2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练： 圆综合之正A型专项训练（八）（含答案）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练
圆综合之正A型专项训练（八）
1．如图，在中，，以为直径的半圆交斜边于点，过点作//，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）已知半圆的直径为6．
①若，则 ▲ ；
②若，求四边形的面积．
2．如图，已知的直径与弦相交于点E．且E为中点，过点B作交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）连接，若的半径为4，，求、的长．
3．如图所示，在中，，以AB为直径的⊙O与交于点D，过点D作于点F，交的延长线于E．
（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当，⊙O的直径为30时，求的长．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB，垂足为D，在AC延长线上取点E，使∠CBE=∠BAC.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，BE＝6，求⊙O的半径OA.
5．如图，AB是⊙的直径，，点P为AB延长线上一点，点C为⊙上一点，过点A作于点E，AE交⊙于点D．若点C是的中点，解答下列问题．
（1）求证：PC是⊙的切线．
（2）若，求AE的长．
6．如图，已知AB为☉O的直径，AC，CD是弦．AB⊥CD于E．OF⊥AC于F．连接BC．
（1）求证：；
（2）若BE＝2cm，，求AC的长．
7．如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连结BE.
（1）求证：.
（2）若点F为中点，且，求线段的长.
8．如图，四边形ABCD中，ADBC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G.
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求cos∠EDF的值；
（3）求线段BG的长.
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接AC交⊙O于点F，AE平分∠DAC.
（1）求证：AC⊥CD；
（2）若∠D=30°，AD=6，求AF的长.
10．如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求BD的长．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD与⊙O相切于点D；
（2）若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．
12．如图， 与 的AB，AC边分别相切于点D、C，与BC边交于点E，CE是 的直径.
（1）求证： .
（2）若 ，求BE的长.
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别交AC、BC边于点E、F，连接EF，OE，已知EF平分∠OEC，OE的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若EG=5，CG=3，求线段AE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．
（1）求证：∠DCB＝∠DOF；
（2）若tan∠A＝ ，BC＝4，求OF、DF的长．
参考答案
1．【答案】（1）证明：连接OE，
∵OD∥AC，
∴∠BOD=∠A，
∠EOD=∠AEO，
又∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠DOB=∠DOE，
在△DOE和△DOB中，
∴△DOE≌△DOB，
∴∠DEO=∠DBO=90°，
∴DE为圆O的切线；
（2）解：①10；
②有①知AC=2OD，
∴OD= ，
在直角△BOD中，
BD= ，
∴S△BOD= ，
由（1）知△OED≌△OBD，
∴S△DOE= S△BOD=，
∴S四边形BDEO =9．
2．【答案】（1）证明：∵⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，
∴∠AED=90°，
∵，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线
（2）解：连接BD，CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵sin∠BAD＝sin∠BCD＝，
∴，
∴设BD=3x，AB=4x，
∴
∵⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴4x=8，
解得x＝2 ，
∴AD＝．
由
3．【答案】（1）解：直线与⊙O相切．
理由如下：
如图所示，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO．
∵∠DOE是△AOD的一个外角，
∴∠DOE=2∠A．
∵∠CBE=2∠A，
∴∠DOE=∠CBE．
∴OD//BC．
∵ DF⊥BC，
∴∠BFE=90°．
∴∠ODE =90°．
∴ OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知OD⊥DE，
∵DF⊥BC，
∴ OD∥BC．
∴△EFB∽△EDO．
∴．
在Rt△BEF中，
∵，设BF=3x，BE=5x．
∵AB=30，
∴OB=OD=15．
∴，
解得：x1=0，x2=2．
经检验x=2是原分式方程的解．
∴BF =3x=3×2=6．
4．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠CBE＝∠BAC，
∴∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
设OA＝r，
∵∠CDA＝∠ABE＝90°，∠BAF＝∠DAC，
∴△ADC∽△ABE，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OCD中，OD2+CD5＝OC2，
∴，
∵r＞0，
∴，
∴OA＝3.
