第11章 解三角形 单元综合检测
一、单选题
1．已知在中，，.O为所在平面内一点，且满足，且，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨设为的中点，由题意可知,此时三点共线，
又，所以垂直平分，所以，由此即可得解.
【解析】如图所示：
不妨设为的中点，由题意有，可知，
因为，所以三点共线，
又，所以垂直平分，即垂直平分，
又已知，所以，
又因为，所以由余弦定理有，
所以由三角函数平方关系可知，
由三角形面积公式可知，
即的面积为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于合理且灵活转换已知条件，例如由构造三点共线，由发现垂直平分线.
2．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
3．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可.
【解析】设，
则，，
由得，
解得，满足，，
在中，，
可得，
同理可得，
所以
，
因为
，
所以当，即时，最大值为，
结合，可得的最小值为，
所以当时，由最小值，
即的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于三角中有关边的最值问题，我们通常利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角公式变形求最值.
4．已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
5．如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果
【解析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为，
所以，，
所以，
又由题目条件可知，，
所以，，
所以，
所以．
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的综合应用，考查降幂公式，考查三角形的面积公式的应用，考查圆内接四边形的性质的应用，解题的关键是由得四边形是以为圆心的圆内接四边形，从而有，由可得，再结合已知条件和余弦定理可得结果，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题
6．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【解析】因为的面积为，
所以，
中，由余弦定理得，，
则，
因为，
所以,
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
因为，
所以，，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以
，
又，
所以时，取得最大值为，
时，，时，，且，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
7．已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】设，则，取的中点，由可得，进而得到.要使最小，也最小，由图可知、、三点共线时满足，设，则，，，由余弦定理得，则由可得，进而求解.
【解析】设，则，取的中点，
由，
即，
即，
即,
即，
所以，
而，
即，
所以要使最小，也最小，
显然，此时、、三点共线，
设，
则，，，
因为，
所以由余弦定理得，
即，
即，
由，即，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题关键在于转化为，进而转化为进而求解.
8．已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值不可能是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】先利用三角形公式将条件变形可得，再将条件中不等式变形为，利用面积公式计算得到的范围即可.
【解析】
，
又，，即，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对连乘求出的范围，因为发现是积的形式，所以要看条件怎么变形得到积的形式.
二、多选题
9．已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有两解
B．周长的最大值为12
C．的取值范围为
D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理判断A；由余弦定理结合基本不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断C；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断D.
【解析】对于A，由正弦定理得，又，
所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误；
对于B，由余弦定理得：，
则，所以，
所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确；
对于C，，
因为，则的取值范围为，
所以的取值范围为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，则，则，
，
因为，
所以
.
因为，所以，则，
所以当，即时，取得最大值为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】方法点睛：三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的取值范围为
【答案】AC
【分析】
对于A：利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理即可；对于B：利用余弦定理结合三角恒等变换化简整理即可；对于C：根据题意利用三角恒等变换整理得，结合基本不等式分析运算；对于D：根据题意利用正弦定理整理可得，分析运算即可.
【解析】对于A：∵，由正弦定理可得，
即，则，
注意到，则，
可得，则，
所以或（舍去），
即，故A正确；
对于B：由选项A可得，
则，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，整理得，故B错误；
对于D：∵，则，解得，可得，
由正弦定理可得：，
∵，则，可得，故D错误；
对于C：∵，则
，
即，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
故选：AC
【点睛】
方法定睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．
(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．
11．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，
C．当，，时，则
D．
【答案】ACD
【分析】
根据给定条件，取平面的一个基底，利用向量的线性运算结合平面向量基本定理计算判断BC；利用向量数量积及运算律计算判断C；利用三角形面积公式计算判断D作答.
【解析】
中，令，，，
，
，
因为与不共线，则，解得，
所以，A正确；
对于B，，，
则，
因此，解得，，B错误；
对于C，依题意，，，
，
，
，
，
，
，C正确；
对于D，，，
于是，解得，则，
，
同理，
，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】对A，取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，从而可用表示出，进而即可判断C；
对D，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，代入即可求解，进而即可判断D．
【解析】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，得到，进而即可求解．
三、填空题
13．锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 .
【答案】
【分析】利用正弦定理，由题意得，再结合是锐角三角形，得出的范围，然后根据存在最大值，得出的取值范围.
【解析】由正弦定理，，，得，
代入，得，
所以，即，
因为，所以或（舍去），
所以，
因为是锐角三角形，所以，解得，
因为，且，
即，
利用辅助角公式可得,
，其中,
因为，要使存在最大值，
只需存在，使，，所以，
因为，所以，解得.
所以的取值范围.
故答案为：.
