2023-2024学年八年级数学下册教材同步：直角三角形
考点 1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】
【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（ ）
A．6 B． C．10 D．6或
【答案】B
【解答】解：∵两条直角边的长分别为4和6，
∴斜边＝＝2．
故选：B．
【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．144
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：b＝＝＝12
故选：C．
【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则由勾股定理知：
AB＝＝＝．
故选：A．
【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．或12 C． D．12
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12．
故选：D．
【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】
【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．17.5 B．20 C． D．28
【答案】C
【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D．
设BD＝x，则CD＝5﹣x，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2
，∴x＝4，
∴AD＝＝＝4．
∴S△ABC＝BC AD＝×5×4＝10．
故选：C．
【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵∠B＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝4，
故选：A．
【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．144 B．194 C．12 D．13
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．
故选：A．
【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ab＝24，
故选：B．
【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】
【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
【答案】D
【解答】解：如右图所示，
在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，
∴BC＝＝＝10，
又∵S△ABC＝AC AB＝BC AD，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8．
故选：D．
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设点C到AB的距离为h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15，
∵S△ABC＝AC BC＝AB h，
∴h＝＝．
故选：A．
【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝2，
∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4，
∴AC BD＝4，
∴2BD＝4，
∴BD＝，
故选：C．
【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
【答案】C
【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
∴△ABC的面积为 BC AE＝×6×4＝12，
∴ AC BD＝12，
5×BD＝12，
解得BD＝．
故选：C．
考点2：勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【题型4：勾股定理的证明】
【典例4】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE；
（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
由（1）知：∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE；
②由图可知：
S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴＝，
化简，得：a2+b2＝c2．
【变式4-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值．
【答案】（1）a2+b2＝c2；
（2）t＝．
【解答】解：（1）S梯形ADCB＝S△AEB+S△BEC+S△EDC，
＝++，
a2+2ab+b2＝c2+2ab，
a2+b2＝c2；
（2）过A作∠BAC的角平分线交BC于点P，过P作PD⊥AB交AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝8cm，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PC＝PD，
∵S△ACP+S△ABP＝S△ABC，
AC CP+AB PD＝AC BC，
×8×CP+×10×CP＝×8×6，
∴CP＝，
∴P点走过的路径为AC+CP＝8+＝，
∴t＝÷4＝．
【变式4-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长．
【答案】1．
【解答】解：设直角三角形的两直角边中较长边为a，较短边为b，
∴大正方形的边长为，面积为a2+b2，
由题意得：，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1，
∴a﹣b＝1，
∴小正方形的边长为：4﹣3＝1．
【变式4-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积．
【答案】（1）+4；（2）．
【解答】解：（1）∵直角三角形的较长直角边长2a+3，较短直角边长（3a﹣2），
∴小正方形MNPQ的边长＝2a+3﹣（3a﹣2）＝+4；
（2）∵当a＝3时，+4＝，
∴小正方形MNPQ的面积是×＝．
考点3：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【题型5：直角三角形的判断】
【典例5】（2023春 庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形．
②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形．
③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形．
④由a：b：c＝5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：C．
【变式5-1】（2023春 临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【答案】C
【解答】解：A、因为52+122＝132，所以是直角三角形，不符合题意；
B、因为62+82＝102，所以是直角三角形，不符合题意；
C、因为72+232≠252，所以不是直角三角形，符合题意；
D、因为82+152＝172，所以是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式5-2】（2023春 江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【解答】解：A、∵a：b：c＝1：2：3，
设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∵（x）2+（2x）2≠（3x）2，
∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【变式5-3】（2023春 山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
考点4：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型6：勾股数的应用】
【典例6】（2023春 曲阜市期中）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，， B．32，42，52 C．1，3，2 D．5，12，13
【答案】D
【解答】解：A、不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意．
B、（32）2+（42）2≠（52）2，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
C、12+32≠22，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
D、52+122＝132，构成勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式6-1】（2023春 葫芦岛期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15
【答案】D
【解答】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
B、，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵92+122＝152，∴能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式6-2】（2023春 泸县校级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5
【答案】D
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
C、82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
D、0.32+0.42＝0.52，但是三边不是整数，符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（2023春 麻章区期中）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13 B．5，12，13 C．8，15，16 D．3，4，7
【答案】B
【解答】解：A．62+122≠132，不是勾股数；
B．52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C．82+152≠162，不是勾股数；
D．32+42≠72，不是勾股数．
故选：B．
【题型7：勾股定理的逆定理应用】
【典例7】（2023春 虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）36cm2．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，
∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，
∴，
过点A作AE⊥BD于E，
根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点，
∴BE＝DE＝5，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝12，
∴，
∴阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）．
