2023-2024学年八年级数学下册教材同步： 一元一次不等式与一次函数（北师大版）
考点：一次函数与一元一次不等式
（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
（2）如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围
【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】
【典例1】（2023 陇西县校级模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
【答案】B
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＞4，
所以不等式kx+b＞4的解集为x＜﹣1，
故选：B．
【变式1-1】（2023秋 淮北月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，1），则不等式kx+b﹣1＞0的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【答案】A
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＜2．
不等式kx+b﹣1＞0的解集x＜2．
故选：A．
【变式1-2】（2023 丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．
故选：B．
【变式1-3】（2023春 建平县期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜6 D．x＞6
【答案】A
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣3时，kx+b＞6，
故选：A
【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】
【典例2】（2022秋 芝罘区期末）函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＞﹣2时，y＜1
B．当x＜﹣2时，y＜0
C．b＞0
D．若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线上，则m＜n
【答案】A
【解答】解：观察一次函数图象发现，图象过点（﹣2，0），即当y＝0时，x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y＞0，故选项A符合题意；
当x＜﹣2时，y＜0，故选项B不符合题意；
观察一次函数图象发现，图象与y的交点在y轴的正半轴，
∴b＞0，故选项C不符合题意；
观察一次函数图象发现，图象过第一、二、三象限，
∴函数值y随x的增大而增大，
若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线上，则m＜n，故选项D不符合题意；
故选：A．
【变式2-1】（2022秋 雅安期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①a＞0，c＜0；
②当x＜4时，y1＜y2；
③函数y＝ax﹣d不经过第三象限；
④对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：由一次函数y1＝ax+b图象可得a＞0，b＜0由一次函数y2＝cx+d的图象可得c＜0，d＞0，故①说法正确；
由图象可得当x＜4时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象下方，
∴当x＜4时，y1＜y2，故②说法正确；
由于a＞0，d＞0，所以函数y＝ax﹣d的图象经过第一，三，四象限，即不经过第二象限，故③说法错误；
由于a＞0，则﹣a＜0，
∴对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小，故④说法正确．
故选：C．
【变式2-2】（2023春 科左中旗校级期末）一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝﹣2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞﹣3；⑤不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，故①正确；
∵一次函数y＝mx+n与y轴交于负半轴，与x轴交于（﹣1，0），
∴n＜0，方程mx+n＝0的解是x＝﹣1，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式ax+b＞3的解集是x＞0，故④不正确；
由函数图象可知，不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【变式2-3】（2023 永修县校级开学）如图，直线y1＝ax（a≠0）与交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；
一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；
由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；
当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；
故选：B．
【变式2-4】（2023春 汝州市期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当x＞1时，y＜0
B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2
C．当y＞﹣2时，x＞0
D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0
【答案】C
【解答】解：由函数y＝ax+b的图象可知，
A、当x＞0时，y＞﹣2，原说法错误，不符合题意；
B、方程ax+b＝0的解是x＝1，原说法错误，不符合题意；
C、当y＞﹣2时，x＞0，正确，符合题意；
D、不等式ax+b≤0的解集是x≤1，原说法错误，不符合题意．
故选：C
【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】
【典例3】（2023 昭平县三模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x+b2交于点A，根据图象回答，y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【答案】C
【解答】解：由函数图象得：当x＜﹣1时，y1在y2上方，即y1＞y2，
故选：C．
【变式3-1】（2023春 滑县月考）一次函数y1＝kx+b和y2＝2x的图象如图所示，则kx+b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
【答案】D
【解答】解：当x≤1时，kx+b≥2x，
所以不等式kx+b≥2x的解集为x≤1．
故选：D．
【变式3-2】（2023春 鄠邑区期末）如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1
【答案】B
【解答】解：在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集，
观察图象可知：不等式的解集为：0＜x＜1，
故选：B．
【变式3-3】（2023春 渠县校级期中）观察图中的函数图象，则关于x的不等式（a﹣b）x＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【答案】D
【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），
当x＞1时，ax＞bx+c，
∴关于x的不等式（a﹣b）x＞c的解集为x＞1．
故选：D．
【变式3-4】（2023春 抚州期末）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条线相交于点C（1，p），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＞5 D．x＜1
【答案】D
【解答】解：根据函数图象，当x＜1时，kx+b＜mx+n，
所以不等式kx+b＜mx+n的解集为x＜1．
故选：D．
【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】
【典例4】（2023秋 重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），直线CD交y轴于点D（0，9）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
