2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D. 或
4.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是( )
A. B.
C. D.
6.侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，设，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则以下说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若与夹角为锐角，则的取值范围为
10.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则，是异面直线
D. 若，，，则或，是异面直线
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则外接圆半径为
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，，则三角形面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数为虚数单位，且的共轭复数为，则 ______．
13.如图所示，直观图四边形是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．
14.九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马” 现有如图所示的“堑堵”，其中，，当“阳马”四棱锥的体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且．
求向量，的夹角；
求的值．
16.本小题分
如图所示，在正六棱锥中，为底面中心，，．
求该正六棱锥的体积和侧面积；
若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．
17.本小题分
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动处有一栋大楼，某学生选B，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为．
求，两点间的距离；
求大楼的高度．
18.本小题分
如图所示，在正方形中，，，，与交于点，线的延长线交于点．
求的值；
若，求实数的值．
19.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数为虚数单位的虚部为．
故选：．
利用复数的基本概念求解即可．
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可得：，
，
，
．
故选：．
由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．
本题主要考查正弦定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：向量，，
则，，
故所求投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面的基本事实及推论的应用，四点共面的判断，解题的关键是由三点确定一个平面，再判断另一个点是否在平面内，属于较易题．
选项A，，中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B中通过证明两条直线平行，从而判断得到答案．
【解答】
解：对于选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，
而点不在直线上，
故E，，，四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线，
则由中位线定理可知，，又，
则，
故E，，，四点共面；
对于选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，
而点不在该平面内，
故E，，，四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点，，确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，
而点不在直线上，
故E，，，四点不共面．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为，
由侧面展开图是一个半圆，则，
解得，，
所以圆锥的底面半径为．
故选：．
设圆锥的底面圆半径为，母线长为，根据题意列方程组，即可求出的值．
本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以．
故选：．
利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
由，得，
所以，当且仅当时，取等号，
则，
所以的面积的最大值为．
故选：．
根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，则或，
故选项A不正确；
由，则，
故选项B正确；
由，则，
故选项C正确；
：若与夹角为锐角，则且不共线，
所以且，
的取值范围为，
故选项D不正确．
故选：．
选项A利用向量模的坐标表示出来，然后解不等式即可；选项B由向量垂直，找出等式解出即可；选项C利用向量共线性质即可；选项D由向量夹角及数量积关系即可解决问题．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：
对于，若，，则由线面垂直的性质定理得，故A正确；
对于，若，，则或，故B错误；
对于，若，，则，相交、平行或异面，故C错误；
对于，若，，，则或，是异面直线，故D正确．
故选：．
对于，由线面垂直的性质定理得；对于，或；对于，，相交、平行或异面；对于，或，是异面直线．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为，不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为，为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确．
故选：．
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知，的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确．
本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由得，
所以，即，
所以．
故答案为：．
根据复数模长的性质求解
本题主要考查复数模长的性质，属于基础题，
13.【答案】
【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底，高，下底为，
．
故答案为：．
原图为直角梯形，上底为，高为，下底为，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，球的体积，球的切、接问题，属于中档题．
先根据棱锥的体积公式求出的长度，进而由勾股定理求出球的直径，再利用球的体积公式可得答案．
【解答】
解：由题意得平面，
则四棱锥的体积为，
所以，
此时三棱柱的外接球的直径，
故三棱柱的外接球的体积为．
故答案为：．
15.【答案】解：由，，可得，解得，
则，
又因为，所以．
由且，
则．
【解析】根据，求得，利用夹角公式，即可求解；
根据，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：由条件可知正六边形的边长为，
所以底面积为，
该正六棱锥的体积为．
正六棱锥的侧棱长为，
侧面等腰三角形的面积为，
故该正六棱锥的侧面积为．
球心一定在直线上，设球的半径为，
则，
又，
所以，解得．
所以球的表面积为，
体积为
【解析】由正六棱锥的几何特征，再应用体积和侧面积公式求解即可；
由正六棱锥的几何特征，根据球的表面积和体积求解即得．
本题主要考查球的表面积和体积，属于中档题．
17.【答案】解：在中，，
根据正弦定理可知：，则，
所以；
，
在中，因为，则，
所以
．
【解析】直接根据正弦定理即可求；大楼的高度即可得．
本题考查正弦定理，考查三角函数在实际中应用．
18.【答案】解：因为，所以，
所以，
，，
因为，，
所以；
设，
因为，，
所以，
设，又，
则，
所以，解得，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，，三点共线，即共线，
所以，
所以．
【解析】利用基向量表示，再利用平面向量数量积的运算律和定义即可求；
设，，根据平面向量的线性运算利用表示，根据平面向量基本定理求，再表示，根据，，三点共线求．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的数量积，属于中档题．
19.【答案】解：由条件得，
由余弦定理得，
因为，所以，
得，即，
因为，所以，
又，所以．
．
因为为锐角三角形，
所以，且，所以．
所以
即的取值范围是．
【解析】利用余弦定理进行求解即可；
利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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