2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.若圆锥高为，体积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.“阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体已知，则该半正多面体外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数对应的点在第二象限
B. 若为虚数单位，则
C. 在复数集中，方程的两个解分别为和
D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆
10.是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. B. 在上的投影向量等于
C. D. 的最小值为
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有( )
A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的侧面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．
13.已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是______．
14.已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，，求向量与的夹角．
16.本小题分
六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸单位：如图所示．
求该六角螺帽的体积；
求该六角螺帽的表面积．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且C.
求角的大小；
若，，求的面积．
18.本小题分
在；；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且_____．
求角的大小；
若，求周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数满足，
则．
故的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：已知平面向量，，
，
，
，
即，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故，
，
，解得，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面图形的直观图，属于较易题．
根据所给的数据求出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积得到原图形的面积是，得到结果．
【解答】
解：矩形是一个平面图形的直观图，其中，
直观图的面积是，
直观图的面积：原图的面积，
原图形的面积是．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，由已知可得，，得．
可得圆锥的母线长．
圆锥的侧面积，
故选：．
由已知求出圆锥的底面半径，再求出母线长，即可求解圆锥的侧面积．
本题考查圆锥侧面积与体积的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
因为，所以，
，
在中，．
故选：．
利用余弦定理正弦定理可得答案．
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：
，
、、三点共线，
，
．
故选：．
由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为得到，然后利用基本不等式求最值．
本题考查了共线向量基本定理的应用，考查了利用基本不等式求最值，关键是“”的用法，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，，，，
，分别为，的中点，则，
正方体的棱长为，
故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，
故该半正多面体外接球的表面积为．
故选：．
根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积．
本题主要考查了多面体外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：复数对应的点的坐标为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
，
因此在复数集中，方程有两个解，依次为和，故C正确；
复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆面，故D错误．
真命题的是．
故选：．
根据复数的代数表示法及其几何意义可判断；根据的性质可判断；根据复数方程的根可判断；根据复数的几何意义可判断．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A中，以，为邻边作平行四边形，，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以，，三点共线，且，
所以，，
所以，选项A正确；
选项B中，在上的投影向量为，选项B错误；
选项C中，因为，所以，
所以，
因为点是的重心，所以，选项C正确；
选项D中，取的中点，连结，，取中点，
则，，
则，
则，
，
当，重合时，，取最小值，选项D正确．
故选：．
根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断，根据投影向量的定义，判断；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断．
本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了平面向量的线性运算，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由，且，
可得，高，
则圆台轴截面的面积为，故A正确；
对于，圆台的体积为，故B错误；
对于，圆台的侧面积为，故C正确；
对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角，
设的中点为，连接，可得，，，
则．
所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故D正确．
故选：．
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D．
本题考查圆台的轴截面面积的求解，圆台体积的求解，圆台的侧面积的求解，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了球的切接，球的体积公式，是基础题．
先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可．
【解答】解：由题意知，球内切于正方体，，．
所以球的体积，
即可制作的最大零件的体积为．
13.【答案】
【解析】解：以和为基底，利用坐标表示，，
由与是共线向量，得，解得．
故答案为：．
根据平面向量的共线定理，列方程求解即可．
本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，设边上的高为，边上的中线为，
在中，，
所以，
由，平方可得
，
又，
则有，
化简得，
解得，
又因为，所以，
所以．
故答案为：．
通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化，解得，即可得到答案．
本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
15.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
由题意可得，，，
，
，

【解析】由已知结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解；
由已知结合向量夹角公式的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
16.【答案】解：六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积：
；
六角螺帽的表面积：
．
【解析】六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可；
根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案．
本题考查了棱柱和圆柱的表面积与体积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，；
，由正弦定理得，
又，
联立得，，
．
【解析】先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角，即可得出答案；
先利用正弦定理将转化为，的关系，再结合中的条件求出，，最后利用三角形的面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：选择条件：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得，
因为，所以；
选择条件：由及正弦定理，
得：，
即．
即．
在中，，所以，
即，因为，所以，所以，
因为，所以；
选择条件：由及正弦定理，
得：，
因为，，所以．
在中，，则，
故．
因为，所以，则，
故；
在中应用余弦定理得：，
所以，因为，
所以因为，
所以，解得：，
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的取值范围是：．
【解析】若选择，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；
若选择，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；
如选择，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；
利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
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