4.4幂函数 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.4幂函数 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 801.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-03 14:24:49 | ||
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文档简介
4.4幂函数 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
3．已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为幂函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中，在区间上单调递减的有（ ）
A． B．
C． D．|
10．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
三、填空题
13．已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点A，则＝ ．
14．已知函数，则满足的x的取值范围是 ．
15．已知幂函数的图像过点，则 ．
16．已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 .
四、解答题
17．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
18．定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数．
(1)试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数是紧缩函数，求的取值范围．
(3)已知常数，函数，是紧缩函数，求的取值集合．
19．已知函数为幂函数，且在上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明.
20．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.
21．已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
2．B
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是减函数，则，即，
所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
3．A
【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当时，，为常数函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
5．A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可.
【详解】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递增，且，
则时，单调递增，
若有，则有，解得，
故选：A.
6．D
【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可.
【详解】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.
故选：D
7．A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
9．AB
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A正确；
对于B，由于，，
所以在上单调递减，故B正确；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D，因为，，，
显然在上不单调递减，故D错误．
故选：AB.
10．ABC
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的奇函数，符合题意；
对于D中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意.
故选：ABC.
11．BCD
【分析】利用不等式性质、指数函数、幂函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A，满足，而，A不是；
对于B，函数在R上是增函数，，B是；
对于C，由不等式性质知，，C是；
对于D，函数在R上是增函数，，D是.
故选：BCD
12．BD
【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD.
【详解】因为，，所以，
，依次类推，可得，故A错误；
由A选项知，，故B正确；
当时，的对称轴，
所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误；
当时，的对称轴，
所以当时，，解得，故D正确.
故选：BD
13．
【分析】根据对数函数性质确定点坐标，根据幂函数定义设，由条件求，再求结论.
【详解】因为时，，
所以函数恒过定点，
设幂函数，代入点坐标可得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】构造函数，并判断奇偶性，根据平移得到图象的对称中心为，转化原不等式为，根据单调性得，求解即可
【详解】由题意得，
设，则，的定义域为R，
且，所以为奇函数，
都是增函数，所以是增函数，
的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以．
易知在R上单调递增，因为，
所以，所以，解得，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键有三点：
（1）得到函数图象的对称中心，从而得到；
（2）得到函数的单调性；
（3）利用函数的单调性去掉“f”，将原不等式转化为关于x的不等式．
15．3
【分析】由幂函数知，再代入点求出即可.
【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点，
，解得，所以.
故答案为：3.
16．
【分析】根据函数为上增函数，列出满足条件可得的范围，据此求.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
要使函数是上的增函数，
所以，解得；
所以.
故答案为：；
17．(1)
(2)．
【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可；
（2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
由于,故，1，2，
当和时，，此时为奇函数，符合要求，
当时，，此时为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
18．(1)不是
(2)
(3)
【分析】（1）求出的定义域与值域，即可判断；
（2）首先求出的定义域，再利用换元法求出的值域，结合题意得到不等式，即可求出参数的取值范围；
（3）首先推导出的值域与定义域相同，再分，两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）函数的定义域为，值域为.
因为不是的子集，所以不是紧缩函数.
（2）对于函数，
令，解得，即的定义域为.
令，则，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，即的值域为，
依题意可得，解得，
故的取值范围为.
（3）因为的值域是定义域的子集，所以的值域是的值域的子集，
又，则，所以的值域与定义域相同，
又，，
所以的值域为.
（i）若，则，即，
则且，
所以且，
即，解得，此时，符合题意.
（ii）若，则或，即，
则且，
所以且，即，方程无解.
综上，的取值集合为.
19．(1)
(2)单调递增,证明见详解
【分析】（1）根据幂函数定义和单调性求解；
（2）利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
所以实数的值为；
（2）因为函数，
则函数，
函数在上单调递增，证明如下：
，且，
则，
因为，所以，又，所以，
从而，即，
所以函数在上单调递增.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；
（2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解；
（3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是.