【变式7-1】（2023春 惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】四边形ABCD的面积为36．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴，，
∵CD＝12，DA＝13，AC＝5，52+122＝132，即AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，
∴，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
【变式7-2】（2023春 良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【答案】（1）三角形ABC不是直角三角形，理由见解答；
（2）点C到AB边的距离为．
【解答】解：（1）三角形ABC不是直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝12+22＝5，
AB2＝22+32＝13，
BC2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴三角形ABC不是直角三角形；
（2）设点C到AB边的距离为h，
由（1）可得AB＝，
∵△ABC的面积＝AB h＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3，
∴h＝9﹣1﹣﹣3，
解得：h＝，
∴点C到AB边的距离为．
【变式7-3】（2023春 休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AC的长为5；
（2）四边形ABCD的面积为36．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝AD CD+AC BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
考点5：直角三角形的判定（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
【题型8 ：直角三角形全等的判定】
【典例8】（2022秋 仁寿县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
【变式8-1】（2023秋 疏勒县期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△BFD和Rt△ACD中
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
【变式8-2】（2023春 莲湖区期末）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），
∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义），
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），
∴OD＝OC（等角对等边）．
【变式8-3】（2022春 泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE．
考点6：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
【题型9 ：四种命题及其关系】
【典例9】（2022 西城区校级模拟）命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是 如果3a＝3b，那么a＝b ，该逆命题是 真 （填“真”或“假”）命题．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．
故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．
【变式9-1】（2022 庐阳区校级一模）命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是 重心与内心重合的三角形是等边三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是重心与内心重合的三角形是等边三角形．
故答案为：重心与内心重合的三角形是等边三角形．
【变式9-2】（2022秋 通道县期末）命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是
三个角都相等的三角形是等边三角形 ．这个逆命题是 真 命题．（填真或假）
【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形；真命题．
【解答】解：命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是“三个角都相等的三角形是等边三角形”，这个逆命题是真命题；
故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真命题．
【变式9-3】（2023春 虹口区校级期末）“x＜1或 y＞2°”的否定形式是 “x≥1或y≤2°” ．
【答案】“x≥1或y≤2°”．
【解答】解：“x＜1或 y＞2°”的否定形式是“x≥1或y≤2°”．
故答案为：“x≥1或y≤2°”
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 靖边县期末）以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝5，b＝10，c＝12 D．a＝4，b＝5，c＝6
【答案】B
【解答】解：A、因为1+12≠22，故不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为32+42＝52，故能构成直角三角形，故B符合题意；
C、因为52+102≠122，故不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、因为42+52≠62，故不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
2．（2023秋 红古区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为6和8，
∴它的斜边长＝＝10．
故选：A．
3．（2023秋 辽宁期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
4．（2023秋 绥阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴点D到AB的距离是3．
故选：A．
5．（2023秋 长春期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由勾股定理知：AC＝＝＝，
所以AD＝AC＝．
所以点D表示的数为﹣1．
故选：D．
6．（2023秋 大东区期末）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（2023秋 铁岭县期末）如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解答】解：①△BCF≌△CBE
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠CFB＝∠BEC＝90°
∵BE＝CF，BC＝BC
∴△BCF≌△CBE（HL）；
②△ABE≌△ACF
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AFC＝∠AEB＝90°
∵BE＝CF，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACF（AAS）；
③△BOF≌△COE
设BE与CF相交于点O，
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠OFB＝∠OEC，
∵由①知：△BCF≌△CBE，
∴BF＝CE，
∠BOF＝∠COE
∴△BOF≌△COE（AAS）．
故选：C．
8．（2022秋 江安县期末）如图，已知CD＝3，AD＝4，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解答】解：∵CD＝3，AD＝4，∠ADC＝90°，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可知：，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ACD＝＝30﹣6＝24，故B正确．
故选：B．
9．（2022秋 翠屏区期末）我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，如果大正方形的面积是11，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．11 B．16 C．21 D．121
【答案】C
【解答】解：∵大正方形的面积是11，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形面积和为11﹣1＝10，即，
∴2ab＝10，a2+b2＝11，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝11+10＝21．
故选：C．
10．（2022秋 东明县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝8，
∵DE⊥AB，
∴S，
∴DE＝＝，
故选：C．
11．（2022秋 巴州区期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
【答案】B
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，
则由勾股定理得：x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13，
即最大正方形E的面积为：z2＝13．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
12．（2023秋 绿园区期末）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：根据题意知，AC2+BC2＝S1+S2＝36，
则在直角△ABC中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．
故答案为：6．
13．（2022秋 清江浦区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠A＝35°，则∠ADB′的度数为 20 °．
【答案】20．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°﹣35°＝55°，
根据折叠，∠CB′D＝∠B＝55°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，即∠CB′D＝∠A+∠ADB′，
∴∠ADB′＝∠CB′D﹣∠A＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20．
14．（2023秋 肇东市校级期末）点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A（﹣1，﹣2），
∴点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是．
故答案为：．
15．（2022秋 巴州区期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是 15 ．
【答案】15．
【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：，
因为S1+S2+S3＝45，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝45，3（a2+b2）＝45，
所以3S2＝45，
∴S2的值是15．
故答案为：15．
三．解答题（共4小题）
