4.1指数与指数函数 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.1指数与指数函数 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-03 14:23:53 | ||
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文档简介
4.1 指数与指数函数 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设且，若函数是上的奇函数，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
3．若函数对任意，都满足，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知是定义域为的奇函数，满足，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．对于实数，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知直线：与曲线：，设为曲线C上横坐标为1的点，过作x轴的平行线交直线于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交直线于，过作x轴的垂线交曲线C于……，设点的纵坐标分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数，若，则 ．
14．若实数，满足，则的最小值为 .
15．已知，则不等式的解集为 .
16．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则 ，函数的值域为 .
四、解答题
17．设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
19．已知函数
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
(2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
20．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
(3)求不等式的解集.
21．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)若为定义域在R上的“函数”，求实数m的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据求出，然后代入验证即可.
【详解】由于函数是上的奇函数，
故，则，即．
因为，所以．
当时，，
则
符合函数是上的奇函数
故选：D．
2．A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
3．C
【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令，可排除A、B、D 三个选项，利用指数运算判断C对于任何，都满足.
【详解】A：若，则将分别代入，中，
得，，，故A不符合题意；
B：若，则将分别代入，中，
得，，，故B不符合题意；
C：若，则，
故C符合题意；
D：若，则将分别代入，中，
得，，，故D不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】根据与，结合排除法即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
由，排除选项A、D；
当时，，所以，故排除选项B.
故选：C
5．D
【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】首先由得出，设，得出在上单调递增，根据的奇偶性得出为上的增函数，由不等式得，求解即可．
【详解】由对任意，都有，可得，
令，则函数在上单调递增，
又，，所以为上的奇函数，
所以在上是增函数．
不等式，且，得，
所以，
所以，即，
故选：C．
7．C
【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可.
【详解】解：的图象关于点对称，
，即，
解得，
经检验知的图象关于点对称，
故选：C.
8．C
【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，根据指数函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A，由于，所以，A正确，
对于B，由，则，故B正确，
对于C，，满足，但，故C不一定成立，
对于D，由于为单调递减函数，所以，则，D正确，
故选：C
9．BC
【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到的取值范围
【详解】由已知，得．
令，则，所以，
所以，
所以．
等式两边同时除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的两个根．
设，则易知在区间上单调递减，
所以．
又因为，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围.
10．BD
【分析】根据不等式的性质即可求解AC，根据基本不等式即可判断B，由指数函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A选项，若，当时，，故A错误；
对于B选项，由，利用基本不等式可得，当且仅当等号成立，故B正确；
对于C选项，若，则，故C错误；
对于D选项，因为，，由指数函数的单调性可知，故D正确；
故选：BD
11．AC
【分析】根据奇偶函数的定义和函数的单调性可知是奇函数且为增函数，结合即可判断选项.
【详解】因为且定义域为R，所以是奇函数.
因为函数和都是增函数，所以是增函数.
因为，所以，
即.故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确，D错误.
故选：AC
12．ABD
【分析】如图，将代入可得，即可判断A；由推导可得，即可判断B；由选项B的分析，结合图形可得、即可判断CD.
【详解】如图，
A：，点在函数图象上，所以，即，故A正确；
B：又，所以，因为点在直线上，所以，
而，所以，又点在函数图象上，所以，即；
所以，得，所以，得，即，
以此类推，，，，故B正确；
C：由选项B的分析知，，且，
以此类推，，，所以，故C错误；
D：由图可知，，
所以，故D正确.
故选：ABD
13．或
【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.
【详解】由题可知，，所以是偶函数．
由于函数在上单调递增，而 且单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
进而可得在上单调递增，又，
所以或，解得或．
故答案为：或
14．
【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.
【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
不等式，则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．
【分析】利用分离参数法可得，根据题意直接代入求解即可得；根据指数函数性质可得的值域，进而可得的值域.
【详解】因为，
所以；
又因为，则，
可得，所以，
若，；
若，；
若，；
综上所述：函数的值域为.
