4.5增长速度的比较 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.5增长速度的比较 同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 694.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-03 14:25:04 | ||
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文档简介
4.5 增长速度的比较 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
2．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，增长速度最快的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：其中随着的增大，增长速度越来越快的变量是（ ）
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
3 3 3 3 3 3 3
0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
1 4 16 64 256 1024 4096
A． B． C． D．
5．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是，，，，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A．a B．b C．c D．d
6．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有一组实验数据如下表所示：
t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
11．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．，当时，恒在的上方
C．与有三个交点
D．，当时，恒在的上方
12．函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为 .
14．函数与在区间上增长较快的是 ．
15．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第 年增长较快．
16．小明2015年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值 元．
四、解答题
17．已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表：
月 10 11 12
普姆克系数 10240 20480 40960
(1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式；
(2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？
18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：）．
19．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且．
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较的大小．
20．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
21．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
2．A
【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得.
【详解】将对应得在坐标系中点出，得：
根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近.
故选：A.
3．A
【分析】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性即可判断.
【详解】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性，增长最快的是指数函数．
故选：A
4．D
【分析】观察给定的数表，比较各个自变量对应的函数值即可得解.
【详解】观察数表知，随着的增大，的值匀速增长；值恒为定值；的值逐渐增大，增长速度时快时慢，
随着的增大，的值越来越大，增长速度越来越快，
所以随着的增大，增长速度越来越快的变量是.
故选：D
5．D
【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数模型的增长速度即可判断作答.
【详解】在运动时间足够长时，指数函数增长速度大于二次函数的增长速度，
大于二次根式函数的增长速度，大于对数函数的增长速度，
所以运动在最前面的物体一定是.
故选：D
6．A
【分析】根据题意，结合对数函数，一次函数和指数函数的增长率的快慢，分析可得答案．
【详解】函数，函数值随x的增大而减小，
当函数值随x的增大而增大时，在对数函数，一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所示，
即四个函数中，随x的增大而增大且速度最快的是是.
故选：A
7．D
【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.
【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系.
故选：D.
8．A
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
9．AC
【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.
【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以,故选项A正确；
当时，有，因为，所以,故选项B错误；
对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小，
因为，所以，即,故选项C正确;
对于选项D:因为，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
11．CD
【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.
【详解】，，，， ，
则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：
显然两函数有三个交点，故A错误，C正确，
由图易得当时，恒在的上方，故B错误，D正确，
故选：CD.
12．ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，
递减速度越来越慢，故A正确；
递减速度越来越慢，故B正确；
递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度慢于递减速度，故D错误.
故选：ABC.
13．/
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数在区间上的平均变化率为
，
故答案为：
14．
【分析】求两个函数的平均变化率，比较它们的大小可得．
【详解】在上取，，
，
因为，所以，，
所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．
故答案为．
【点睛】本题考查平均变化率的概念，平均变化率的大小反应了函数值增长的快慢程度．
15．一
【分析】计算每年的体重变化率．
【详解】解析，，，
故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．
故答案为一．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
16．.
【分析】本题根据题意直接计算即可.
【详解】解：由题意：，
故答案为：.
【点睛】本题考查降价问题，是基础题.
17．(1)模型①，；
(2)7月份，8月份，9月份.
【分析】（1）根据函数增长速度选择恰当模型，代点求解即可；
（2）由题意列不等式，解指数不等式即可求解.
【详解】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，
所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得，当时，；当时，，
由，解得，
故该函数模型的解析式为.
（2）函数在其定义域内单调递增，
令，得，又，所以，
故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内.
18．(1)选择模型符合要求，
(2)六月份
【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；
（2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求，
根据题意可知时，；时，，
所以，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
所以，
又，
所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
19．(1)对应的函数为，对应的函数为；
(2)．
【分析】（1）根据函数对应的曲线的特征和增长速度判断曲线对应的函数；
（2）先直接判断，再得到的区间，再根据图像判断大小，最后再根据单调性判断四个数大小.
【详解】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数；
是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数；
（2），所以，
又因为，所以，
所以，
由图可知当时，
所以，
又因为单调递增，所以，
所以.