【答案】（1）直线CD的解析式为y＝﹣x+9；
（2）x＜4；
（3）P（﹣6，0）或（2，0）．
【解答】解：（1）直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），
∴a＝+1＝3，
∴A（4，3），
把A（4，3），D（0，9）代入y2＝mx+n得，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+9；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜4；
（3）令y＝0，则y1＝＝0，解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵点P在x轴上，△ABP的面积为6，
∴＝6，即，
∴PB＝4，
∴P（﹣6，0）或（2，0）．
【变式4-1】（2023秋 肇源县期中）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线与坐标轴交于C、D两点．
（1）求交点E的坐标；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求四边形OBEC的面积．
【答案】（1）点E的坐标是（2，﹣2）；
（2）x＜2；
（3）4．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
故直线AB的解析式是y＝﹣2x+2，
则 ，
解得 ，
故点E的坐标是（2，﹣2）；
（2）由图象可知，x＜2时，y＝kx+b的图象在的图象的上方，
故不等式 的解集是x＜2；
（3）当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝6，
则点C的坐标是（0，﹣3），点D的坐标是（6，0），
∴．
【变式4-2】（2023春 红山区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
【变式4-3】（2023春 乾安县期末）如图，一次函数y1＝x+1的图象与正比例函数y2＝kx（k为常数，且k≠0）的图象都过A（m，2）．
（1）求点A的坐标及正比例函数的表达式；
（2）若一次函数y1＝x+1的图象与y轴交于点B，求△ABO的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝2x；
（2）；
（3）x＜1．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y1＝x+1，
得m+1＝2，
解得m＝1，
故点A的坐标为（1，2），
将点A的坐标代入y2＝k x，
得k＝2，
则正比例函数的表达式为y＝2x；
（2）令x＝0，则y1＝1．
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
∴S△ABO＝＝；
（3）结合函数图象可得，当y1＞y2时，x＜1．
【题型5 一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】
【典例5】（2023春 莲池区校级期末）如图直线 y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线 y2＝﹣2x﹣3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为（ ﹣3 ， 3 ）；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜﹣2x﹣3的解集．
【答案】（1）y1＝x+6；
（2）﹣3，3；
（3）x＜﹣3．
【解答】解：（1）把点A（﹣6，0），B（﹣1，5）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为：y1＝x+6；
（2）∵直线 y2＝﹣2x﹣3与直线AB相交于点M，
∴，解得，
∴点M（﹣3，3），
故答案为：﹣3，3；
（3）根据图象可得关于x的不等式kx+b＜﹣2x﹣3的解集为x＜﹣3．
【变式5-1】（2023春 大竹县校级期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图象直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
【答案】（1）y＝﹣2x﹣4；（2）﹣2＜x＜﹣1．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）由（1）可得，不等式2x＜kx+b＜0变为2x＜﹣2x﹣4＜0，
解得﹣2＜x＜﹣1．
故不等式2x＜kx+b＜0的解集为：﹣2＜x＜﹣1．
【变式5-2】（2023春 垦利区期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m的值和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【答案】（1）m＝2，一次函数l2：y＝kx+b的解析式是y＝﹣x+4；（2）x＞2．
【解答】解：（1）∵两函数图象交于点C（m，2），
∴把点C的坐标代入y＝2x﹣2得：2＝2m﹣2，
解得：m＝2，
即C（2，2），
∵函数y＝kx+b的图象经过点B（3，1），点C（2，2），
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4，
即y＝﹣x+4，
所以m＝2，一次函数l2：y＝kx+b的解析式是y＝﹣x+4；
（2）由图象可知不等式kx+b＜2x﹣2的解集是x＞2．
【变式5-3】（2023春 东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线L1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线L2：y＝x交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x+6＞x的解集；
（3）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线L1：y＝﹣x+6，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝12，
则B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
则A（6，3），
故A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）关于x的不等式﹣x+6＞x的解集为：x＜6；
（3）设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x＝12，
解得：x＝4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：，
解得：．
∴直线CD的函数表达式为：y＝﹣x+6．
一．选择题（共7小题）
1．（2023春 崆峒区期末）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】B
【解答】解：不等式kx＜ax+b的解集为x＞﹣3．
故选：B．
2．（2023春 思明区校级期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
【答案】B
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
A正确，不符合题意；
假设点（﹣1，﹣2）在这个函数的图象上，则﹣2＝﹣k+b，
∴b＝k﹣2，
∴k＜0，
∴k﹣2＜0，
∴b＜0，这与b＞0不一致，
∴B错误，符合题意，
令x＝0时，y＝b，
∴图象与y轴的交点为（0，b），
C正确，不符合题意；
当x＞﹣时，y＜0；
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
3．（2023春 荔城区期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2
【答案】C
【解答】解：在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，
∴x＝1，
∴A（1，2），
由图可得：不等式kx+b＜2x的解集为x＞1．
故选：C．
4．（2023春 富平县期中）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b≥0的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x≤﹣3 D．x≥﹣3
【答案】B