5．【答案】（1）解：如图，连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠ACO=∠EAC，
∴OC//AE，
∵AE⊥PE，
∴∠OCP=∠AEP=90°，
∵OC为⊙半径，
∴PC是⊙的切线．
（2）解：∵AB=12，BP=4，
∴OC=OB=AB=6，OP=OB+BP=10，AP=AB+BP=16，
由（1）可知OC//AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，即，
解得：AE=．
6．【答案】（1）证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又∵OF⊥AC，
∴．
（2）解：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得；
∴的长为cm．
7．【答案】（1）证明 ∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴ABBC，
∵DE⊥AB，
∴DE//BC，
∴，
∵弧AE所对圆周角是和，
∴，
∴；
（2）解：连接OE，
∵点F为OB中点，ABBC，
∴=，
，
∴，
EF=FD=，
∴ AF=3，
，
∽，
∴，即，
得，.
8．【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴BC为⊙A的切线；
（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∠DHB＝90°，由（1）知，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∵AB＝AD＝1，
∴矩形ABHD是正方形，
∴BH＝DH＝AB＝1，
在Rt△DHC中，CD＝，根据勾股定理得，CH＝＝2，
∴cosC＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠C，
∴cos∠EDF＝cosC＝；
（3）解：如图2，
过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，
在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF＝，
∴DM＝AD cos∠EDF＝1×＝，
∴DF＝2DM＝，
∴CF＝DF+CD＝＝，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴，
由（2）知，BC＝1+2＝3，
∴＝，
∴DG＝，
∴AG＝DG﹣AD＝，
在Rt△BAG中，BG＝＝＝.
9．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴CD，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
又AE平分∠DAC，
∴∠EAC=∠OAE，
∴∠OEA=∠EAC，
∴OEAC，
∴CD.
（2）解：如图，连接BF，
由（1）得CD，∠C=90°
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∴∠BFA=∠C，
∴BFCD，∠FBA=∠D=30°，
设⊙O的半径为r，
∵∠D=30°，由（1）得CD，
∴DO=2OE=2r，
AD=DO+AO=3r，
∵AD=6，
∴r=2.则AB=2r=4，
在Rt△BFA中，∠FBA=30° ，
AF=AB=2.
10．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∵点E为BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OD是的半径，
∴DE与相切；
（2）解：由（1）知，，
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
11．【答案】（1）解：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOF＋∠OAD＝90°，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC＋∠ODA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴OF∥BD，OA＝OB，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC＋OB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF OE＝9 6＝3．
12．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB，AC是 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
13．【答案】（1）证明：连接OF，
∵EF平分∠OEC，
∴∠OEF=∠CEF，
又∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠CEF=∠OEF=∠OFE，
∴OF AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠OFC=90°，即：OF⊥BC，
又∵OF为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接ED交OF于点H．
∵EG=5，CG=3，∠ECG=90°，
∴CE= =4，
∵AD是直径，
∴∠AED=90°，从而∠CEH=90°，
∴∠OFC=∠ACB=∠CEH=90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴HF=CE=4，且∠EHF=90°，
∴OF垂直平分弦ED，H为ED中点，
∵OF CE，
∴△GCE∽△GFO，
∴ ，
又∵OE=OF，GO=OE+EG，
∴有 ，
解得OF=20，
经检验，OF=20是分式方程的根，
∴OH=OF HF=20 4=16，
又∵在△AED中，点O和点H分别是AD和ED边的中点，
∴AE=2OH=32．
∴线段AE的长为32．
14．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，
∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，
∵ ，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠DOF=∠DCB；
（2）解：设OF与BC交于点G，
∵ ，
∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°
∴ ，∠CGF=90°
∴ ，
∴CG=2，
∵∠BCD=∠OAC， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证△OFD∽△ACD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．