2023-2024学年北京三十五中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京三十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各角中，与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.向量，与的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，周期为的偶函数为( )
A. B. C. D.
5.设向量，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. 与垂直 D.
6.已知，，那么等于( )
A. B. C. D.
7.设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 的图像可以由图像左移得到
8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限则( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，某风车的半径为，每旋转一周，它的最低点距离地面风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为则与满足的函数关系为( )
A.
B.
C.
D.
10.在菱形中，，，是的中点，是上一点不与，重合，与交于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. ______．
12.已知，均为单位向量，且，那么 ．
13.已知，则 ______，的最小值为______．
14.在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．
当时，函数的对称中心坐标为______；
当时，合音的音调比纯音 ______填写“高”或“低”．
15.已知函数其中，，，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：
是偶函数；
；
是奇数；
的最大值为．
其中正确的命题有______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
Ⅰ求与的值；
Ⅱ若角满足，且角为第三象限角，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调递增区间．
18.本小题分
某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ求在上的最大值和最小值；
Ⅲ若，且，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若函数在区间上有且仅有个零点，求的取值范围．
条件：函数的最小正周期为；
条件：函数的图象经过点；
条件：函数的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多组符合要求得条件分别解答，按第一组解答计分．
20.本小题分
已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且其在处取得最小值．
求参数和的值；
若，求向量与向量夹角的余弦值；
若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
对于数集，其中，，定义向量集，，，若对任意，存在，使得，则称具有性质．
Ⅰ判断是否具有性质；
Ⅱ若，且具有性质，求的值；
Ⅲ若具有性质，求证：，且当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与角终边相同的角的集合为，
取，可得．
与角终边相同的是．
故选：．
写出与终边相同角的集合，取值得答案．
本题考查终边相同角的概念，是基础的概念题．
2.【答案】
【解析】解：，与的夹角为，
．
故选：．
由向量，与的夹角为，直接利用平面向量数量积的运算公式得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
则．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，，由题意可知，的定义域为，，
所以为奇函数，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，，
由题意可知，的定义域为，
，所以为偶函数，故D正确．
故选：．
利用三角函数的周期公式及二倍角的余弦公式，结合函数的奇偶性的定义及诱导公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的周期性及奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，故不正确，即A错误
，故B错误；
，，与垂直，故C正确；
，易得不成立，故D错误．
故选C
本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．
判断两个向量的关系平行或垂直或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行共线及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为，两个向量若垂直，对应相乘和为”．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
把已知的条件代入，运算求得结果．【解答】
解：已知，
，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：对于函数，由于它的最小正周期为，故A错误．
令，求得，可得的图像关于点对称，故B错误．
令，求得，为最大值，可得的图像关于直线对称，故C错误．
把由图像左移个单位，可得的图象，故D正确．
故选：．
由题意，根据余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于，当时，的值趋近于，的值趋近于，故A错误；
当时，，，故B错误；
，
则，故C正确，D错误．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及作差法，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设与满足的函数关系为，
由题意最大值为，最小值为，
所以，，
由题意知，某风车每旋转一周，
所以，
所以，
又风车从最低点开始运动，
所以函数过点，
则，
不妨设，
所以与满足的函数关系为．
故选：．
设与满足的函数关系为，由题意求出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出，，，再将点代入函数解析式求出，由此可得则与满足的函数关系．
