4.3指数函数与对数函数的关系 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册

4.3 指数函数与对数函数的关系 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，函数，则的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则对任意实数是（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
4．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
5．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，则下列结论中正确的是（ ）．
A．在递增 B．在递减
C．的最小值是 D．不存在反函数
7．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．函数且的图象过定点
B．是方程有两个实数根的充分不必要条件
C．的反函数是，则
D．定义在上的奇函数，当时，，则
10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数
11．下列选项正确的有（ ）
A．“，”是假命题，则
B．函数的图象的对称中心是
C．若存在反函数，且，则的图象必过点
D．已知表示不超过x的最大整数，则函数值域为
12．如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ）
A．点的坐标为
B．当，，时，的值为9
C．当时，
D．当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则
三、填空题
13．整数m，n满足，则 ．
14．设定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，则 .
15．设函数的反函数为，且的图象过点，则的图象必过点 .
16．将函数（）的图象先向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，再把图象作关于y轴对称，得到函数 的图象．
四、解答题
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)解方程.
18．已知函数，函数与互为反函数.
(1)若函数的值域为，求实数的取值范围；
(2)求证：函数仅有1个零点，且.
19．已知函数为对数函数，函数的图象与函数的图象关于对称，设函数，且对任意都有恒成立．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
20．已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
21．已知函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)设，，若，存在，使得，求m的取值范围．
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参考答案：
1．A
【分析】根据指数函数与对数函数的关系可得，再由代入求出，即可得解.
【详解】函数（且）的反函数为，
即，又，所以，所以，
则.
故选：A
2．C
【分析】根据对数运算法则化简函数解析式，根据复合函数单调性可得单调性，根据反函数的性质可确定的单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】，
由得：，的定义域为；
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，且值域为，
在上单调递减，
，，则由得：，.
故选：C.
3．A
【分析】判断函数的单调性和奇偶性，继而判断“对任意实数”和之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由于在R上单调递增，
且的定义域为R，则在R上单调递增，
又
，即为奇函数，
对任意实数，即，可得；
反之，时，可得，则，即，
故对任意实数是的充分必要条件，
故选：A
4．C
【分析】
由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.
【详解】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
5．B
【分析】先根据判断出函数的周期性，再结合函数的奇偶性，求出当时的解析式，求出的解，即为的值.
【详解】因为，所以是以4为周期的周期函数，
又为定义在上的偶函数，所以.
当时，，，
所以：，
又时，.
所以，即，.
由.
即.
故选：B
6．D
【分析】由基本不等式可判断C；由双勾函数的性质可判断A，B；在其定义域内非单调函数，不存在反函数，可判断D.
【详解】当时，,
当且仅当，即时取等，
当时，,
当且仅当，即时取等，故C错误；
由双勾函数的性质可得：在上递减，上递增．故A、B不正确．
在其定义域内非单调函数，不存在反函数，故D正确.
故选：D.
7．A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
8．C
【分析】由已知与函数单调，可得存在唯一，使，则，由求解，再由，根据指对函数的对称性作出图象比较大小，然后根据单调递增，比较大小即可.
【详解】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，
在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，
可得，
又因为是单调递增的，
所以，
故选：C.
9．AC
【分析】求出指数型函数恒过的定点可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；由反函数的性质可判断C；由奇函数的定义域关于原点对称求出，再由奇函数的性质代入求解可判断D.
【详解】函数，令，可得，
故函数的图象过定点，故A正确；
根据方程有两个实数根，可得，即，
故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
的反函数是，故C正确；
在上是奇函数，，
解得，又时，，
，故D错误．
故选：AC.
10．BC
【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，则，，
，
则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以C正确，D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】转化为“”为真命题，结合二次函数的性质，可判定A不正确；根据函数图象变换，可得判定B正确；根据反函数的性质，可判定C错误；根据函数的新定义，可判定D正确.
【详解】对于A中，由命题“”是假命题，
可得命题“”为真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为，所以A不正确；
对于B中， 函数的图象，可看成的图象向右平移1个单位长度得到，
因为函数的对称中心为，所以函数的图象关于对称，所以B正确；
对于C中，若存在反函数，且，可得，
即函数过点，则函数的图象必过点，所以C错误；
对于D中， 已知表示不超过x的最大整数，
当时，，则函数,
在上此函数为单调递增函数，故其值域为，所以D正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】代入验证可判断A；将，，，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明.
【详解】对A：由图可知，若设，则,
又A在上，则，所以，故A对；
对B：由题意得，，且与轴平行，
所以，得故B对；
对C：由题意得 ，，且与轴平行，
所以，因为，所以，故C错；
对D：因为，且，所以，
又因为，所以，，
又因为，
所以，所以，所以，
即，故D对；
故选：ABD
13．/
【分析】设，然后得到，列出方程求解即可.
【详解】设，则，故，即，
记，则，
解得（负值舍去），即,
故答案为：.
14．0
【分析】根据得到关于对称，从而反函数关于对称求解.
【详解】解：由知，关于对称，
所以反函数关于对称，.
故答案为：0
15．
【分析】根据已知可求出函数的图象过定点，再利用互为反函数的两个函数之间的关系求解即可.
【详解】因为的图像过点，所以，
所以函数的图象过定点，
根据互为反函数的两个函数的图象关于直线对称可得的图象必过点.
故答案为：.
16．
【分析】根据函数图象平移法则及对称变化规律求解即可.
【详解】解：将函数（）的图象向右平移1个单位长度，得到函数，
将的图象再作关于y轴对称，得到函数.
故答案为：；
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由奇函数的性质即可求解.
（2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可.
【详解】（1）因为是奇函数，
①当时，，
②当时，，，
所以，
所以.
（2）由题意知，，
得，
令，则，即，
解得或，
即或，
解得或.
18．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案；
（2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论.
【详解】（1）因为函数与互为反函数，所以.
因为的值域为，所以能取遍内的所有值，
当时，能取遍内的所有值，符合题意；
当时，则只需，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）由（1）可得，定义域为，
因为，，
（）
由零点存在定理有，存在零点，使得，
又因为在上单调递增，所以仅有1个零点，
且.
等价于，
令，显然函数在定义域上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，则.
所以，故，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由对数函数定义求得，则，结合反函数性质得，再根据已知得为偶函数，由偶函数性质求参数n，即可得的解析式；
（2）由题设，令，进而得到，且，根据二次函数性质及其最小值求参数即可.
【详解】（1）由题设，可得，故，
由函数的图象与函数的图象关于对称，
即两函数互为反函数，故，故，定义域为R，
由，即，
所以为偶函数，即恒成立，
故，则.
（2）由（1）得，且，
令，则，即，
所以，且，开口向上，对称轴为，
所以在上的最小值为，
当，即时，，可得；
当，即时，，
所以，可得或，均不满足前提；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第一问，注意对数函数定义、反函数性质及偶函数判断并求参；第二问，将含指数函数的复合型函数换元，转化二次函数，再利用最值求参.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解；
（2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式.
【详解】（1）若为指数函数，
则，且，解得，即，
所以指数函数的反函数为.
（2）因为，可知的定义域为，
且，
可知为定义在上的偶函数，
又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，且在内单调递减，
对于不等式，可得，
整理得，解得，
所以等式的解集为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由为偶函数可得，代入即可求解；
（2）若，存在，使得，即，转化为函数的最值问题即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
是偶函数，所以，
即，
，
，
，
，
，即，
对，上式都成立，
，即；
（2），
，存在，使得，
在上的最小值不小于在上的最小值，
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，解得，
m的取值范围为.
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