初中数学人教版八年级下册数学第十八章平行四边形拔尖练（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册数学第十八章平行四边形拔尖练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 293.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 21:15:33 | ||
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文档简介
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形拔尖练
一、单选题
1．下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
4．已知：如图，菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 的中点，AD＝6cm，则 OE 的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于（ ）
A．24 B．12 C．6 D．8
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，在中，，，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，在中，，为钝角．要在对边，上分别找点M，N，使四边形为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB=4，连接OD，则线段OD长度的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
10．如图，为正方形对角线上一点，为边的中点，于点，若，下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确结论的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．在 中，若 ，则 的度数为 .
12．如图在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F的度数是 ．
13．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E，F，连接EF，则EF最小值为 ．
15．如图， ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA.下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝ AD；③BD＝ ；④S ABCD＝ .正确的有 个.
16．如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有 个.
三、解答题
17．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
18．如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE.
19．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
20．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE，AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
21．已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE．
22．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有B能判定为是菱形，
故选B．
【分析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
3．【答案】D
【解析】【分析】首先可求出AO=5，BO=3，从而利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边可解出AB的范围，再由题意要求可确定AB的值．
【解答】由平行四边形的性质可得，AO=5，BO=3，
∴AB＜AO+BO=8，
故AB的最大整数值为7．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，掌握平行四边形的对角线互相平分及三角形的三边关系是解答本题的关键．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质，各边长都相等，对角线垂直平分，可得点O是AC的中点，证明EO为三角形ABC的中位线，计算可得．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、F是BC、AB的中点，
∴AC=2FD=2×12=24，
∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，
∴EH= AC=12.
故答案为：B.
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一般可得FD=AC，所以AC=2FD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC求解。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AG、GE、EC，
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA，∠B=∠BCD=∠D=∠F =∠H =135°，
∴△ABC≌△CDE≌△EFG≌△GHA（SAS），
∴AC=CE=EG=GA，∴四边形ACEG是菱形，
∵AB=BC，∠B=135°，
∴∠ACB=22.5°，
同理∠ECD=22.5°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴ =
故答案为：B.
【分析】连接AG、GE、EC，根据正八边形的性质得出AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA，∠B=∠BCD=∠D=∠F =∠H =135°，然后利用SAS判断出△ABC≌△CDE≌△EFG≌△GHA，根据全等三角形对应边相等得出AC=CE=EG=GA，根据四边相等的四边形是菱形得出四边形ACEG是菱形，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ACB=22.5°，同理∠ECD=22.5°，根据角的和差得出∠ACE=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形得出四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可直接得出其对角线与边长的比，从而得出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】解： 在△ABC中，AC=6 BC=8 AB=10
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
连接CD，
∵DE⊥AC DF⊥ BC
∴四边形EDFC是矩形
∴EF=CD ∠EDF=90°
∵点P是EF的中点
DP=EF=CD
当CD最小时，则DP最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD 最小，
∴DP=EF=CD=2.4
故答案为：2.4.
【分析】连接CD，由矩形的性质知：EF=CD，∠EDF=90°，由直角三角形斜边中线的性质得出DP=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，在当CD⊥AB时，则DP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DP的长。
8．【答案】D
【解析】【解答】
解：方案甲：根据作图可知AM平分∠DAB，AN=AB，
∴∠NAM=∠BAM
∵在 ABCD中，AD//CD
∴∠NAM=∠AMB
∴∠BAM=∠AMB
∴AB=BM
∴AN=BM
∴四边形ABMN是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BA=BM，AN=AB，则AN=BM，
∵AN//BM
∴四边形ABMN是菱形，故方案乙正确；
故正确答案是：D
【分析】根据作图，分别证明四边形ABMN为菱形，从而求解。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：取BC的中点M，连接DM，OM，
，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当O、M、D共线时，OD的值最大，
∵ ，
∴ ，
∴OD的最大值 ；
故答案为：B.