【解答】解：由图象可以看出，x轴上方的函数图象所对应自变量的取值为x≥2，
则不等式kx+b≥0的解集是x≥2．
故选：B．
5．（2023春 浦东新区校级期末）如果直线y＝kx+b（k≠0）过第二、三、四象限，与x的交点为（﹣2，0），那么使得kx+b＜0的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
【答案】B
【解答】解：由直线y＝kx+b（k≠0）过第二、三、四象限，可知：y随x的增大而减小，
∵一次函数与x的交点为（﹣2，0），
∴当kx+b＜0时，则x＞﹣2；
故选：B．
6．（2023春 鄂州期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；③kx+b＞0的解集是x＞﹣2；④b＜0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①y随x的增大而减小，由图象经过第二、四象限，故原说法正确；
②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，正确；
③kx+b＞0的解集是x＜﹣2，故此选项错误；
④图象与y轴交于负半轴，故b＜0，正确．
故选：C．
7．（2023 梁山县校级三模）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞3 C．﹣2＜x＜3 D．x＜﹣2或x＞3
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），
∴解集为﹣2＜x＜3，
故选：C．
二．填空题（共3小题）
8．（2022秋 句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与直线y＝2相交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 x＜4 ．
【答案】x＜4．
【解答】解：由图象可得，
关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
故答案为：x＜4．
9．（2023春 两江新区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的交点分别为（﹣2，0）、（0，1），求关于x的不等式kx+b＜1的解集 x＜0 ．
【答案】x＜0．
【解答】解：由图象得：不等式kx+b＜1的解集为：x＜0，
故答案为：x＜0．
10．（2023春 崂山区期末）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是 x≥﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2），
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＜ax+3的解集为x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
三．解答题（共5小题）
11．（2022春 原州区期末）利用函数图象回答下列问题：
（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 （1，2） ；
（2）函数值y1＞y2的解集为 x＞1 ；
（3）函数值y1＜y2的解集为 x＜1 ．
【答案】（1）（1，2）．
（2）x＞1．
（3）x＜1．
【解答】解：（1）观察图象可知，两函数图象相交于（1，2）．
可求出方程组的解为．
故答案为：（1，2）．
（2）观察图象可知，函数值y1＞y2的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
（3）观察图象可知，函数值y1＜y2的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
12．（2023春 芜湖月考）已知一次函数经过点B（0，2），与x轴交于点A．
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）观察图象，当时，x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【答案】（1）b＝2．A（4，0）．
（2）见解析；
（3）0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵一次函数经过点B（0，2），
∴b＝2．
∵当y＝0时，，
解得x＝4．
∴A（4，0）．
（2）由（1）知，A（4，0），B（0，2），
画图如下：
即为所求；
（3）由图知，当时，x的取值范围是0＜x＜4．
13．（2022春 林州市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x＞kx+b的解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2）．
∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8；
（2）∵B（﹣3，2），
∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3．
14．（2021秋 桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【答案】（1）m＝2；k＝﹣1；b＝4；
（2）2＜x＜3；
【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，
∴2＝2m﹣2，
解得m＝2；
∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，
解得：；
（2）由图象可得，不等式组1＜kx+b＜2x﹣2的解集为2＜x＜3．
15．（2022春 潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），
∴5k+5＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．
联立直线AB、CD的解析式成方程组，
，解得：，
∴点C的坐标为（3，2）．
（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，
∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．
（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴S△ACD＝（xA﹣xD） yC＝×（5﹣2）×2＝3．2023-2024学年八年级数学下册教材同步： 一元一次不等式与一次函数（北师大版）
考点：一次函数与一元一次不等式
（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
（2）如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围
【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】
【典例1】（2023 陇西县校级模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
【变式1-1】（2023秋 淮北月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，1），则不等式kx+b﹣1＞0的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【变式1-2】（2023 丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【变式1-3】（2023春 建平县期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜6 D．x＞6
【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】
【典例2】（2022秋 芝罘区期末）函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＞﹣2时，y＜1
B．当x＜﹣2时，y＜0
C．b＞0
D．若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线上，则m＜n
【变式2-1】（2022秋 雅安期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①a＞0，c＜0；
②当x＜4时，y1＜y2；
③函数y＝ax﹣d不经过第三象限；