故答案为：1；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，设，则，代入当时，，则得到的解析式；
（2）用换元法将化为，再由，使得成立”转化为，使得成立”，通过分离参数，得到，由函数的单调性，从而得到实数的取值范围.
【详解】（1）设，则，
因为是奇函数，
所以.
因为函数是定义在上的奇函数，
所以.
综上，.
（2）当时，.
设，易知当时，，
令.
，使得成立”即为，使得成立”，
所以，使得，
又在上单调递增，故，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）令，将问题转化为二次函数在区间上的最值问题，讨论对称轴和区间的位置关系列方程求解；
（2）问题即为满足，令，将问题转化为函数值域问题，通过参变分离求函数值域即可.
【详解】（1）令，由可得，，
原函数可化为，为开口向上，对称轴，
当，即时，在上单调递减，
则时，函数取得最小值，即舍，
当，即时，在上单调递增，
则时，函数取得最小值，即，
当，即时，在上先减后增，
则时，函数取得最小值，此时不存在，
故；
（2）由题意得，满足，
即，
令，则存在满足，
令，当且仅当时等号成立，则满足，即，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以，
故的范围为．
20．(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由可求得的值；
（2）任取，且，然后计算变形，再判断符号，可得结论；
（3）由的单调性，将问题转化为，再令，可得，求出的范围，从而可求得的范围.
【详解】（1）由，得，则.
（2）在上的单调递减．证明如下：
任取，且，则
，
∵，且，
，
∴，即，
在上单调递减.
（3）由（2）可得，在上单调递减，而，
则由可得，
令，可得.
解得：或.
所以或.
不等式的解集为
21．(1)是“函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“函数”的定义，对于函数求解方程即得；
（2）由为定义域在R上的“函数”可得，利用换元，将其化成在上有解，利用参变分离法即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，即，
令，则得，解得．
从而有解，函数是“函数”．
（2）为定义域在R上的“函数”，
由，可得，
化简得（*）．
令，又，当且仅当，即时取等号，
所以，又，
从而方程（*）可化为：在上有解，
即在上有解，
令，，则为上的增函数，
所以，从而，即.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设且，若函数是上的奇函数，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
3．若函数对任意，都满足，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知是定义域为的奇函数，满足，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．对于实数，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知直线：与曲线：，设为曲线C上横坐标为1的点，过作x轴的平行线交直线于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交直线于，过作x轴的垂线交曲线C于……，设点的纵坐标分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数，若，则 ．
14．若实数，满足，则的最小值为 .
15．已知，则不等式的解集为 .
16．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则 ，函数的值域为 .
四、解答题
17．设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
19．已知函数
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
(2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
20．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
(3)求不等式的解集.
21．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)若为定义域在R上的“函数”，求实数m的取值范围．
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参考答案：
1．D
【分析】根据求出，然后代入验证即可.
【详解】由于函数是上的奇函数，
故，则，即．
因为，所以．
当时，，
则
符合函数是上的奇函数
故选：D．
2．A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
3．C
【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令，可排除A、B、D 三个选项，利用指数运算判断C对于任何，都满足.
【详解】A：若，则将分别代入，中，
得，，，故A不符合题意；
B：若，则将分别代入，中，
得，，，故B不符合题意；
C：若，则，
故C符合题意；
D：若，则将分别代入，中，
得，，，故D不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】根据与，结合排除法即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
由，排除选项A、D；
当时，，所以，故排除选项B.
故选：C
5．D
【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】首先由得出，设，得出在上单调递增，根据的奇偶性得出为上的增函数，由不等式得，求解即可．
【详解】由对任意，都有，可得，
令，则函数在上单调递增，
又，，所以为上的奇函数，
所以在上是增函数．
不等式，且，得，
所以，
所以，即，
故选：C．
7．C
【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可.
【详解】解：的图象关于点对称，
，即，
解得，
经检验知的图象关于点对称，
故选：C.