20．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
21．
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
2．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，增长速度最快的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：其中随着的增大，增长速度越来越快的变量是（ ）
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
3 3 3 3 3 3 3
0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
1 4 16 64 256 1024 4096
A． B． C． D．
5．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是，，，，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A．a B．b C．c D．d
6．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有一组实验数据如下表所示：
t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
11．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．，当时，恒在的上方
C．与有三个交点
D．，当时，恒在的上方
12．函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为 .
14．函数与在区间上增长较快的是 ．
15．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第 年增长较快．
16．小明2015年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值 元．
四、解答题
17．已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表：
月 10 11 12
普姆克系数 10240 20480 40960
(1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式；
(2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？
18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：）．
19．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且．
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较的大小．
20．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
21．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
2．A
【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得.
【详解】将对应得在坐标系中点出，得：
根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近.
故选：A.
3．A
【分析】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性即可判断.
【详解】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性，增长最快的是指数函数．
故选：A
4．D
【分析】观察给定的数表，比较各个自变量对应的函数值即可得解.
【详解】观察数表知，随着的增大，的值匀速增长；值恒为定值；的值逐渐增大，增长速度时快时慢，
随着的增大，的值越来越大，增长速度越来越快，
所以随着的增大，增长速度越来越快的变量是.
故选：D
5．D
【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数模型的增长速度即可判断作答.
【详解】在运动时间足够长时，指数函数增长速度大于二次函数的增长速度，
大于二次根式函数的增长速度，大于对数函数的增长速度，
所以运动在最前面的物体一定是.
故选：D
6．A
【分析】根据题意，结合对数函数，一次函数和指数函数的增长率的快慢，分析可得答案．
【详解】函数，函数值随x的增大而减小，
当函数值随x的增大而增大时，在对数函数，一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所示，
即四个函数中，随x的增大而增大且速度最快的是是.
故选：A
7．D
【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.
【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系.
故选：D.
8．A
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
9．AC
【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.
【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以,故选项A正确；
当时，有，因为，所以,故选项B错误；
对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小，
因为，所以，即,故选项C正确;
对于选项D:因为，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
11．CD
【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.
【详解】，，，， ，
则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：
显然两函数有三个交点，故A错误，C正确，
由图易得当时，恒在的上方，故B错误，D正确，
故选：CD.
12．ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，
递减速度越来越慢，故A正确；
递减速度越来越慢，故B正确；
递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度慢于递减速度，故D错误.
故选：ABC.
13．/
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数在区间上的平均变化率为
，
故答案为：
14．
【分析】求两个函数的平均变化率，比较它们的大小可得．
【详解】在上取，，
，
因为，所以，，
所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．
故答案为．
【点睛】本题考查平均变化率的概念，平均变化率的大小反应了函数值增长的快慢程度．
15．一
【分析】计算每年的体重变化率．
【详解】解析，，，
故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．
故答案为一．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
16．.
【分析】本题根据题意直接计算即可.
【详解】解：由题意：，
故答案为：.
【点睛】本题考查降价问题，是基础题.
17．(1)模型①，；
(2)7月份，8月份，9月份.
【分析】（1）根据函数增长速度选择恰当模型，代点求解即可；
（2）由题意列不等式，解指数不等式即可求解.
【详解】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，
所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得，当时，；当时，，
由，解得，
故该函数模型的解析式为.
（2）函数在其定义域内单调递增，
令，得，又，所以，
故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内.
18．(1)选择模型符合要求，
(2)六月份
【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；
（2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求，
根据题意可知时，；时，，
所以，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
所以，
又，
所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
19．(1)对应的函数为，对应的函数为；
(2)．
【分析】（1）根据函数对应的曲线的特征和增长速度判断曲线对应的函数；
（2）先直接判断，再得到的区间，再根据图像判断大小，最后再根据单调性判断四个数大小.
【详解】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数；
是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数；
（2），所以，
又因为，所以，
所以，
由图可知当时，
所以，
又因为单调递增，所以，
所以.
20．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
21．
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
答案第1页，共2页
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