潮阳黄图盛中学 2023-2024 学年度第二学期期中考试参考答案
高一 数学
第 I 卷（选择题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D C D A B C AD ACD BC
第 II 卷（非选择题）
填空题： 12．【答案】2 13 1 3．【答案】 2 14．【答案】 4
解答题：
15、（本题 13 分）【小问 1详解】
因为 cos π 3 3 cos ，所以 cos ，.................2 分
5 5
π
又因为 ,π
，所以 sin = 1- cos
2 4= ，...............4 分
2 5
tan sin 4因此 ，.......................................5 分
cos 3
π 4
tan π
tan tan 1
4
所以 π
3 7 ....................7 分
4 1 tan tan 1 4
4 3
【小问 2详解】
因为 ,
π
π π , π ，所以 ， 2 2 2
又 sin 3 ，所以0 π ，..........................9 分
5 2
所以 cos 1 sin2 4 ，.........................11 分
5
所以 sin sin sin cos cos sin ，
sin 4 4 3 3即 1........................................13 分
5 5 5 5
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16、（本题 15 分）【小问 1详解】
由题意得底面大矩形周长为 ，且大矩形的长设为 ，宽设为 ，........1 分
所以 ，得 ，................................2 分
所以 ，..........................................4 分
当且仅当 时取等号，此时 ，......................6 分
所以底面面积最大为 ................................7 分
【小问 2详解】
由题意走马灯的体积为 ，高 ，故底面积为 ，9 分
框架用料最少等价于底面用料为 最小即可，..............................10 分
，当 ，即 取等号，.....................14 分
故当长为 、宽为 时，用料最少.......................................15 分
17、（本题 15 分）【小问 1详解】
2 2
法一：设 f x x 2mx 3m ，..............................................2 分
f 1 1 2m 3m2 0
若 x 1,2 ， f x 0恒成立，则 ，................5 分 f 2 4 4m 3m2 0
2 2m 解得 2或m ，即 A , 2 , ；...........................7 分3 3
2 2
法二：设 f x x 2mx 3m 则 f x 的对称轴为 x m， x [1,2], fmax (x) 0，.2 分
m 3当 时， fmax (x) f (2) 4 4m 3m2<0，2
m 2 或m 2 2 3， m 或m 2，...................................4 分
3 3 2
3
当m 时， fmax (x) f (1) 1 2m 3m2 0，2
m 1 或m 1. m 3 ...................................................6 分
3 2
综上所述， A 2 , 2 , ；.........................................7 分
3
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x2法三： 2mx 3m2 x 3m x m 0，.................................2 分
当m 0时， -m x 3m，
m 1
x [1,2], x2 2mx 3m2 0 2恒成立， m ，...................4 分
3m 2 3
当m 0时，3m x m，
3m 1
x [1,2], x2 2mx 3m2 0恒成立， , m 2，...................6 分
m 2
2
综上所述，A , 2 , ............................................7 分
3
【小问 2详解】
根据题意，若 x A是 x B的必要不充分条件，则 B是A的真子集，..............9 分
x2 2ax a2 1 0, (x a)2 1，
a 1 x a 1,B x a 1 x a 1 ，...................................11 分
5
a 1 2 a 1 2或 ， a 3或 a ...................................14 分
3 3
a 5 , 3 [ , ) .....................................................15 分3
18、（本题 17 分）【小问 1详解】
a b c
因为 a 2，由正弦定理 ....................................2 分
sin A sin B sinC
得 a c a c b b c ，即b2 c2 a2 bc，............................4 分
2 2 2 π
故 cos A b c a 1 ， 因为 0 A π，故 A ...........................8 分
2bc 2 3
【小问 2详解】
1
因为 ABC 的面积 S a ha ha，所以求 BC边上高的最大值，即求 ABC 的面积最大值.2
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A，.......................................11 分
即b2 c2 bc 4 2bc，则bc 4，.......................................13 分
1 3
当且仅当b c 2时取等号， 故 ABC 的面积 S bc sin A bc 3，.....16 分
2 4
所以 BC边上高的最大值为 3 ...............................................17 分
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19、（本题 17 分）【小问 1详解】
2
若 f x sin x是“圆满函数”.取 x1 ，存在 x2 R，使得 f x1 f x2 1，....2 分4 3
即 sin sin x2 1
，整理得sin x2 2，但是 sin x2 1，矛盾，.............4 分6 4 4 4
所以 y f x 不是“圆满函数”.................................................5 分
【小问 2详解】
易知函数 h x log2 x sin
x的图象在 0， 上连续不断.....................6 分
4
①当 x 0,2 时，因为 y log2 x与 y sin x在 0,2 上单调递增，4
所以 h x 在 0,2 上单调递增.................................................7 分
2 2 2 1 2 2
因为 h log2 sin log log 0 ， h 1 sin 0，
3 3 6 2 3 2 2 3 4
h 2 所以 h 1 0 .根据函数零点存在定理，存在 x
2
0 ,1 ，使得 h x0 0，....9 分 3 3
所以 h x 在 0,2 上有且只有一个零点 x0 ......................................10 分
②当 x 2, 时，因为 y log2 x单调递增，所以 y log2 x log2 2 1，
因为 y sin x 1.所以 h x 1 1 0，所以h x 在 2, 上没有零点......12 分
4
综上： h x 有且只有一个零点 x0 .............................................13 分
因为 h x0 log
x0 x
2 x0 sin 0，即 sin 0 log2 x0，....................14 分4 4
g sin x0 g log x 2 log 1所以 2 x0 2log2 x02 0 x0， x
2
,1 .
4 x 0 0 3
1 2 1 3 2 5
因为 y x在 ,1 上单调递减，所以 x x 0 2 3 6 ，.................16 分x 3 0
g sin x0 5所以 ........................................................17分
4 6
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高一 数学
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、设集合，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若复数，则（ ）
A、 1 B、 C、 D、
3、已知等边三角形的边长为2，且，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知实数满足，则下列各项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、 碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A、37.54 B、38.23 C、39.53 D、40.52
8、 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9、已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A、与的夹角的余弦值为 B、在方向上的投影向量为
C、与垂直的单位向量的坐标为 D、若向量与向量共线，则
10、已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A、 B、在上为增函数
C、若的值域为 D、方程有且仅有两个解
11、函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、扇形周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________.
13、已知正实数满足，则的最小值为__________.
14、已知为 外心，若 ，则最小值___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15、（本题13分）已知，且
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16、（本题15分）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）．
(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为）
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
17、（本题15分）已知命题：“，不等式恒成立”为真命题．
（1）求实数取值的集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围.
18、（本题17分）在中，角 的对边分别为，若，且
（1）求；
（2）求边上高的最大值.
19、 （本题17分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；
（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.
