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2．C
【详解】分析：题中有三个条件，图形为常见图形，可先由AB∥DE，∠BCE=35°，根据两直线平行，内错角相等求出∠B，然后根据三角形内角和为180°求出∠A．
详解：∵AB∥DE，∠BCE=35°，∴∠B=∠BCE=35°（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣35°=55°（在直角三角形中，两个锐角互余）．
故选C．
点睛：看到两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
3．B
【详解】如图当a逆时针旋转至c位置时与b平行，旋转角为∠3，
∵c∥b，∴∠2=∠1=70°，
∵∠1+∠3=100°，∴∠3=30°.
∴n=30.
故选B.
点睛：本题关键在于结合旋转与平行线的性质解题，并且要注意旋转角的范围.
4．C
【分析】分别写出下列命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A．逆命题为相等的两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意；
B．逆命题为两个数的绝对值相等，那么这两个相等，逆命题不成立，不符合题意；
C．逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题成立，符合题意；
D．逆命题为两个角相等，那么两个角都是，逆命题不成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题并作出正确的判断．
5．C
【详解】试题分析：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．故选C．
考点：1．平行线的性质；2．度分秒的换算；3．跨学科．
6．D
【分析】根据反证法的步骤可直接进行排除选项．
【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设；
故选D．
【点睛】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
7．A
【详解】
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠2，
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，
∴∠2=∠4，
又∵∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，
∴∠3=60°÷2=30°，
∴∠4=30°，即∠DCB=30°
故选A
8．B
【分析】根据同位角的性质、补角的定义、垂直和平行的性质求解即可．
【详解】①、两直线平行，同位角相等，错误；
②、如果两个角的和是 180 度，那么这两个角是补角，错误；
③、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
④、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误．
其中是真命题的有1个
故答案为：B．
【点睛】本题考查了，掌握同位角的性质、补角的定义、垂直和平行的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据直角、余角的概念、对顶角的概念、平行线的判定进行判断．
【详解】A、直角都相等，是真命题；
B、同角的余角相等，是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，则相等的角是对顶角是假命题；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．D
【分析】过E作EM∥AB，则EM∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠β=90°，再由∠α可求解．
【详解】解：由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，
过E作EM∥AB，则EM∥CD，
∴∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，
∵∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°，
∴∠α+∠β=90°，
∵∠α=44°，
∴∠β=90°-44°=46°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
11．
【分析】由余角的性质可得，，再由，可得，即可求出答案．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：105
【点睛】本题考查了余角的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握余角的性质，平行线的性质．
12．23°
【分析】过C作直线AD的平行线CP，利用平行线的性质得到和∠DAC、∠EBC相等的角，然后结合这些等角和∠ACB的位置关系，可求解.
【详解】过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE, ∴AD∥BE∥PC,
∵AD∥PC, ∴∠ACP=∠DAC,
同理可得：∠BCP=∠EBC,
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC, ∠ACB=45°, ∠DAC=22°,
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用平行线的性质.
13．①②④
【分析】本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题．
【详解】解：①，此结论正确；
②，此结论正确；
③，而，此结论错误，
④，此结论正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
14．
【分析】本题考查了矩形的性质和平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”的应用，关键是得出与互补．
根据三角形的内角和得到，根据平角的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．120.
【详解】试题解析：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=120°，
∵∠3=∠2，
∴∠2=120°．
考点：1.平行线的性质；2.对顶角、邻补角．
16．70°
【详解】试题分析：根据图形可得∠1的对顶角和∠2是同位角，从而根据对顶角相等及同位角相等的知识可得出∠2=180°-110°=70°．
考点：平行线的性质
17． 3 2
【分析】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半．因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小．
【详解】解：图1、2、3的高相等，图2三角形的底是8，8÷2＝4，图1梯形的上、下底之和除以2，即为（2+7）÷2＝4.5；图3平行四边形的底为5，
∵5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小．
故答案是：3，2．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及等积法，熟练掌握平行线间的距离相等及等积法是解题的关键．
18．
【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小丽看点A处的小明的仰角的度数，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，

∠BAC＝32°，
∵AC∥BO，
∴∠ABO＝∠BAC，
∴∠ABO＝32°，
即点B处的小丽看点A处的小明的仰角等于32度，
故答案为32．
【点睛】本题利用平行线间角的关系求仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．
【分析】利用平行线的性质，可证得∠DFE+∠FEG=180°，∠FGB+∠DFG=180°，就可求出∠DFE的度数，再利用角平分线的定义求出∠DFG的度数，由∠FGB+∠DFG=180°可求出结果.
