数学：2.3.3《向量数量积的坐标表示与度量公式》教案（新人教b版必修4）

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2.3.3向量数量积的坐标表示与度量公式(舞蹈附中 郭玥 )
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握向量内积的坐标运算及其应用。
（2）掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
（3）掌握向量的长度、距离和夹角公式。
2．过程与方法：
通过解题实践，体会公式和向量垂直的条件的应用。
3．情感、态度与价值观：
通过用向量的坐标反映向量的数量积，让学生体会到代数与几何的完美结合，说明事物是可以相互联系与相互转化的，激发学生的学习兴趣。
（二）教学重点、难点
教学重点：向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件，长度、距离和夹角公式的
坐标表示。
教学难点：向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。
（三）教学方法：
本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量内积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、运算、夹角的坐标公式，从而使向量数量积的运算代数化，在教学中，要引导学生分析解题思路，总结解题规律，提高学生分析问题解决问题的能力。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 （1）向量数量积的定义（2）向量数量积的性质（3）向量数量积的运算律（4）向量的坐标运算 教师提问，学生回答。 复习旧知识，引出新知识
概念形成 1．向量内积的坐标运算a·b＝a1b1+a2b2. 推导过程略 教师引导学生推导出结论。 让学生体会几何问题代数化的思想，培养学生的动手能力。
2．提问：向量垂直的充要条件是什么？如果用向量的数量积的坐标表示可以写成什么？a⊥b a1b1+a2b2=0 说明：当时，条件a1b1+a2b2=0，可以写成。（是比例系数）这就是说，如果a⊥b，则向量(a1, a2)，(－b2, b1)平行。 教师提出问题，学生回答。 提出问题，引导学生去猜想，引申，培养学生的探索能力。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 3．（1）向量的长度的计算公式及文字表述：|a|=，向量的长度等于它的坐标平方和的算数平方根。如教材图2-53。推导过程略。（2）由上述公式，得：若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则这就是两点的距离公式。（3）向量夹角余弦的坐标表达式： 教师指导学生独立完成公式的推导。 由学生独立完成推导，意在培养学生独立思考问题、解决问题的能力，让学生注重与前面知识的衔接，巩固旧知识。
应用举例 例1．已知a＝（ 3，－1），b＝（ 1，－2），求a·b，|a|,|b|,。小结：运用向量的数量积的坐标公式求值。 教师提问，学生独立完成，教师订正。 巩固新知识，培养学生自主解决问题的能力。
例2．已知点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求证。小结：利用数量积的坐标运算证明垂直 教师提问。学生独立完成，教师纠正，完善。 巩固新知识，培养学生动手能力，能够灵活运用知识的能力。
例3．已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。小结：本题利用两向量夹角的坐标公式求正弦值，揭示了向量与三角的联系。 教师：利用什么方法求∠BAC的正弦值？学生：联想到两向量的夹角的坐标公式，尝试完成。教师指导，订正。 巩固新知识，复习旧知识，建立知识之间的联系。
例4．已知点（，）与点（，）,求证直线是线段垂直平分线。小结：证明线段的垂直平分线，用到了中点坐标公式，两向量垂直的充要条件，本题是用向量知识解决解析几何问题。 教师：证明直线是线段的垂直平分线需要证明什么？学生：需要证明垂直和平分问题。师生共同完成证明。 本题是一道综合题，学生不易想到，教师分步设问，引导学生展示思维过程，让学生体会分析问题、解决问题的方法。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课堂练习 教材练习A，1，2，3 学生完成，教师指导。 进一步巩固所学内容。
归纳小结 （1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角。（2）能够灵活运用所学知识。 师生交流，共同完成。 帮助学生总结知识，归纳方法。
布置作业 教材习题A，2，4，5 学生独立完成。 巩固所学知识，方法。
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