湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

湖南省衡阳县第一中学2023-2024年下学期高二期中考试
数学试题卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．4 D．12
2．已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
3．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B．40 C．41 D．82
5．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
8．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和，使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件、、两两独立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
12．已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 .
13．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ．
14．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
四、解答题解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）（12分）在中，分别是角的对边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若为的中点且，求的面积．
16．（15分）如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角余弦值.
17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
18．（17分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中．
综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率
一级品
二级品
三级品
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
19．（17分）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
数学答案
1．【答案】B
【解析】由复数满足，可得，
则.
故选：B.
2．【答案】B
【解析】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．
则．
故选：B．
3．【答案】C
【解析】因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】因为，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得.
故选：C
5．【答案】D
【解析】因为，则，
∴.
故选：D.
6．【答案】D
【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
7．【答案】C
【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，
因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，
可得，
所以,
根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
可得，则，
所以动点的轨迹方程为.
所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.
故选：C.
8．【答案】C
【解析】因为，故即，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，
故选：C.
9．【答案】AD
【解析】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标，
因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确；
对于，将两圆方程作差可得，
即得公共弦的方程为，故B错误；
对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上，故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确，
故选：AD.
10．【答案】ABD
【解析】A选项，底面为等边三角形，为的重心，
故，
又，故
，A正确；
B选项，，故
，
故，B正确；
C选项，，
又，
设，即，无解，故与不平行，C错误；
D选项，
，
故，D正确.
故选：ABD
11．【答案】ABC
【解析】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．【答案】
【解析】由题意，相减得，又，所以，
则表示点与点连线的斜率，则的取值范围为两点连线斜率范围，
设过点与的切线为（过原点切线为割线斜率的上界），切点为，由，则，
所以，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
如图：

由图可知，，所以，即实数的取值范围为.
13．【答案】
【解析】因，设①，展开整理得：，
对照，可得：，解得，
故①式为：，
因时，， 即数列为常数列，故，
，
数列的前项和为：，
．
故答案为：．
14．【答案】
【解析】由题意得，解得，故椭圆的方程为，
设，线段的中点为，连接，如图，
点在椭圆上，，两式相减得，
则，
设直线的方程为，则，
点也为的中点，，
，解得，
，
，故直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则,
故答案为：
15．【解析】（1）因为，
由正弦定理可得．
又因为在中，有，
所以，
化简得．
因为，所以，
所以，于是．
因为，所以．
（2）由为的中点，可得．
又，所以，
在和中，
根据余弦定理从而可得．
又，所以，
可得．
16．【解析】（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
17．【答案】(1)；(2)证明见解析，直线过定点
【解析】（1）根据题意将代入，得，则，
所以，解得或（舍）．
由，得，
所以椭圆的标准方程为：
（2）如图：
①当直线斜率不存在时，设直线：，，.
则，，此时直线为；
②当直线斜率存在时，设直线：，，.
则直线与椭圆联立 ，
，
，，
，
所以，结合可知，
即应满足或，
所以直线，此直线过定点，
综上所述，直线过定点．
18．【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
；
，又，
则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
19．【解析】（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为