【详解】解：∵AB∥CD
∴∠DFE+∠FEG=180°，∠FGB+∠DFG=180°
∴∠DFE=180°-70°=110°
∵ FG是∠EFD的平分线
∴∠DFG=
∵∠FGB+∠DFG=180°
∴∠FGB=180°-55°=125°
故答案为125°
【点睛】此题考查了平行线与角平分线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
20．/70度
【分析】根据角平分线的定义得出，进而利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
21．（1）见解析；（2）∠B=46°，∠BCD=134°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B+∠BAD=180°，∠D+∠BAD=180°，再根据等量代换得到结果；
（2）设∠B=x，根据题意表示出∠CAD和∠ACD，根据∠B+∠BAD=180°，得到方程，解之可得∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BCD．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠BAD=180°，
∴∠B=∠D；
（2）设∠B=x，
∵的2倍与的互余，
∴∠CAD=，
∵比的2倍多，
∴∠BAC=∠ACD=2x+20°，
∵∠B+∠BAD=180°，
则x++2x+20°=180°，
解得：x=46°，即∠B=46°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=134°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．见解析
【分析】首先根据同位角相等，两直线平行， 再根两直线平行，内错角相等得到=．最后根据两直线平行，同位角相等得到，再进行等量代换即可．
【详解】证明：∵于点A，于点F，
∴．
∴， （同位角相等，两直线平行）
∴=．
（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，掌握相关知识是解题的关键．
23．（1），证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）过点F作AB的平行线FH，由平行线的性质可得AB∥FH∥CD，由两直线平行，内错角相等，得到∠BEF=∠EFH，∠FGD=∠HFG，所以∠BEF+∠FGD=∠EFH+∠HFG，即∠EFG=∠FGD+∠BEF．
（2）思路同（1）根据∠EFG=∠FGD+∠BEF，求出∠EFG=90°从而得出EF⊥FG．
【详解】（1）解：
证明：过点作的平行线
，
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（已作）
（两直线平行，内错角相等）
（已证）
（两直线平行，内错角相等
（等量代换）
即：
（2）
证明：过点作的平行线
，
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（平角的定义）
（已作）
（两直线平行，内错角相等）
（已证）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
即：
（垂直的定义）
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)135°
【分析】(1)过点P作PE//CD于点E，易得AB//PE，CD//PE，通过两直线平行同旁内角互补即可得出结论；
（2）过点M作MF//CD，易得AB//MF，CD//MF，通过两直线平行内错角相等和同旁内角互补即可得出结论；（3）延长AM交CD于点G，延长AP与CD延长线交于点H，易得180°-∠BAM+∠MDG=150°再通过已知条件得出∠BAP-∠NDC=45°，最后∠APC=∠PHC+∠PCH=180°-∠BAP+∠NDC=180°-（∠BAP-∠NDC），代入即可求得答案．
【详解】（1）过点P作PE//CD于点E，
∴∠EPC+∠DCP=180°，
∵，
∴AB//PE，
∴∠BAP+∠APE=180°，
∴∠BAP+∠APE+∠EPC+∠DCP=360°，
∴；
（2）过点M作MF//CD，
∴∠FMD=∠CDM，
∵，
∴AB//MF，
∴∠BAM+∠AMF=180°，
∴∠BAM+∠AMD-∠FMD=180°，
∴；
（3）延长AM交CD于点G，延长AP与CD延长线交于点H，
∵，
∴∠BAG+∠AGD=180°，
∵∠AMD=∠MGD+∠MDG=150°，
∴180°-∠BAM+∠MDG=150°，
∵，
∴∠CDM=∠NDC，
∵,
∴180°-=150°，
∴=30°，
∴∠BAP-∠NDC=45°，
∵，
∴∠BAP+∠PHC=180°，
∵PC//ND，
∴∠PCH=∠NDC，
∴∠APC=∠PHC+∠PCH=180°-∠BAP+∠NDC=180°-（∠BAP-∠NDC）=180°-45°=135°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是添加适当辅助线，构造平行线解决问题．
25．，
【分析】根据得到，从而得到，即可得到，根据得到，从而得到，再根据即可得到.
【详解】解：∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∵，且
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质进行求解.
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