【分析】取BC的中点M，连接DM，OM，根据三角形中位线、等边三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出OM=DM=2，根据三角形三边关系知：当O、M、D共线时，OD的值最大，利用OD=OM+DM计算即得.
10．【答案】B
【解析】【解答】过点E作垂足为H，易知∴EA=EC，
又AE=EF ∴EF=EC 且EG⊥BC∴FG=CG ∴②正确
∵∴，四边形ABCD是正方形，∴
∴四边形EHBG是矩形，∴∴
∵EF=EC，EG ⊥FC ∴∴∴
∴∴①正确
∵F为边BC的中点，且FG=CG，∴BG=BC=
∴∴③错误
∴∴
∵BC=2BF ∴BD=，即 BE+ED=∴④错误
设正方形ABCD的边长为4a，则BF=2a，BG=EG=3a
∴AB+BF=4a+2a=6a，BE=BG=a，∴，即AB+BF=BE，∴⑤正确
所以①②⑤正确③④错误 ， 所以正确结论有三个，即A、C、D错误
故答案为：B
【分析】利用正方形对称性或正方形性质通过证三角形全等说明EA等于EC，利用等量代换说明EC等于EF，进而利用等腰三角形的性质说明GF等于GC；利用全等三角形对应角相等转化得两锐角互余进而得出AE垂直于EF；对称出全等，对称出角平分线，由角平分线的性质或全等三角形的性质可得点E到AB和BC的距离相等，即三角形ABE和三角形BEG中AB边和BG边上的高是相等的，从而将面积比转化为底的比，也即两三角形面积比等于AB：BG，而线段的计算离不开线段的和差倍分，勾股定理等。本题综合性较强，可应用知识点较多，一旦知识有疏漏就有可能出错，当然也有计算的错误。
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：
【分析】平行四边形的对角相等，据此解答即可.
12．【答案】70°
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据平行四边形的性质知，，然后根据三角形的内角和求解即可。
13．【答案】2，2 或
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得： ，
.
有6种情况：①点P在AD上时，
∵AD=6，PD=2AP，
∴AP=2；
②点P在AC上时，
设AP=x，则DP=2x，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，
，
解得： （负数舍去），
即AP= ；
③点P在AB上时，
设AP=y，则DP=2y，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，
y2+62=（2y）2，
解得：y=2 （负数舍去），
即AP=2 ；
④当P在BC上，设BP=x，
∵DP=2AP，
即x2+6x+24=0，
△=62-4×1×24＜0，此方程无解，
即当点P在BC上时，不能使DP=2AP；
⑤P在DC上，
∵∠ADC=90°，
∴AP＞DP，不能DP=2AP，
即当P在DC上时，不能具备DP=2AP；
⑥P在BD上时，
过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ANP=∠AMP=90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴AM=PN，AN=PM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∵∠PMB=90°，
∴∠MBP=∠MPB=45°，
∴BM=PM=AN，
同理DN=PN=AM，
设PM=BM=AN=x，则PN=DN=AM=6-x，
都不能DP=2AP，
∵DP=2AP，
∴由勾股定理得： ，
即x2-4x+12=0，
△=（-4）2-4×1×12＜0，此方程无解，
即当P在BD上时，不能DP=2AP，
故答案为2或2 或 .
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
14．【答案】
【解析】【解答】连接A、D两点，
∵，，，
∴四边形AEDF为矩形，
∴EF=AD，
当时，AD长度最小，
∵，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出四边形AEDF为矩形，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．【答案】4
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AD，
∴∠BCD＋∠CDA＝180°，
∵∠ECD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，
∵EC＝CD＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，
故①正确，
（2）由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，
∵OA＝OC，
∴OE＝ ，
故②正确；
（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝ ，
故③正确；
（4）由（3）可知，S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC＝ .