8．C
【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，根据指数函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A，由于，所以，A正确，
对于B，由，则，故B正确，
对于C，，满足，但，故C不一定成立，
对于D，由于为单调递减函数，所以，则，D正确，
故选：C
9．BC
【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到的取值范围
【详解】由已知，得．
令，则，所以，
所以，
所以．
等式两边同时除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的两个根．
设，则易知在区间上单调递减，
所以．
又因为，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围.
10．BD
【分析】根据不等式的性质即可求解AC，根据基本不等式即可判断B，由指数函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A选项，若，当时，，故A错误；
对于B选项，由，利用基本不等式可得，当且仅当等号成立，故B正确；
对于C选项，若，则，故C错误；
对于D选项，因为，，由指数函数的单调性可知，故D正确；
故选：BD
11．AC
【分析】根据奇偶函数的定义和函数的单调性可知是奇函数且为增函数，结合即可判断选项.
【详解】因为且定义域为R，所以是奇函数.
因为函数和都是增函数，所以是增函数.
因为，所以，
即.故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确，D错误.
故选：AC
12．ABD
【分析】如图，将代入可得，即可判断A；由推导可得，即可判断B；由选项B的分析，结合图形可得、即可判断CD.
【详解】如图，
A：，点在函数图象上，所以，即，故A正确；
B：又，所以，因为点在直线上，所以，
而，所以，又点在函数图象上，所以，即；
所以，得，所以，得，即，
以此类推，，，，故B正确；
C：由选项B的分析知，，且，
以此类推，，，所以，故C错误；
D：由图可知，，
所以，故D正确.
故选：ABD
13．或
【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.
【详解】由题可知，，所以是偶函数．
由于函数在上单调递增，而 且单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
进而可得在上单调递增，又，
所以或，解得或．
故答案为：或
14．
【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.
【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
不等式，则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．
【分析】利用分离参数法可得，根据题意直接代入求解即可得；根据指数函数性质可得的值域，进而可得的值域.
【详解】因为，
所以；
又因为，则，
可得，所以，
若，；
若，；
若，；
综上所述：函数的值域为.
故答案为：1；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，设，则，代入当时，，则得到的解析式；
（2）用换元法将化为，再由，使得成立”转化为，使得成立”，通过分离参数，得到，由函数的单调性，从而得到实数的取值范围.
【详解】（1）设，则，
因为是奇函数，
所以.
因为函数是定义在上的奇函数，
所以.
综上，.
（2）当时，.
设，易知当时，，
令.
，使得成立”即为，使得成立”，
所以，使得，
又在上单调递增，故，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）令，将问题转化为二次函数在区间上的最值问题，讨论对称轴和区间的位置关系列方程求解；
（2）问题即为满足，令，将问题转化为函数值域问题，通过参变分离求函数值域即可.
【详解】（1）令，由可得，，
原函数可化为，为开口向上，对称轴，
当，即时，在上单调递减，
则时，函数取得最小值，即舍，
当，即时，在上单调递增，
则时，函数取得最小值，即，
当，即时，在上先减后增，
则时，函数取得最小值，此时不存在，
故；
（2）由题意得，满足，
即，
令，则存在满足，
令，当且仅当时等号成立，则满足，即，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以，
故的范围为．
20．(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由可求得的值；
（2）任取，且，然后计算变形，再判断符号，可得结论；
（3）由的单调性，将问题转化为，再令，可得，求出的范围，从而可求得的范围.
【详解】（1）由，得，则.
（2）在上的单调递减．证明如下：
任取，且，则
，
∵，且，
，
∴，即，
在上单调递减.
（3）由（2）可得，在上单调递减，而，
则由可得，
令，可得.
解得：或.
所以或.
不等式的解集为
21．(1)是“函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“函数”的定义，对于函数求解方程即得；
（2）由为定义域在R上的“函数”可得，利用换元，将其化成在上有解，利用参变分离法即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，即，
令，则得，解得．
从而有解，函数是“函数”．
（2）为定义域在R上的“函数”，
由，可得，
化简得（*）．
令，又，当且仅当，即时取等号，
所以，又，
从而方程（*）可化为：在上有解，
即在上有解，
令，，则为上的增函数，
所以，从而，即.
答案第1页，共2页
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