数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》教案（新人教b版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》教案（新人教b版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 49.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-20 06:04:00 | ||
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文档简介
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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义(舞蹈附中 孟婷)
（1） 教学目标
1． 知识与技能：
(1) 通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义.
(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3) 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
(4) 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
2． 过程与方法：
(1) 通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念.
(2) 运用几何直观引导学生理解定义的实质.
(3) 进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.
3． 情感、态度与价值观：
有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力.
（2） 教学重点、难点
教学重点是向量的数量积的定义及性质.
教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.
（3） 教学方法
有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解.
（4） 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 （1）向量的概念.（2）向量的加减法和数乘运算.提问引入：我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算，那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢？ 学生回答 复习旧知识引出新知识
概念形成 1．向量数量乘积的物理背景问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？ 教师提问学生回答教师给出向量的数量积的概念. 以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做准备.
2．两个向量的夹角已知两个非零向量a、b，=a，= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a ，b〉并规定0≤〈a ，b〉≤ 强调：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移.（2）范围0≤〈a ，b〉≤.（3）〈a ，b〉=〈b ，a〉（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向〈a ，b〉=时，a、b反向〈a ，b〉=时， a ⊥b.（5）规定：零向量与任意向量垂直. 借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义打好基础。
3．向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.（2）正射影的数量：正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作： al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有 a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.当为锐角时为正值；当为钝角时为负值；当为直角时为0；当 = 0时为 |a|；当 = 180时为 |a|. 教师给出正射影的概念在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。 在学生了解两个概念的基础上，进一步探索发现夹角和正射影数量的关系.借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零: 学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。
向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b 即 a·b = 了解概念
概念深化 概念讲解：1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.2．两个向量的数量积是一个实数，符号由〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。3．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.ea = ae =|a|cosab ab = 0aa = |a|2或cos = ；|ab| ≤ |a||b| 师生共同探索：问题1：两个向量的数量积的几何含义是什么？问题2：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？问题3：两个向量的数量积的性质 给出概念提出问题随着问题的解决进一步加深学生对新概念的理解与掌握.
应用举例 例：已知=5，=4，〈a,b〉解： ab = =5×4×cos120° = -10. 教师板书规范写法 通过练习，进一步巩固所学知识
2.3.2 向量数量积的运算律
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习向量数量积的相关知识 教师提问学生回答 为研究向量数量积的运算律作准备
概念形成 问题1：数量乘法满足的运算律，对于向量的数量积运算是否也同样满足呢 交换律：＝b a成立吗？ 教师提问学生思考并讨论 在教师的引导下，让学生自主探索
问题2：对于乘法分配律，向量的数量积运算是否还满足？（a＋b）c＝a c＋b c另外，还有数乘以向量的乘积有：λ(a b)=(λa) b=a(λb) 教师提示：直观上，不太容易看出它是否成立，可引导学生从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立.
应用举例 例1 求证：例2：求证菱形的两条对角线互相垂直. 对菱形ABCD，记=，=，则=+. =－其中=.∵·=（+）·（－）=2－2=2－2=0.∴⊥即对角钱互相垂直. 要求学生运用向量的数量积的运算律证明.菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=，=，则=+. =－其中=.∵·=（+）·（－）=2－2=2－2，到此，可看出边长相等的作用了. 练习的目的是加深对向量的数量积的运算律的运用和理解.
归纳小结 收获：1．向量的数量积满足：交换律a· b=b·a；2．对加法的分配律：（a+b）· c=a·c+b·c；3．实数与两向量数量积的乘积： λ（a·b）=（λa）·b=a（λb）， 学生总结 巩固所学知识
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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义(舞蹈附中 孟婷)
（1） 教学目标
1． 知识与技能：
(1) 通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义.
(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3) 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
(4) 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
2． 过程与方法：
(1) 通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念.
(2) 运用几何直观引导学生理解定义的实质.
(3) 进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.
3． 情感、态度与价值观：
有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力.
（2） 教学重点、难点
教学重点是向量的数量积的定义及性质.
教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.
（3） 教学方法
有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解.
（4） 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 （1）向量的概念.（2）向量的加减法和数乘运算.提问引入：我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算，那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢？ 学生回答 复习旧知识引出新知识
概念形成 1．向量数量乘积的物理背景问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？ 教师提问学生回答教师给出向量的数量积的概念. 以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做准备.
2．两个向量的夹角已知两个非零向量a、b，=a，= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a ，b〉并规定0≤〈a ，b〉≤ 强调：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移.（2）范围0≤〈a ，b〉≤.（3）〈a ，b〉=〈b ，a〉（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向〈a ，b〉=时，a、b反向〈a ，b〉=时， a ⊥b.（5）规定：零向量与任意向量垂直. 借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义打好基础。
3．向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.（2）正射影的数量：正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作： al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有 a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.当为锐角时为正值；当为钝角时为负值；当为直角时为0；当 = 0时为 |a|；当 = 180时为 |a|. 教师给出正射影的概念在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。 在学生了解两个概念的基础上，进一步探索发现夹角和正射影数量的关系.借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零: 学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。
向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b 即 a·b = 了解概念
概念深化 概念讲解：1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.2．两个向量的数量积是一个实数，符号由〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。3．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.ea = ae =|a|cosab ab = 0aa = |a|2或cos = ；|ab| ≤ |a||b| 师生共同探索：问题1：两个向量的数量积的几何含义是什么？问题2：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？问题3：两个向量的数量积的性质 给出概念提出问题随着问题的解决进一步加深学生对新概念的理解与掌握.
应用举例 例：已知=5，=4，〈a,b〉解： ab = =5×4×cos120° = -10. 教师板书规范写法 通过练习，进一步巩固所学知识
2.3.2 向量数量积的运算律
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习向量数量积的相关知识 教师提问学生回答 为研究向量数量积的运算律作准备
概念形成 问题1：数量乘法满足的运算律，对于向量的数量积运算是否也同样满足呢 交换律：＝b a成立吗？ 教师提问学生思考并讨论 在教师的引导下，让学生自主探索
问题2：对于乘法分配律，向量的数量积运算是否还满足？（a＋b）c＝a c＋b c另外，还有数乘以向量的乘积有：λ(a b)=(λa) b=a(λb) 教师提示：直观上，不太容易看出它是否成立，可引导学生从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立.
应用举例 例1 求证：例2：求证菱形的两条对角线互相垂直. 对菱形ABCD，记=，=，则=+. =－其中=.∵·=（+）·（－）=2－2=2－2=0.∴⊥即对角钱互相垂直. 要求学生运用向量的数量积的运算律证明.菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=，=，则=+. =－其中=.∵·=（+）·（－）=2－2=2－2，到此，可看出边长相等的作用了. 练习的目的是加深对向量的数量积的运算律的运用和理解.
归纳小结 收获：1．向量的数量积满足：交换律a· b=b·a；2．对加法的分配律：（a+b）· c=a·c+b·c；3．实数与两向量数量积的乘积： λ（a·b）=（λa）·b=a（λb）， 学生总结 巩固所学知识
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