故④正确.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得∠CDA＝∠ABC＝60°，再利用角平分线的定义可证得∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，可推出AB=BE，由可得到△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，即可得到AE=CE，利用等腰三角形的性质及平行线的性质，可证得∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，可对①作出判断；由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，利用OA=OC，可得到OE与AD的数量关系，可对②作出判断；由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，可求出AC的长，利用勾股定理求出OB的长，根据BD=2OB，可求出BD的长，可对③作出判断；根据S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC，代入计算，可求出平行四边形ABCD的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
16．【答案】5
【解析】【解答】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，
故答案为：5.
【分析】分5种情况：①作AB或DC的垂直平分线交l于P，②在l上作点P，使PA=AB，③在l上作点P，使PC=DC，④在长方形外l上作点P，使AB=BP，⑤在长方形外l上作点P，使PD=DC，据此即得结论.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为BO，DO的中点，
∴EO＝FO，
∵在△AFO和△CEO中 ，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴∠AFO＝∠CEO，
∴AF∥EC.-
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AO＝CO，BO＝DO，利用线段中点的定义去证明EO＝FO；再利用SAS证明△AFO≌△CEO，利用全等三角形的性质可证得∠AFO＝∠CEO，然后利用平行线的判定定理，可证得结论.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF．
【解析】【分析】利用“ASA”证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质可得AE=AF。
20．【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
∴∠CDF=∠CBE=15°，
又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角，
∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .
【解析】【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠CDF，∠DCF的度数，再根据外角的性质即可求得答案.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵AE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴BF=CE．
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵AE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴BF=CE．
【分析】由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再证出AF=DE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出对应边相等即可．
22．【答案】解：证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中 ，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PE；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中 ，∴△PBM≌△PEN（ASA），∴PB=PE.
【解析】【分析】对于图1，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE；
对于图2，连结PD，根据正方形的性质得CB=CD，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得∠BCP=∠DCP，再根据“SAS”证明△CBP≌△CDP，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBC=∠PED，则∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PE；
对于图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“ASA”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．
23．【答案】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP= =3，则P的坐标是（3，4）；
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM= =3，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【解析】【分析】分类讨论，利用勾股定理进行求解即可。
1 / 1
一、单选题
1．下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
4．已知：如图，菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 的中点，AD＝6cm，则 OE 的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于（ ）
A．24 B．12 C．6 D．8
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，在中，，，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，在中，，为钝角．要在对边，上分别找点M，N，使四边形为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB=4，连接OD，则线段OD长度的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
10．如图，为正方形对角线上一点，为边的中点，于点，若，下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确结论的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．在 中，若 ，则 的度数为 .
12．如图在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F的度数是 ．
13．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E，F，连接EF，则EF最小值为 ．
15．如图， ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA.下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝ AD；③BD＝ ；④S ABCD＝ .正确的有 个.
16．如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有 个.
三、解答题
17．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
18．如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE.
19．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
20．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE，AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
21．已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE．
22．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有B能判定为是菱形，
故选B．
【分析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
3．【答案】D
【解析】【分析】首先可求出AO=5，BO=3，从而利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边可解出AB的范围，再由题意要求可确定AB的值．
【解答】由平行四边形的性质可得，AO=5，BO=3，
∴AB＜AO+BO=8，
故AB的最大整数值为7．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，掌握平行四边形的对角线互相平分及三角形的三边关系是解答本题的关键．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质，各边长都相等，对角线垂直平分，可得点O是AC的中点，证明EO为三角形ABC的中位线，计算可得．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、F是BC、AB的中点，
∴AC=2FD=2×12=24，
∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，
∴EH= AC=12.
故答案为：B.
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一般可得FD=AC，所以AC=2FD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC求解。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AG、GE、EC，
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA，∠B=∠BCD=∠D=∠F =∠H =135°，
∴△ABC≌△CDE≌△EFG≌△GHA（SAS），
∴AC=CE=EG=GA，∴四边形ACEG是菱形，
∵AB=BC，∠B=135°，
∴∠ACB=22.5°，
同理∠ECD=22.5°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴ =
故答案为：B.
