4.2对数与对数函数 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册

4.2 对数与对数函数 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
二、多选题
9．已知，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列结论正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一个函数
B．函数在定义域上单调递减
C．函数的图象可由的图象向左平移得到
D．若函数的值域是，则函数的值域是
11．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
三、填空题
13．函数，若，则 .
14．若函数，则关于的不等式的解集是 .
15．已知函数则函数有 个零点．
16．定义在的函数的最大值为，最小值为，则的增区间为 ； .
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式的解集．
18．已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．
(1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；
(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；
(3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
19．已知函数．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
20．已知为奇函数．
(1)求a的值；
(2)若，求m的取值范围．
21．已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.
(1)求；
(2)已知，且，若，求的取值范围.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由可得，结合可判断b的范围，再由可得，结合可判断a，c大小关系，进而可得答案.
【详解】由题得，，
由，得，即，所以．
由，得，
因为，，所以，
又，所以，所以．
由，得，即．
易知，所以，所以，故．
又，所以，所以，
所以，所以，所以．
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：
（1）同构函数，利用单调性比较；
（2）取中间值进行比较；
（3）利用基本不等式比较大小；
（4）利用作差法比较大小.
2．D
【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项.
【详解】由，得到对称轴为，则，
而，又在上单调递减，
则，得.
故选：D
3．C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令，则．
当时，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可知在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递增，
则，解得．
当时，在上单调递减，
则由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，
则，解得，与矛盾．
综上所述，.
故选：C．
4．C
【分析】分析题意得出，进行下一步转化得出最小值是即可.
【详解】因为，，
，，则，故，
又，，，，，故最小值是，
故选：C．
5．D
【分析】利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】令函数，
该函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，要使在上单调递增，则在上单调递增，
且时，，故，解得.
故选：D
6．C
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数性质，结合媒介数比较大小.
【详解】依题意，，
所以.
故选：C
7．B
【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
8．A
【分析】由求得，求出函数的定义域为，利用奇函数的定义和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】，整理得，即，
则，．
当时，；当时，，
即对一切实数都成立，即函数的定义域为．
，
即函数为奇函数．
故选：A．
9．AC
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如满足，但，故B错误；
对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D：例如满足，
但，即，故D错误；
故选：AC.
10．ACD
【分析】由函数的定义域和对应关系相同可判断A正确；由函数图象可得B错误；由对数的运算性质和函数图象的平移可得C正确；利用换元法和对勾函数的单调性可得D正确.
【详解】A：在函数中，令，解得，
所以函数的定义域为，
则函数可化简为，故这两个函数表示同一个函数，故A正确；
B：结合函数的图象，
可知其在定义域内不是单调减函数，故B错误；
C：函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，符合左加右减的性质，故C正确；
D：函数的值域是，从而得函数的值域为，
函数变为，，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；而当时，；当时，，即；
所以原函数值域是，故D正确．
故选：ACD.
11．ABD
【分析】首先根据选项中图象的对称性得出，选项A和B关于原点对称，为奇函数，求出，即可判断；选项C和D关于轴对称，为偶函数，求出，根据值域即可判断．
【详解】A，B选项中，图象关于原点对称，
若为奇函数，则，即，
解得，
当时，，
当，且单调递增，
所以当时，且单调递减，的图象为选项A；
当时，，
当，且单调递增，所以且单调递增，
所以的图象为选项B；
而C，D选项中，图象关于y轴对称，
所以若为偶函数，则，即，
所以；
当时，，，即，
故的图象为选项D，不可能为选项C，
故选：ABD．
12．ABD
【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D.
【详解】由得函数关于对称，A正确；
由得函数关于对称，
所以，，
所以，即，
所以，故函数的周期为，
由知，，
又时，，所以，解得，
所以时，，
所以，B正确；
，C错误；
画出函数和函数的图象，如图：
，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】利用和的关系求解即可.
【详解】，
，
.
故答案为：
14．
【分析】根据题意，令，分析可得为定义域在上的奇函数，且在上单调递减，根据奇偶性和单调性可将不等式等价于，解不等式即可得到答案.
【详解】令
因为，即，可知函数的定义域为，
且，
所以为上的奇函数，
因为，
且，在内单调递增，
则在内单调递增，可知在内单调递减，
又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减，
由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减，
综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减，
由，则，
可得，
则，解得：，
所以不等式的解集是
故答案为：.
15．7
【分析】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.
【详解】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题．
二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
由题意得作出函数的图像如图所示．
由图可知有3个根，当时，，即；
当时，，即.
则对于，当时，;
当时，，此时共有3个解．
对于，此时有1个解，，即有2个解．
对于，此时有1个解，，即无解．
因此，此时函数有7个零点．
故答案为：7.
16．
【分析】首先可得，即可得到的图象关于对称，再根据指数、对数型复合函数的单调性判断的单调性，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以的图象关于对称，
因为
又当时、、、均为增函数，
所以与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又为连续函数，所以的单调递增区间为，
因为的最大值为，最小值为，所以.
故答案为：；
17．(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3).
【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得.
（2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.
（3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式.
【详解】（1）函数中，由，解得，
所以的定义域为.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减，
所以的递减区间是，递增区间是.
（3）由，得函数为偶函数，
由（2）知，在上单调递增，则，
因此，即，解得，
所以原不等式的解集是．
18．(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)的所有可能值为或
【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得；
（2）结合定义可得，，即可得解；
（3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得.
【详解】（1）不是关于的“函数”．
解法一：当时，，所以不存在，使得
解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，
不存在，使得；
（2）设．
由题意，存在，使得．
因为函数是关于的“函数”，
所以存在，满足，
从而．
同理，由是关于的“函数”，
可得，
综上，；
（3）记集合，．
由是关于的“函数”，得，
①当时， ，，
从而，解得，
因唯一，令，解得(舍)或(舍)；
②当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
③当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
综上，的所有可能值为或．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论.
19．(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义可证得结果，
（2）由（1）的结论可知，问题等价于在上有两个不同实根，结果二次函数的性质可得结果.
【详解】（1）证明：由于,定义域为，任取，
则，
，所以，
且，所以，
所以，，
在上单调递增.
（2）由知在上的单调递增，
在区间上的值域为，
即，
，且，
即，是方程的实根，
问题等价于在上有两个不同实根，
令，，
显然，
则，解得，
解得，
故的取值范围为.
20．(1)-1
(2)
【分析】（1）利用奇函数的性质，代入解出a的值即可；
（2）问题转化为，构造函数，利用符合函数的单调性求出即可.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
则，
化简得，即，
所以，解得或（舍去）．
故的值为－1．
（2）．的定义域为．
因为函数在上单调递增，函数为增函数，所以为增函数．
．令函数，
因为函数为增函数，所以也是增函数，
则．故的取值范围是．
21．(1)，；
(2)
【分析】（1）赋值得到，进而得到；
（2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合，得到不等式，分和两种情况，求出答案.
【详解】（1）令得，
，
令，得，
，
令，得，
；
（2）任意，设，则，
时，，
，
，
是上的减函数，
中，令得，
故为奇函数，
，且，
又，
，
，即，
则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页