第五章第1课时相交线 知识清单＋例题讲解＋课后练习 七年级数学下册人教版

第1课时—相交线
知识点一：邻补角及其性质：
1．邻补角的定义：
如图，两条线相交，像∠2与∠3，∠2与∠1这样顶点重合，其中一边重合，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角．
2．邻补角的性质：
邻补角互补．即∠2＋∠3＝180°．
互为邻补角的两个角既存在位置关系，又存在数量关系．
【类型一：对顶角位置关系的判断】
1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A． B． C． D．
3．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A． B． C． D．
【类型二：邻补角性质的应用】
4．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（　　）
A．35° B．55° C．70° D．110°
5．若，则的邻补角是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，两条直线相交于点O，平分．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线、交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB=48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42° B．48° C．96° D．132°
知识点二：对顶角及其性质：
1．对顶角的定义：
如图，两条线相交，像∠1与∠3这样，顶点重合，两边均互为反向延长线的两个角是对顶角．
2．对顶角的性质：
对顶角相等．即∠1＝∠3．
互为对顶角的两个角既存在位置关系，又存在数量关系．
【类型一：对顶角位置关系的判断】
9．如图，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【类型二：对顶角性质的应用】
12．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知直线、相交于点，平分，若，则度数是（ ）
A．65° B．50° C．25° D．130°
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC∶∠EOD＝1∶2，则∠BOD等于( ) ．
A．30° B．36° C．45° D．72°
15．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是 ．

16．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
17．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=95°，∠2=53°，则∠BOE的度数为（ ）

A．28° B．32° C．42° D．52°
18．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为（　　）
A．32° B．48° C．58° D．64°
19．如图，直线a与直线b相交于一点．若，则的度数为（　　）
A．55° B．60° C．62° D．120°
知识点三：相交线交点问题
如图：
可知，两条直线相交的交点个数为个．三条直线相交的交点个数为个，四条直线相交的交点个数为个，以此类推，条直线相交的交点倍数为个．
【类型一：交点规律题】
20．两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……．那么七条直线最多有（ ）
A．9个交点 B．15个交点 C．21个交点 D．26个交点
21．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　）
A．6 B．11 C．7 D．17
22．如图，2条直线 最多有＝1个交点，3条直线最多有＝3个交点，4条直线最多有＝6个交点，……由此猜想，8条直线最多有＿＿＿个交点.
A．32 B．16 C．28 D．40
23．2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（ ）
A． B． C． D．
24．在平面内，若两条直线的最多交点数记为，三条直线的最多交点数记为，四条直线的最多交点数记为，…，依此类推，则 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【详解】A、∠1和∠2不是对顶角，故该选项不合题意；
B、∠1和∠2不是对顶角，故该选项不合题意；
C、∠1和∠2不是对顶角，故该选项不合题意；
D、∠1和∠2是对顶角，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，解题关键是准确理解定义，正确判断．
2．C
【分析】互为对顶角的其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，据此判断即可．
【详解】∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项A、B、D不正确.
∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项C正确.
故选C.
【点睛】此题考查对顶角、邻补角、内错角，解题关键在于掌握对顶角的性质.
3．C
【分析】互为对顶角的其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，据此判断即可．
【详解】∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项A、B、D不正确.
∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项C正确.
故选C.
【点睛】此题考查对顶角、邻补角、内错角，解题关键在于掌握对顶角的性质.
4．C
【分析】先根据角平分线的性质求得∠COB的度数，再根据平角的定义求解即可．
【详解】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝55
∴∠COB＝110
∴∠BOD＝180 -∠COB＝70
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的性质的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．
5．B
【分析】根据邻补角的和是进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的邻补角为，
故选：B．
【点睛】此题考查了邻补角，熟练掌握邻补角的和为是解题的关键．
6．C
【分析】先根据角平分线定义求出∠AOD=2∠AOE=108°，再根据∠BOD=180°-∠AOD求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴∠AOD=2∠AOE=2×54°=108°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-108°=72°，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，熟练掌握利用角平分线进行角的计算是解题的关键．
7．A
【分析】根据对顶角求出，之和，再根据他们数量关系即可解得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查对顶角．解题的关键在于能够根据题意并结合图形找到数量关系进而求解．
8．B
【分析】根据对顶角相等可得答案．
【详解】∵∠AOB和∠COD是对顶角，∠AOB=48°，
∴∠COD=∠AOB=48°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
9．B
【分析】根据对顶角的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解∶A、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、和是对顶角，故本选项符合题意；
C、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
D、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角是解题的关键．
10．D
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【详解】解：A、与虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
B、与虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
C、与虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
D、与有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
11．B
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项B中的是对顶角，其它都不是．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
12．C
【分析】根据邻补角的性质求得，再根据对顶角相等得到，利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵平分，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了与角平分线有关的计算，涉及了角度的转换，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
13．A
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质，可得，进而得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了对顶角相等和角平分线的定义等知识，关键是掌握对顶角相等．
14．A
【分析】利用角平分线和邻补角的性质计算即可得出．
【详解】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴∠EOC=180°×=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×60°=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
故选：A．
15．对顶角相等
【分析】由对顶角相等即可得出结论．
【详解】这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案是：对顶角相等．
【点睛】本题考查的是对顶角相等的性质和作图；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是解题的关键．
16．B
【分析】根据邻补角和对顶角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查邻补角与对顶角，熟练掌握邻补角与对顶角的意义是解题的关键．
17．B
【分析】由∠BOE与∠AOF是对顶角，可得∠BOE=∠AOF，又因为∠COD是平角，可得∠1+∠2+∠AOF=180°，将∠1=95°，∠2=53°代入，即可求得∠AOF的度数，即∠BOE的度数．
【详解】解：∵∠BOE与∠AOF是对顶角，
∴∠BOE=∠AOF，
∵∠1=95°，∠2=53°，∠COD是平角，
∴∠AOF=180°-∠1-∠2=180°-95°-53°=32°，
即∠BOE=32°．
故选B.
【点睛】本题主要考查对顶角和平角的概念及性质，是需要记忆的内容．
18．D
【分析】先根据平角的定义求出，再由角平分线的定义求出，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，求出是解题的关键．
19．B
【分析】根据题意得，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等，解题的关键是掌握对顶角相等．
20．C
【分析】由已知，在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；由此得出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【详解】解：如图，
2条直线最多有个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，
七条直线最多有个交点；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．
21．C
【分析】4条直线两两相交，有3种位置关系，画出图形，求出m、n的值，再代入进行解答．
【详解】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点有1个，或4个，或6个．
故，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，直线相交的交点个数，解题的关键是掌握直线相交的交点个数，不重不漏．
22．C
【分析】由题目所给信息进行分析后找出规律，归纳为一般性公式即可得到答案．
【详解】由题目所给信息进行分析总结可得，
n条直线最多交点个数M= ，
当n=8时，=28，
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
23．A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…
∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有．
故选A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键．
24．
【分析】利用两条、三条、四条直线最多交点个数，推理出n条直线最多交点个数，然后列式求解即可．
【详解】解：∵2条直线最多交点有1个，
3条直线最多交点有（1＋2）个，
4条直线最多交点有（1＋2＋3）个，
……
∴n条直线最多交点有（1＋2＋3＋……＋n 1）个，即个（n为大于等于2的正整数），
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是规律问题，有理数的混合运算，解题的关键是找到直线条数与最多交点个数的规律．
答案第1页，共2页
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