【分析】连接AG、GE、EC，根据正八边形的性质得出AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA，∠B=∠BCD=∠D=∠F =∠H =135°，然后利用SAS判断出△ABC≌△CDE≌△EFG≌△GHA，根据全等三角形对应边相等得出AC=CE=EG=GA，根据四边相等的四边形是菱形得出四边形ACEG是菱形，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ACB=22.5°，同理∠ECD=22.5°，根据角的和差得出∠ACE=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形得出四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可直接得出其对角线与边长的比，从而得出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】解： 在△ABC中，AC=6 BC=8 AB=10
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
连接CD，
∵DE⊥AC DF⊥ BC
∴四边形EDFC是矩形
∴EF=CD ∠EDF=90°
∵点P是EF的中点
DP=EF=CD
当CD最小时，则DP最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD 最小，
∴DP=EF=CD=2.4
故答案为：2.4.
【分析】连接CD，由矩形的性质知：EF=CD，∠EDF=90°，由直角三角形斜边中线的性质得出DP=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，在当CD⊥AB时，则DP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DP的长。
8．【答案】D
【解析】【解答】
解：方案甲：根据作图可知AM平分∠DAB，AN=AB，
∴∠NAM=∠BAM
∵在 ABCD中，AD//CD
∴∠NAM=∠AMB
∴∠BAM=∠AMB
∴AB=BM
∴AN=BM
∴四边形ABMN是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BA=BM，AN=AB，则AN=BM，
∵AN//BM
∴四边形ABMN是菱形，故方案乙正确；
故正确答案是：D
【分析】根据作图，分别证明四边形ABMN为菱形，从而求解。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：取BC的中点M，连接DM，OM，
，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当O、M、D共线时，OD的值最大，
∵ ，
∴ ，
∴OD的最大值 ；
故答案为：B.
【分析】取BC的中点M，连接DM，OM，根据三角形中位线、等边三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出OM=DM=2，根据三角形三边关系知：当O、M、D共线时，OD的值最大，利用OD=OM+DM计算即得.
10．【答案】B
【解析】【解答】过点E作垂足为H，易知∴EA=EC，
又AE=EF ∴EF=EC 且EG⊥BC∴FG=CG ∴②正确
∵∴，四边形ABCD是正方形，∴
∴四边形EHBG是矩形，∴∴
∵EF=EC，EG ⊥FC ∴∴∴
∴∴①正确
∵F为边BC的中点，且FG=CG，∴BG=BC=
∴∴③错误
∴∴
∵BC=2BF ∴BD=，即 BE+ED=∴④错误
设正方形ABCD的边长为4a，则BF=2a，BG=EG=3a
∴AB+BF=4a+2a=6a，BE=BG=a，∴，即AB+BF=BE，∴⑤正确
所以①②⑤正确③④错误 ， 所以正确结论有三个，即A、C、D错误
故答案为：B
【分析】利用正方形对称性或正方形性质通过证三角形全等说明EA等于EC，利用等量代换说明EC等于EF，进而利用等腰三角形的性质说明GF等于GC；利用全等三角形对应角相等转化得两锐角互余进而得出AE垂直于EF；对称出全等，对称出角平分线，由角平分线的性质或全等三角形的性质可得点E到AB和BC的距离相等，即三角形ABE和三角形BEG中AB边和BG边上的高是相等的，从而将面积比转化为底的比，也即两三角形面积比等于AB：BG，而线段的计算离不开线段的和差倍分，勾股定理等。本题综合性较强，可应用知识点较多，一旦知识有疏漏就有可能出错，当然也有计算的错误。
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：
【分析】平行四边形的对角相等，据此解答即可.
12．【答案】70°
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据平行四边形的性质知，，然后根据三角形的内角和求解即可。
13．【答案】2，2 或
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得： ，
.