④对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【变式2-2】（2023春 科左中旗校级期末）一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝﹣2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞﹣3；⑤不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023 永修县校级开学）如图，直线y1＝ax（a≠0）与交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-4】（2023春 汝州市期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当x＞1时，y＜0
B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2
C．当y＞﹣2时，x＞0
D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0
【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】
【典例3】（2023 昭平县三模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x+b2交于点A，根据图象回答，y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【变式3-1】（2023春 滑县月考）一次函数y1＝kx+b和y2＝2x的图象如图所示，则kx+b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
【变式3-2】（2023春 鄠邑区期末）如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1
【变式3-3】（2023春 渠县校级期中）观察图中的函数图象，则关于x的不等式（a﹣b）x＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【变式3-4】（2023春 抚州期末）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条线相交于点C（1，p），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＞5 D．x＜1
【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】
【典例4】（2023秋 重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），直线CD交y轴于点D（0，9）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
【变式4-1】（2023秋 肇源县期中）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线与坐标轴交于C、D两点．
（1）求交点E的坐标；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求四边形OBEC的面积．
【变式4-2】（2023春 红山区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【变式4-3】（2023春 乾安县期末）如图，一次函数y1＝x+1的图象与正比例函数y2＝kx（k为常数，且k≠0）的图象都过A（m，2）．
（1）求点A的坐标及正比例函数的表达式；
（2）若一次函数y1＝x+1的图象与y轴交于点B，求△ABO的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
【题型5 一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】
【典例5】（2023春 莲池区校级期末）如图直线 y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线 y2＝﹣2x﹣3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为（ ， ）；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜﹣2x﹣3的解集．
【变式5-1】（2023春 大竹县校级期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图象直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
【变式5-2】（2023春 垦利区期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m的值和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【变式5-3】（2023春 东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线L1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线L2：y＝x交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x+6＞x的解集；
（3）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
一．选择题（共7小题）
1．（2023春 崆峒区期末）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜1 D．x＞1
2．（2023春 思明区校级期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
3．（2023春 荔城区期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2
4．（2023春 富平县期中）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b≥0的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x≤﹣3 D．x≥﹣3
5．（2023春 浦东新区校级期末）如果直线y＝kx+b（k≠0）过第二、三、四象限，与x的交点为（﹣2，0），那么使得kx+b＜0的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
6．（2023春 鄂州期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；③kx+b＞0的解集是x＞﹣2；④b＜0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023 梁山县校级三模）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞3 C．﹣2＜x＜3 D．x＜﹣2或x＞3
二．填空题（共3小题）
8．（2022秋 句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与直线y＝2相交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 ．
9．（2023春 两江新区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的交点分别为（﹣2，0）、（0，1），求关于x的不等式kx+b＜1的解集 ．
10．（2023春 崂山区期末）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2022春 原州区期末）利用函数图象回答下列问题：
（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 ；
（2）函数值y1＞y2的解集为 ；
（3）函数值y1＜y2的解集为 ．
12．（2023春 芜湖月考）已知一次函数经过点B（0，2），与x轴交于点A．
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）观察图象，当时，x的取值范围是 ．
13．（2022春 林州市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x＞kx+b的解集．
14．（2021秋 桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
15．（2022春 潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．
