初中数学华师大版八年级下册19.1矩形练习（含解析）

华师大版第十九章第一节矩形练习
一、单选题
1．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
2．一个木匠有长的木材，他想用这些木材围绕花园苗床做一个护栏．他为花园苗床设计了如图所示的四种方案，其中不能实现的方案是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．24
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（　　）
A．25° B．30° C．50° D．60°
6．如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（　　）
① ；②当点 与点 重合时 ；③ 的面积 的取值范围是 ；④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
二、填空题
7．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，则∠BAC=　 　.
8．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则图中四个小矩形的周长之和为　 　.
9．七年级某班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．小明同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝10cm，宽AB＝8cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，则EC的长度为 　 　．
10．如图，在矩形 中， ，将 沿射线 平移得到 ，连接 ，则 的最小值是　 　.
三、解答题
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
12．如图，把一张长方形的纸片按如图所示样子折叠，则重合部分的是什么形状，并说明理由．
13．在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．
14．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 ，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得.
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 花园苗床周长为：（10+6）×2=32m，故此方案能实现，此方案不符合题意；
B、 花园苗床周长为：（10+6）×2=32m，故此方案能实现，此方案不符合题意；
C、花园苗床周长为：（10+6）×2=32m，故此方案能实现，此方案不符合题意；
D、由于垂线段最短，所以平行四边形的另一边长一定大于6m，∴根据平行四边形周长的计算方法可得花园苗床周长一定大于32m，故此方案补能实现，此方案符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平移的思想，A、C选项花园苗床的周长与B选项一样，就是一个长为10m，宽为6m的矩形的周长，从而根据矩形周长计算方法进行计算后可判断A、B、C三选项；D选项中花园苗床的周长就是一个底边为10m，高为6m的平行四边形的周长，根据垂线段最短及平行四边形的周长计算方法进行计算可判断D选项.
3．【答案】B
【解析】【分析】易证△AOE≌△COF，则阴影部分的面积为△CDO的面积，根据矩形对角线分成的四部分面积相等，即可计算阴影部分的面积，即可解题．
【解答】在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为．
故选B．
【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了矩形面积的计算，本题中求证阴影部分的面积与△CDO的面积相等是解题的关键．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝10﹣8＝2．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义得∠DEC＝∠ADE=∠AED，利用等角对等边可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长，然后证明CE＝AD﹣BE，代入计算求出CE的长.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°.
故答案为：C.
【分析】 由折叠的性质可得∠ACB′=∠1，由矩形的性质可得出AD∥BC，再根据“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3故①不符合题意；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE= ，
∴BF=DE=6- = ．
∴HF= - = ．
在Rt△EFH中
= ；
故②符合题意；
③当点E与点A重合时，如图所示， 的面积 有最小值= = ，
当点G与点D重合时 的面积 有最大值= = ．
故 < < ．
故③不符合题意．
④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，
∴ ．
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，直角三角形的性质，判断得到答案即可。
7．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，BO=CO，
∵∠BOC=120°，
∴∠OBC=∠OCB= =30°，
∴在Rt△ABC中，
∠BAC=180°-90°-30°=60°，
故答案为：60°.
【分析】利用矩形的性质可得∠ABC=90°，BO=CO，根据等边对等角及三角形的内角和定理得出∠OBC=∠OCB=30°，最后根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数.
8．【答案】14cm
【解析】【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至 AD ，所有下边平移至 BC ，所有左边平移至 AB ，所有右边平移至 CD ，
则五个小矩形的周长之和=2(AB+BC)=2×(3+4)=14（cm）.
故答案为：14cm.
【分析】运用平移的观点，五个小矩形的上边之和等于 AD ，下边之和等于 BC ，同理，它们的左边之和等于 AB ，右边之和等于 DC ，可知五个小矩形的周长之和为矩形 ABCD 的周长.
9．【答案】3cm
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝10cm，AB＝8cm
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，
根据翻折的性质可得AF＝AD＝10cm，EF＝DE，
设EC＝xcm，则EF＝DE＝（8－x）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得： BF
BF ，
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4cm，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得：
即 ．
解得：
即：EC=3cm
故答案为：3cm
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质可得AF=AD=10cm，EF=DE，设EC＝xcm，则EF＝DE＝（8－x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF的长，进而求得CF的长，在Rt△EFC中，由勾股定理可得关于x的方程，再求解即可。
10．【答案】
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，∠A=90°，
∴BD= =2，
∵将 沿射线 平移得到 ，
∴ =BD=2，
作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接 ，
则C = ，CE⊥BD，CG=2CE，
∵CE= ，
∴CG= ，
以 ， 为邻边作平行四边形 GH，
则 H= G=C ，
当C、 、H在同一条直线上时，C + H最短，
则 C+ C的最小值=CH，
∵四边形 GH是平行四边形，
∴HG= =2，HG∥ ，
∴HG⊥CG，
∴CH= ，
故答案为： .
【分析】根据题意计算出 =BD=2，作点C关于BD的对称点G，作平行四边形 GH，利用等积法求出CE，进而得到CG，通过当C、 、H在同一条直线上时，C + H最短，可以得到 C+ C的最小值=CH，根据勾股定理可求得结果.
11．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可.
12．【答案】解：重合部分是等腰三角形．
由折叠可知， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD
，
，
．
是等腰三角形．
【解析】【分析】根据平行线的性质和翻折的性质求出∠ABD=∠C'DB，得到△BED是等腰三角形．
13．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，
∵OE垂直平分AC，
∴EC=AE，
设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，
在△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2=EC2，
即（4﹣x）2+22=x2，
解得：x=，
∴CE的长是．
【解析】【分析】由矩形的性质得出AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出EC=AE，设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，在△DEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
14．【答案】A解：（Ⅰ）如图①中，作 轴于H.
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅱ）如图②中，作 于K.
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标
【解析】【分析】（1）证明四边形ADCH为矩形，根据矩形的性质求出答案即可；
（2）作DK⊥AC于K，在直角三角形ADC中，求出DK和AK的值，解出答案即可；
（3）根据题意，由轴对称的性质，结合两点之间线段最短，即当点P和点P'重合时，可得到PA+PD的最小值，求出直线A'D的解析式即可。
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