14．拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形ABP，BCQ，CAR，它们的中心依次为D，E，F．若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则RQ＝ ，△DEF的面积为 ．
【答案】
【分析】由题意，根据余弦定理，解得三角形的三个内角的余弦值，进而求得正弦值，结合余弦的差角公式，求得的余弦值，在中，根据余弦定理，可得的值，利用同样的思路，求得的长，结合三角形的面积公式，可得答案.
【解析】由题意，作图如下：
在中，由余弦定理可得，则，
由题意，可知，，，
故，
在中，，由余弦定理可得：，故.
连接，
在中，由余弦定理可得：，则，
由等边三角形的性质，易知，，，，
故，
在中，由余弦定理可得：，故，同理可得，
在中，由余弦定理可得：，则，故，则，
故为等边三角形，则，
故答案为：；.
15．平面向量，，满足，，，则 ．
【答案】/
【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案.
【解析】可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以，
在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即，
因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即，
在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故.
故答案为：
【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解.
16．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．
【答案】 20
【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围.
【解析】由余弦定理，，
由于，所以.
设是中点，则共线，如图，
，
.
，
.
因为的最大值为，
所以的最大值为.
，
其中，即，
所以，故.
即的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可.
四、解答题
17．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【解析】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
18．已知的三边长，三内角为．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形中的边角关系，结合分析法和综合法综合运用即可求证.
【解析】由，则只需证：．
先证，
只需证：，
即证：，
即：①，
设，则，同理．
①式成立，
再证．
只需证：，
即证：．②
②式成立．
综上，结论得证.
19．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.
(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）解法一：通过余弦定理和勾股定理直接计算求解；
解法二：根据向量平方的转化进行计算求解；
（2）①由题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，，根据向量坐标公式以及辅助角公式计算即可；
②设，直线与直线相交与点，根据平面向量基本定理相关知识进行转化，得到当越大时，越小，进而得到.
【解析】（1）解法一：
由余弦定理：，
所以，即，
所以，所以
解法二：
由，
平方得，
所以
（2）① 如图建立平面直角坐标系，则，
设，则，
由，
得到，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设，，
则，
，
所以的取值范围为
②设，直线与直线相交于点，
则①，
设② ，
因为三点共线，
所以，③，
由②、③得④ ，
由①、④得，所以，
由于与同向，所以当越大时，越小，
当点与点重合时，最大，且，
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为：
（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；
（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；
（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.
20．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
(1)求曲线段的解析式；
(2)若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
(3)若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)；
【分析】（1）由图可知，，利用求出，再代入点即可求得解析式；
（2）依题意设出B点的坐标，代入解析式即可求得BO的长；
（3）利用正弦定理求得，从而利用三角恒等变换化简得关于的关系式，从而得解.
【解析】（1）由图形易知，，
又，则，又，所以，
又当时，有，即
因为，所以，则，故，
所以曲线段的解析式为，.
（2）因为B点离的距离为1.5千米，则设，
所以，则，
因为，所以，所以，故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米.
（3）依题意，，，
在中，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
在中，，
故
，其中，为锐角，
因为，所以，
显然当时，休息区域的面积取得最大值，
此时.
【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
21．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
(1)证明：；
(2)已知，点为线段的中点，，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面积公式表示出、即可得到，同理得到，即可得证；
（2）由（1）可得，即可得到，设，，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，，再由余弦定理计算可得.
【解析】（1）在、、、中，
，
所以，
又在、、、中，
，
所以，
又，，，
所以，
所以.
（2）由题意可得，所以，
即，所以，又点为线段的中点，即，
所以，又，则，，
设，且，
由，所以，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得②，
在中，由正弦定理可得③，
且，
②③得，即④
由①④解得，（负值舍去），即，
所以.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算.
22．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；
若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.
（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．
【解析】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得
，又因为，则，，
故.
若选②，因为，由正弦定理可得，，
且，则，且，
所以，其中，
所以，则.
（2）由题意可得，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
则，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，所以；
当为锐角，则，即，
则，即，所以；
综上可得，
又因为，
则，
因为，则，
且在上单调递减，，
所以，即，
所以．第11章 解三角形 单元综合检测
一、单选题
1．已知在中，，.O为所在平面内一点，且满足，且，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
2．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
5．如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．1
8．已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值不可能是（ ）
A．7 B． C．8 D．
二、多选题
9．已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有两解
B．周长的最大值为12
C．的取值范围为
D．的最大值为
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的取值范围为
11．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，
C．当，，时，则
D．
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题
13．锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 .
14．拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形ABP，BCQ，CAR，它们的中心依次为D，E，F．若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则RQ＝ ，△DEF的面积为 ．
15．平面向量，，满足，，，则 ．
16．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
18．已知的三边长，三内角为．求证：．
19．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.
(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.
20．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
(1)求曲线段的解析式；
(2)若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
(3)若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
21．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
(1)证明：；
(2)已知，点为线段的中点，，求．
22．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围.