本题考查了在实际问题中建立三角函数模型与应用问题，考查了函数思想和数形结合思想，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：作出示意图形，如下图所示，根据题意，可得，
在点从到的运动过程中，与变大，且它们的夹角变小，可知变大，
若与重合，则，，
可得，
由于点在、之间，且不与，重合，所以为锐角，
当与无限接近时，趋近于；当与无限接近时，趋近于，
因此可得，即的取值范围是．
故选：．
根据题意作出图形，观察可得：在点从到的运动过程中，变大．然后在与重合的情况下，计算出的值，继而算出的取值范围．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量的数量积及其应用等知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为．
利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示．
本题考查诱导公式的应用，，体现了转化的数学思想．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于基础题．
利用向量的模的运算法则，化简求解即可．
【解答】解：向量均为单位向量，且，
那么．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，
则；
又，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：；．
利用特殊角的三角函数值可求得的值，再利用三角函数的性质可求得的最小值．
本题考查了三角函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】， 低
【解析】解：时，函数，对称中心坐标为，；
当时，，
因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，，的最小正周期为，
所以的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为，所以比的频率低，故音调低．
故答案为：，；低．
根据时，写出函数图象的对称中心坐标即可；
计算时的最小正周期和频率，与比较即可．
本题考查了三角函数的周期与频率计算问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数其中，，，恒成立，
可得，，，
解得．
由题意，可得，即，可得 ．
由、可得，，即，，，，，．
若时，，，满足条件．
若时，，，满足条件．
若时，，，在区间上不单调，不满足条件．
当时，，且区间上不单调，不满足条件．
综上，或
故选项错误．
由于为函数的对称轴，所以应有，故选项正确．
根据，，可得选项正确．
由解答过程可得，或，故选项正确．
故答案为：．
首先根据函数的性质的应用求出函数的和，进一步利用正弦型函数性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
16.【答案】解：由题意得，，
所以，
；
Ⅱ若角满足，且角为第三象限角，
则，
所以
．
【解析】Ⅰ由已知结合三角函数的定义及诱导公式，二倍角公式即可求解；
Ⅱ结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：函数
，
函数的最小正周期；
令，
解得，，，
则函数的单调递增区间为，．
【解析】运用二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的周期公式，以及正弦函数的增区间，解不等式，即可得到所求区间．
本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的周期公式和单调增区间，考查运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由表格可知，，所以，
所以，
因为，所以，，
由，得，
所以
当上时，，
因为在上单调递减，在上递增，
所以的最大值为，
又，，
所以的最小值为．
由，得，
由，得，
所以，
解得：．
【解析】根据最低点的坐标求出的值，利用最值点的横向距离求出周期，进而求出的值，再由求出的值，可得的解析式；
利用换元思想求的最值即可；
解不等式，结合的取值范围求解即可．
本题考查“五点法”的应用，考查三角函数的单调区间、最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知，，
选择：因为，
所以，
又因为，
所以，；
若选：因为，
所以，
因为的最大值为，即，
所以；
若选：因为，
所以，
因为的最大值为，即，
此时不存在；
若选，令，则，
所以，，
当，时，函数的零点为，
因为函数在区间上有且仅有个零点，
所以，
所以的取值范围是；
选择：，
令，则，，或，，
所以，，或，，
当时，函数的零点分别为，
因为函数在区间上有且仅有个零点，
所以
【解析】先利用二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合所选项条件可求出函数解析式；
Ⅱ令可求出满足题意的，然后结合函数零点所在的范围即可求解的范围．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，
，
又时，取最小值，
则，，
，，
又，则，
即，；
因为，所以，
则，，，
则，
则，
即向量与向量夹角的余弦值为；
因为是上动点，，，，
又恒成立，
设，
则，，
则，
易知在或处有最小值，在或处有最大值，
所以当或时，有最小值，
即当在或时，有最小值，此时或，
当为时，，，，得，
又，则，
当为时，，，
，解得，
综上，
即的取值范围为．
【解析】由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点位置，然后根据最小值大于等于可得的取值范围．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
21.【答案】解：Ⅰ具有性质．
Ⅱ选取，中与垂直的元素必有形式．
所以，从而；
证明：取，设满足．
由得，所以、异号．
因为是中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，
故．
假设，其中，则．
选取，并设满足，
即，则，异号，从而，之中恰有一个为．
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾．
所以．
【解析】Ⅰ根据新定义直接判断即可．
Ⅱ在中取，根据数量积的坐标公式，可得中与垂直的元素必有形式，所以，结合，可得的值．
Ⅲ取，根据，化简可得，所以、异号．而是数集中唯一的负数，所以、中的负数必为，另一个数是，从而证出，最后通过反证法，可以证明出当时，．
本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．
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