有6种情况：①点P在AD上时，
∵AD=6，PD=2AP，
∴AP=2；
②点P在AC上时，
设AP=x，则DP=2x，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，
，
解得： （负数舍去），
即AP= ；
③点P在AB上时，
设AP=y，则DP=2y，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，
y2+62=（2y）2，
解得：y=2 （负数舍去），
即AP=2 ；
④当P在BC上，设BP=x，
∵DP=2AP，
即x2+6x+24=0，
△=62-4×1×24＜0，此方程无解，
即当点P在BC上时，不能使DP=2AP；
⑤P在DC上，
∵∠ADC=90°，
∴AP＞DP，不能DP=2AP，
即当P在DC上时，不能具备DP=2AP；
⑥P在BD上时，
过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ANP=∠AMP=90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴AM=PN，AN=PM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∵∠PMB=90°，
∴∠MBP=∠MPB=45°，
∴BM=PM=AN，
同理DN=PN=AM，
设PM=BM=AN=x，则PN=DN=AM=6-x，
都不能DP=2AP，
∵DP=2AP，
∴由勾股定理得： ，
即x2-4x+12=0，
△=（-4）2-4×1×12＜0，此方程无解，
即当P在BD上时，不能DP=2AP，
故答案为2或2 或 .
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
14．【答案】
【解析】【解答】连接A、D两点，
∵，，，
∴四边形AEDF为矩形，
∴EF=AD，
当时，AD长度最小，
∵，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出四边形AEDF为矩形，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．【答案】4
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AD，
∴∠BCD＋∠CDA＝180°，
∵∠ECD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，
∵EC＝CD＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，
故①正确，
（2）由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，
∵OA＝OC，
∴OE＝ ，
故②正确；
（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝ ，
故③正确；
（4）由（3）可知，S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC＝ .
故④正确.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得∠CDA＝∠ABC＝60°，再利用角平分线的定义可证得∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，可推出AB=BE，由可得到△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，即可得到AE=CE，利用等腰三角形的性质及平行线的性质，可证得∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，可对①作出判断；由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，利用OA=OC，可得到OE与AD的数量关系，可对②作出判断；由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，可求出AC的长，利用勾股定理求出OB的长，根据BD=2OB，可求出BD的长，可对③作出判断；根据S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC，代入计算，可求出平行四边形ABCD的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
16．【答案】5
【解析】【解答】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，
故答案为：5.
【分析】分5种情况：①作AB或DC的垂直平分线交l于P，②在l上作点P，使PA=AB，③在l上作点P，使PC=DC，④在长方形外l上作点P，使AB=BP，⑤在长方形外l上作点P，使PD=DC，据此即得结论.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为BO，DO的中点，
∴EO＝FO，
∵在△AFO和△CEO中 ，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴∠AFO＝∠CEO，
∴AF∥EC.-
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AO＝CO，BO＝DO，利用线段中点的定义去证明EO＝FO；再利用SAS证明△AFO≌△CEO，利用全等三角形的性质可证得∠AFO＝∠CEO，然后利用平行线的判定定理，可证得结论.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF．
【解析】【分析】利用“ASA”证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质可得AE=AF。
20．【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
∴∠CDF=∠CBE=15°，
又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角，
∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .
【解析】【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠CDF，∠DCF的度数，再根据外角的性质即可求得答案.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵AE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴BF=CE．
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵AE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴BF=CE．
【分析】由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再证出AF=DE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出对应边相等即可．
22．【答案】解：证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中 ，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PE；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中 ，∴△PBM≌△PEN（ASA），∴PB=PE.
【解析】【分析】对于图1，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE；
对于图2，连结PD，根据正方形的性质得CB=CD，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得∠BCP=∠DCP，再根据“SAS”证明△CBP≌△CDP，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBC=∠PED，则∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PE；
对于图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“ASA”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．
23．【答案】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP= =3，则P的坐标是（3，4）；
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM= =3，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【解析】【分析】分类讨论，利用勾股定理进行求解即可。
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