4.6函数的应用（二）同步练习（含解析） 2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第二册

4.6 函数的应用（二） 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设方程的两根为，，则（ ）
A．， B．
C． D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．28 B．16 C．20 D．12
4．已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
7．已知函数的零点在区间内，，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
8．在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
10．设定义在上的连续函数满足，且为奇函数，则下列命题正确的有（ ）(注：函数在区间上连续指的是在区间上，函数的图象连续不断)
A．为的一个周期
B．直线是图象的一条对称轴
C．方程在区间上至少有个解
D．方程在区间[上至少有个解
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最小值为
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．的值域为
C．有2个零点，当时，则
D．若在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
13．已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是 .
14．已知正方形的四个顶点均在函数的图象上，若两点的横坐标分别为，则 ．
15．设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为 .（填写所有符合题意的条件的序号）
①；
②或；
③；
④.
16．已知函数．若，则的零点为 ；若函数有两个零点，，则的最小值为 ．
四、解答题
17．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为.
(1)求证：若，则；
(2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？
18．已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
19．已知函数，.
(1)当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减；
(2)若在区间内有2个零点，求实数的取值范围.
20．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”．
(1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
21．某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中．
(1)若，求和的长；
(2)求d关于的函数表达式；
(3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.
【详解】由可得，
在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：
因为，，
由图象可知，，
所以故A，D错误；
，
因为，所以，所以，
所以，即，故B错误，C正确.
故选：C
2．C
【分析】先判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案.
【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数，
又，，，
所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
3．A
【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28.
【详解】由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴的周期为4，
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
因为方程在上有实数根，
函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的，
所以方程在上有唯一的实数根，
则由于，函数的图象关于直线对称，
故方程在上有唯一实数根，
因为在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有4个实数根之和为
.
故选：A.
4．B
【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：，两边取对数，即可判断；对C：，结合的范围，即可得到，从而进行判断；对D：根据的范围，再结合指数函数单调性，即可判断.
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数；
对A：因为，故，故A错误；
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确；
对C：，故，则，则，故C错误；
对D：因为，，故，则，，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题A选项是所有选项中最重要的一个，需要根据零点存在定理，取求解的范围；对其它选项的处理关键是要灵活应用所学知识.
5．B
【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解.
【详解】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
注意到函数的对称轴为直线，即，
且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而.
故选：B.
6．D
【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.
【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，
作出，的大致图象，如图所示.
由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；
当有3个零点时，只有1个零点；
当有2个零点时，有4个零点.
故选：D
7．B
【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.
故选：B
8．C
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得
，即，所以．
故选：C．
9．ACD
【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB；求出时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C；将问题转化为直线与函数有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
所以函数的图象的对称轴为直线，故A正确.
对于B，当时，.
若，则，函数不具有周期性，故B错误.
对于C，若，，则，
当时，，
则，
即当时，.
当时，，
所以
，所以恒成立，C正确.
对于D，当时，，则，
令，
作出函数的图象和直线，如图.
要使有4个不同的零点，则函数的图象与直线有4个不同的交点.
又，则，
所以，，
所以，，
则，
所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.
10．ABD
【分析】由为奇函数，结合奇函数定义可得，故，结合条件和周期函数定义判断A，由可得为其一个对称轴，结合周期函数性质判断B，先证明，为函数的零点，再结合周期函数性质判断CD.
【详解】对A，定义在上的连续函数满足为奇函数，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
于是，
所以为的一个周期，故A正确；
对B，由知，直线是图象的一条对称轴，
由选项A知，直线是图象的一条对称轴，故B正确；
对CD，因为为奇函数，所以，所以，
又，所以，
则方程在上至少有个解．
而，
于是得方程在上至少有个解．
又，，
所以方程在区间上至少有个解，C错误，D正确．
故选：ABD.
11．CD
【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D.
【详解】函数，
对于A，由，得或，A错误；
对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数的最小值为，D正确.
故选：CD
12．ACD
【分析】对于A，列方程求解验算即可；对于B，直接验算值域即可；对于C，注意到当时，，此时有一个零点，从而只需，由此即可判断；对于D，只需且，解不等式组即可判断.
【详解】对于A，若，解得，故A正确；
对于B，若，则时，，时，，故B错误；
对于C，若有2个零点，注意到当时，，所以此时有一个零点，
所以还需使得时，有一个零点，
又时，，所以，解得，故C正确；
对于D，在上单调递减，
首先时，单调递减，有，
其次时，显然单调递减，
最后还需满足，解得，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】画出函数图象，数形结合，利用图象确定的范围，再结合对数的运算得到正确结果即可.
【详解】作出函数的图象，如下：
由图像可知，，
由，且，所以，
因为，所以，则，
又，所以，
所以取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于分段函数求方程根的个数问题，可采用数形结合，画出图象后，从图象上确定所求根的大致范围，再结合对数的运算求解.
14．
【分析】分析函数关于点中心对称，进而正方形的对称中心为，设出直线的方程为，则直线的方程为，,，,，则,，,，联立直线方程与函数可得，，由，可得，进而求得的值，所以可得，代值计算即可得出答案．
【详解】因为，所以，则，得函数关于点中心对称，
显然该正方形的中心为，
由正方形性质可知，于，且，
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
设,，,，则,，,，
联立直线方程与函数得，即，
，同理，
又，
，即，
化简得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线的综合运用.解决本题的关键是利用函数的对称性与正方形的对称性，从而可设互相垂直的两条直线，再根据直线与曲线相交的坐标关系，进而利用相交弦长公式确定直线斜率关系式.考查了运算求解能力，属于较难题目．
15．②③④
【分析】根据，分别根据所给条件，作出函数图象，将有5个实数根，转化或有5个交点，即可结合图象求解为.
【详解】由可得或，而，
当时，令，所以，
此时，如图，则，由图象知有4个不同的交点，
故只能有一个交点，显然不符合要求，故不满足题意，①舍去，

