数学：1-4《正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式---余弦函数》教案（北师大版必修4）
文档属性
| 名称 | 数学：1-4《正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式---余弦函数》教案（北师大版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 27.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-20 06:09:00 | ||
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文档简介
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§4 正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式
---余弦函数
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为：sinα＝，cosα＝.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
cos(π－α) ＝－cosα
请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关
系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(＋α)
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(＋α)互为相反数。我们可以得到：
sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
问题与思考：验证公式 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
∴cosα＝＝
例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。
解：(提示：在r＝|OP|＝2|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P31)
例3．求值：
（1）cos （2）cos （3）cos(－)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
解：（1）cos＝cos（2π－）＝cos＝
（2）cos＝cos（π＋）＝－cos≈－0.9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
例4．化简：
解：（略）
2． 学生练习
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
y
P(a，b)
r
x
O
M
α
π－α
π＋α
－α
x
y
o
P’
P(x,y)
M
M
M’
y
x
2
－4
P
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§4 正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式
---余弦函数
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为：sinα＝，cosα＝.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
cos(π－α) ＝－cosα
请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关
系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(＋α)
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(＋α)互为相反数。我们可以得到：
sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
问题与思考：验证公式 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
∴cosα＝＝
例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。
解：(提示：在r＝|OP|＝2|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P31)
例3．求值：
（1）cos （2）cos （3）cos(－)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
解：（1）cos＝cos（2π－）＝cos＝
（2）cos＝cos（π＋）＝－cos≈－0.9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
例4．化简：
解：（略）
2． 学生练习
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
y
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