2023-2024学年度第二学期高一年级数学期中练习
考试时间90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形中，,是的中点，那么（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
5. 已知是非零向量，则是的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知向量，其中，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11. 已知向量满足，则______．
12. 已知，且为第二象限角．则______．
13．已知,则=______________.
14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16. （本小题10分）某同学用五点法作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 －2 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值．
17. （本小题10分）已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
18. （本小题10分）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题10分）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质.
（Ⅰ）判断是否具有性质；
（Ⅱ）若，且具有性质，求的值；
（Ⅲ）若具有性质，求证：且当时，．2023-2024高一（下）数学期中考试
一、选择题
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而可求解.
【详解】由题意可得，故D正确.
故选：D.
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【分析】由两向量平行坐标间的关系可求解.
【详解】由题意知，所以，解得，故A正确.
故选：A.
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】
利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.
在区间上，，单调递减，故排除B.
在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；
根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD的中点，那么（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【分析】利用化简，再结合数量积的定义可求该式的值.
【详解】,
因为，故.
而为的中点，故，故.
故选：B
5. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足；
必要性：当时，即，解得或，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【分析】先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解.
【详解】由图象知，，解得，
将最大值点代入得，，
解得，又，则，即.
故选：A.
【点睛】已知函数图象，确定其解析式的步骤：
（1）求，，确定函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求，确定函数的周期T，则.
（3）求，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间. 如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
7. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数最小值是（ ）
A. B. C. D.
【分析】由在区间上有且仅有两个零点，可得，从而得
【详解】由题意知区间上有且仅有两个零点，
当时，，则，解得，
所以实数的最小值为，故C正确.
故选：C.
8. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.
【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，
则.
故选：C
9. 已知向量，其中，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【分析】先求，然后求解，又由，从而可求解.
【详解】由题意得，
所以
，
又因为，所以， 所以的最大值为，故B正确.
故选：B.
10．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.
【详解】由题知，粒子从为一个周期，
对应由为一个周期，
对应由为两个周期，
函数的周期是函数的周期的倍.
对于A，的周期为，的周期为，故A错误；
对于B，的周期为，的周期为，故B正确；
对于C，的周期为，的周期为，故C错误；
对于D，的周期为，的周期为，故D错误.
故选：B.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 已知向量满足，则______．
【分析】利用向量数量积公式即可求解.
【详解】由题知，所以.
故答案为：.
12. 已知，且为第二象限角．则______．
【分析】由为第二象限角可求出，再利用正弦函数二倍角公式即可求解.
【详解】由题意知且α为第二象限角，所以，
所以. 故答案为：.
13．已知cos＝－，x∈(－π，π)，则x＝______________.
答案 －或
解析 ∵在(0,2π)内，cos ＝cos ＝－，∴x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，又x∈(－π，π)，∴x＝－或x＝.
14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.
【详解】由题意得，，由诱导公式知，
显然满足题意，解得.故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______．
【分析】当，得，从而可对①②判断；当，，从而可对③判断；由图象向左平移可对④判断；
【详解】对①②：当，，
因，所以当时，，故②正确；
当时，，故①正确；
对③④：当，，
当，，故③正确；
将图象向左平移得，故④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题
16.某同学用五点法作函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f (x) 0 2 0 －2 0
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数y＝f (x)在一个周期内的图象；
(2)将y＝f (x)的图象向右平移θ(θ＞0)个单位，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于y轴对称，求θ的最小值．
解：(1)由表中数据可得，A＝2，＝－，所以T＝π，则ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝，则φ＝－，所以f (x)＝2sin.
数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f (x) 0 2 0 －2 0
作出函数y＝f (x)在一个周期内的图象如图所示．
(2)由题意可得g(x)＝2sin＝2sin，因为y＝g(x)的图象关于y轴对称，
则－2θ－＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝－－，k∈Z，又θ＞0，所以当k＝－1时，θmin＝.
17.已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
18. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选条件②．
（Ⅰ）由题设． ………1分
所以． ………2分
因为， 所以． ………3分
所以． ………4分
所以． ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ………7分
． ………8分
因为， 所以． ………9分
于是，当且仅当，即时，取得最大值； ………11分
当且仅当，即时，取得最小值． ………12分
又，即时，． ………13分
所以的取值范围是． ………14分
选条件③．
（Ⅰ）由题设． ………1分
整理得． ………2分
以下同选条件②．
19．对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}
若对任意∈Y，存在∈Y，使得 ＝0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．
20．【分析】（Ⅰ）根据新定义直接判断即可．
（Ⅱ）在Y中取＝（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x＝2b，结合x＞2，可得x的值．
（Ⅲ）取＝（x1，x1），＝（s，t）根据 ＝0，化简可得s+t＝0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1＝1．
【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}具有性质P．
（Ⅱ）选取＝（x，2），Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b）．所以x＝2b，从而x＝4；
（ III）证明：取＝（x1，x1）∈Y，设＝（s，t）∈∈Y满足 ＝0．
由（s+t）x1＝0得s+t＝0，所以s、t异号．
因为﹣1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为﹣1，另一为1，
故1∈X．
假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
选取＝（x1，xn），并设＝（p，q）满足 ＝0，
即px1+qxn＝0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为﹣1．
若p＝﹣1，则x1＝qxn，显然矛盾；
若q＝﹣1，则xn＝px1＜p≤xn，矛盾．所以x1＝1．
【点评】本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．