（3）解：由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，取最小值，故，
所以的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
3．已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为幂函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中，在区间上单调递减的有（ ）
A． B．
C． D．|
10．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
三、填空题
13．已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点A，则＝ ．
14．已知函数，则满足的x的取值范围是 ．
15．已知幂函数的图像过点，则 ．
16．已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 .
四、解答题
17．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
18．定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数．
(1)试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数是紧缩函数，求的取值范围．
(3)已知常数，函数，是紧缩函数，求的取值集合．
19．已知函数为幂函数，且在上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明.
20．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.
21．已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
2．B
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是减函数，则，即，
所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
3．A
【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当时，，为常数函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
5．A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可.
【详解】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递增，且，
则时，单调递增，
若有，则有，解得，
故选：A.
6．D
【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可.
【详解】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.
故选：D
7．A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
9．AB
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A正确；
对于B，由于，，
所以在上单调递减，故B正确；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D，因为，，，
显然在上不单调递减，故D错误．
故选：AB.
10．ABC
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的奇函数，符合题意；
对于D中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意.
故选：ABC.
11．BCD
【分析】利用不等式性质、指数函数、幂函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A，满足，而，A不是；
对于B，函数在R上是增函数，，B是；
对于C，由不等式性质知，，C是；
对于D，函数在R上是增函数，，D是.
故选：BCD
12．BD
【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD.
【详解】因为，，所以，
，依次类推，可得，故A错误；
由A选项知，，故B正确；
当时，的对称轴，
所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误；
当时，的对称轴，
所以当时，，解得，故D正确.
故选：BD
13．
【分析】根据对数函数性质确定点坐标，根据幂函数定义设，由条件求，再求结论.
【详解】因为时，，
所以函数恒过定点，
设幂函数，代入点坐标可得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】构造函数，并判断奇偶性，根据平移得到图象的对称中心为，转化原不等式为，根据单调性得，求解即可
【详解】由题意得，
设，则，的定义域为R，
且，所以为奇函数，
都是增函数，所以是增函数，
的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以．
易知在R上单调递增，因为，
所以，所以，解得，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键有三点：
（1）得到函数图象的对称中心，从而得到；
（2）得到函数的单调性；
（3）利用函数的单调性去掉“f”，将原不等式转化为关于x的不等式．
15．3
【分析】由幂函数知，再代入点求出即可.
【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点，
，解得，所以.
故答案为：3.
16．
【分析】根据函数为上增函数，列出满足条件可得的范围，据此求.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
要使函数是上的增函数，
所以，解得；
所以.
故答案为：；
17．(1)
(2)．
【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可；
（2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
由于,故，1，2，
当和时，，此时为奇函数，符合要求，
当时，，此时为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
18．(1)不是
(2)
(3)
【分析】（1）求出的定义域与值域，即可判断；
（2）首先求出的定义域，再利用换元法求出的值域，结合题意得到不等式，即可求出参数的取值范围；
（3）首先推导出的值域与定义域相同，再分，两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）函数的定义域为，值域为.
因为不是的子集，所以不是紧缩函数.
（2）对于函数，
令，解得，即的定义域为.
令，则，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，即的值域为，
依题意可得，解得，
故的取值范围为.
（3）因为的值域是定义域的子集，所以的值域是的值域的子集，
又，则，所以的值域与定义域相同，
又，，
所以的值域为.
（i）若，则，即，
则且，
所以且，
即，解得，此时，符合题意.
（ii）若，则或，即，
则且，
所以且，即，方程无解.
综上，的取值集合为.
19．(1)
(2)单调递增,证明见详解
【分析】（1）根据幂函数定义和单调性求解；
（2）利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
所以实数的值为；
（2）因为函数，
则函数，
函数在上单调递增，证明如下：
，且，
则，
因为，所以，又，所以，
从而，即，
所以函数在上单调递增.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；
（2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解；
（3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是.
（3）解：由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，取最小值，故，
所以的取值范围为.
答案第1页，共2页
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