16．（2023秋 长春期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
【答案】（1）90°；
（2）21．
【解答】解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
17．（2023秋 绿园区期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，∠ABC＝90°，经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114cm2．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC＝＝＝15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
＝AB BC+AC CD
＝×9×12+×15×8
＝54+60
＝114（cm2）．
18．（2023秋 清丰县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，AB＝10，CD＝3．
（1）求DE和BE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）DE的长为3，BE的长为4；
（2）15．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠C，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝6，
∴AE＝6，
∵AB＝AE+EB＝10，
∴EB＝4，
因此DE的长为3，BE的长为4．
（2）∵AB＝10，DE⊥AB，
又∵DE＝3，
∴S△ADB＝AB DE＝×10×3＝15，
∴△ABD的面积为15．
19．（2022秋 宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）BC＝4cm；
（2）当△ABP为直角三角形时，t的值为2s或．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
由勾股定理得；
（2）由题意知BP＝2t cm．
①当∠APB＝90°时，如图，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，
∴t＝4÷2＝2；
②当∠BAP＝90°时，如图2，CP＝BP﹣BC＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣52，
因此32+（2t﹣4）2＝（2t）2﹣52，
解得．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或．2023-2024学年八年级数学下册教材同步：直角三角形（北师大版）
考点 1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】
【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（ ）
A．6 B． C．10 D．6或
【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．144
【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．或12 C． D．12
【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】
【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．17.5 B．20 C． D．28
【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．144 B．194 C．12 D．13
【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】
【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
考点2：勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【题型4：勾股定理的证明】
【典例4】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【变式4-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值．
【变式4-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长．
【变式4-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积．
考点3：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【题型5：直角三角形的判断】
【典例5】（2023春 庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2023春 临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【变式5-2】（2023春 江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【变式5-3】（2023春 山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点4：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型6：勾股数的应用】
【典例6】（2023春 曲阜市期中）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，， B．32，42，52 C．1，3，2 D．5，12，13
【变式6-1】（2023春 葫芦岛期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15
【变式6-2】（2023春 泸县校级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5
【变式6-3】（2023春 麻章区期中）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13 B．5，12，13 C．8，15，16 D．3，4，7
【题型7：勾股定理的逆定理应用】
【典例7】（2023春 虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【变式7-1】（2023春 惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【变式7-2】（2023春 良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【变式7-3】（2023春 休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
考点5：直角三角形的判定（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
【题型8 ：直角三角形全等的判定】
【典例8】（2022秋 仁寿县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【变式8-1】（2023秋 疏勒县期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【变式8-2】（2023春 莲湖区期末）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
【变式8-3】（2022春 泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
考点6：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
【题型9 ：四种命题及其关系】
【典例9】（2022 西城区校级模拟）命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
【变式9-1】（2022 庐阳区校级一模）命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是 ．
【变式9-2】（2022秋 通道县期末）命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（填真或假）
【变式9-3】（2023春 虹口区校级期末）“x＜1或 y＞2°”的否定形式是 ．
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 靖边县期末）以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝5，b＝10，c＝12 D．a＝4，b＝5，c＝6
2．（2023秋 红古区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
3．（2023秋 辽宁期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C．D．
4．（2023秋 绥阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023秋 长春期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋 大东区期末）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
7．（2023秋 铁岭县期末）如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（2022秋 江安县期末）如图，已知CD＝3，AD＝4，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
9．（2022秋 翠屏区期末）我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，如果大正方形的面积是11，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．11 B．16 C．21 D．121
10．（2022秋 东明县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）
A． B．8 C． D．
11．（2022秋 巴州区期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
二．填空题（共4小题）
12．（2023秋 绿园区期末）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝ ．
13．（2022秋 清江浦区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠A＝35°，则∠ADB′的度数为 °．
14．（2023秋 肇东市校级期末）点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是 ．
15．（2022秋 巴州区期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是 ．
三．解答题（共4小题）
16．（2023秋 长春期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
17．（2023秋 绿园区期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，∠ABC＝90°，经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
18．（2023秋 清丰县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，AB＝10，CD＝3．
（1）求DE和BE的长；
（2）求△ADB的面积．
19．（2022秋 宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