当由图象知有3个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有2个交点，故或，故②可能，

若由图象知有2个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故③可能，

当时，作出图象如下：
令，
此时，由图象可知有2个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故④可能，
故答案为：②③④

【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16． 50
【分析】空1：求解即可；空2：作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可.
【详解】，解得，故的零点为；
由题意有两个零点，
作出的图象可得，
且，故，即.
故，
当且仅当，即时取等号.

故答案为：5；50
【点睛】关键点点睛：将方程有两个零点问题，转化为函数的图象与直线的交点问题.
17．(1)证明见解析
(2)8个月
【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；
（2）根据题意可得，求解指数不等式即可.
【详解】（1）证明：∵，∴.
∴.
由，得，∴.
（2）令，又，，
∴，即至少需要经过8个月．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解.
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先有，其次利用单调性的定义结合作差法即可得证；
（2）首先，其次由题意可得，且，解不等式组即可求解.
【详解】（1）当时，，
任取，且，
则
，
因为，
所以，
所以，
即，
由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.
（2）因为，
所以函数必有一个零点
又因为在区间内有2个零点，
所以，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为
20．(1)
(2)
【分析】（1）先由函数有意义求出的范围，然后结合已知新定义可得在,上存在实数满足，代入结合对数运算性质进行化简，然后结合函数的性质可求；
（2）由题意得，存在，使得，代入函数解析式进行整理，利用换元法，结合基本不等式可求解．
【详解】（1）由在,上有意义，
故，即，
因为在区间,上为“局部奇函数”，
故在,上存在实数满足，
所以，即，
所以，故,，
又，
故的取值范围为；
（2）由题意得，存在，使得，
则，
整理得，，
即①，
令，则，
可化为，
所以在时有解，
令，，故，当且仅当时等号成立，
所以．
故的取值范围为．
21．(1)，；
(2)，；
(3)59.
【分析】（1）由图，结合几何性质与三角函数可得答案；
（2）由图可得，后由（1）可得答案；
（3）由（2）及 可得 .设改造后停车位数量最大值为，由图可得第n个车位顶点到EM的距离，后结合可得n，即可得答案.
【详解】（1）注意到，又，
则.
则，
又，则，；
（2）由图，，
又由（1），则，
即，；
（3）由（2），.
则，
则，
化简得：，解得或.
因，则，故，.
设改造后停车位数量最大值为.
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为.
则顶点到线段距离为：.
又由图及题意可得：，，
则.
注意到，则.
，则.
则，又.
则，
令，
即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个.
【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将停车位数量与停车位顶点到停车场边界距离联系起来，再利用之前所得到的部分结论解决问题.
答案第1页，共2页
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