2023-2024学年四川省南充市阆中中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省南充市阆中中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，的一个通项公式可能是( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
3.已知数列与均为等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
5.数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，母线长为，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于( )
A. B. C. D.
8.设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A. 函数的最小值是
B. 在区间上单调
C. 是函数的极值点
D. 曲线在附近比在附近上升得更缓慢
10.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. ，
B. 函数的图象是中心对称图形
C. 若是的极小值点，则在区间单调递减
D. 若是的极值点，则
11.设等比数列的公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 是数列中的最大项 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且，则 ______．
13.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是______．
14.已知函数若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在正项等比数列中，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数在上的最大值与最小值．
17.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求证：数列为等比数列；
设，记数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
Ⅱ当时，讨论方程根的个数．
19.本小题分
在微积分中，求极限有一种重要的数学工具洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则．
设，是大于的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的阶无穷递降函数．
结合以上两个信息，回答下列问题：
试判断是否为区间上的阶无穷递降函数；
计算：；
证明：，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，，，
所以此数列的一个通项公式可以是．
故选：．
将每项的绝对值写成以为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案．
本题考查数列通项公式的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
由题意得函数定义域为，，求解，即可得出答案．
【解答】
解：由题意得函数定义域为，，
由得，由得，由得，
函数的单调递减区间为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为数列与均为等差数列，且，，
由等差数列的性质可知
则．
故选：．
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，即，
所以，
则．
故选：．
先对函数求导，令可求出，代入可求，再把代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，属于中档题．
【解答】
解：由，得到，
两式相减得：，
则，又，，
得到此数列除去第一项后，首项是，公比为的等比数列，
所以
则．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：由圆锥的底面半径为，母线长为，可得圆锥的高为，
设圆柱的高为，底面半径为，
则，即有，
可得圆柱的体积为
，
当时，，函数递增；
当时，，函数递减．
所以时，体积取得极大值，且为最大值．
故选：．
求得圆锥的高，设圆柱的高为，底面半径为，由三角形的相似性质可得关于的关系式，由圆柱的体积公式和导数可得最大值．
本题考查导数的运用，以及圆锥与内接圆柱的关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由等差数列的性质可得，．
故选：．
由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
由已知当时总有成立，可判断函数为减函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合解不等式组即可．
【解答】
解：设，则的导数为：
，
当时总有成立，
即当时，恒小于，
当时，函数为减函数，
又，
函数为定义域上的偶函数
又，
函数的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式
或，
或．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于：由图可知，，，单调递减，，，单调递增，
所以，故A错误；
对于：由图可知，，，单调递增，故B正确；
对于：由图可知，，单调递增，，，单调递增，
所以不是函数的极值点，故C错误；
对于：由导数的几何意义知，，，且，
所以在处的切线的斜率小于处的切线的斜率，
即曲线在附近比在附近上升得更加缓慢，故D正确．
故选：．
由图形，根据导数在研究函数单调性的应用，结合极值点的概念即可判断；根据导数的几何意义即可判断．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，当时，，即A正确；
选项B，，．
假设函数是中心对称图形，其对称中心为，则，
，
整理得，，对任意的恒成立，
，解得，
函数的对称中心为，
的对称中心为，即B正确；
选项C，，令，则，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点即，显然在区间上不单调递减，即C错误；
选项D，函数在极值点处的导函数一定为，即D正确．
故选：．
，当时，有，于是可判断选项A是正确的；
，由可得，而的对称中心为，再结合平移的思想即可作出判断；
，设，令，则，，于是函数在和上单调递增，在上单调递减，即，再对比函数的单调性与选项描述的单调性是否一致即可；
，根据函数极值与导数的关系即可作出判断．
本题考查函数图象的特征、利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的推理论证能力和分析能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由于等比数列的公比为，其前和项和为，前项积为，
若，，，
则数列各项均为正值，且，
故有，，则，故A正确，等比数列为正项的递减数列；
由于，故B错误；
根据，可知是数列中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故D正确，
故选：．
根据题意，分析可得，，从而有，，则等比数列为正项的递减数列，再结合等比数列的性质逐一判断即可．
本题主要考查等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】，
【解析】解：当时，；
当时，，对也成立，
所以，．
故答案为：，．
由数列的通项与前项和的关系，计算可得所求通项公式．
本题考查数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，
即，变形可得，
又由，当且仅当即时等号成立，
故的最大值是，
故答案为：．
根据题意，将变形可得，又由基本不等式的性质可得，计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设两曲线的公切线为，切点分别为，，
则，
化简消去得，，
曲线与曲线有公切线，则方程有根，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
曲线与有公切线，则．
故答案为：．
设出公切线与两曲线的切点坐标，结合切点处的导数值与斜率相等列式，可得方程有根，令，再由导数求最值得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查分析问题与解决问题的能力，正确转化是关键，是中档题．
15.【答案】解：因为正项等比数列中，且，，成等差数列，
所以，即，
整理得，
所以舍负，
故；
由得，，
则，
所以．
【解析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解；
求出，然后利用裂项求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式，还考查了裂项求和，属于中档题．
16.【答案】解：，
，
，
，又，
在点处的切线方程为，即为；
由可知当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
在上的最大值为，最小值为．
【解析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；
利用导数研究函数的单调性，再计算极值与端点值，即可求解．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
17.【答案】解：证明：对，两边取倒数可得，
即为，
可得数列首项为，公比为的等比数列；
，
数列的前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得，
，即为，即对任意的恒成立，
而，所以，即的取值范围是．
【解析】对已知递推式两边取倒数，再由等比数列的定义，可得证明；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式求得，再由不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ函数定义域为
由题意知在时恒成立，
即在时恒成立，
时，
由于，
．
Ⅱ设，
，
当时，，在是单调递增，
，，
所以存在唯一的使，即方程只有一个根；
当时，则，令，有或．
在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
的极大值为．
设，其中
则
在上是增函数，
，即，
在上无零点；
又，，
，
又在单调递增，所以存在唯一的使．
即方程只有一个根．
综上所述，当时，方程有且只有一个根．
【解析】Ⅰ根据导数和函数单调性的关系，即可求出的取值范围；
Ⅱ构造函数设，再求导，分类讨论，根据函数的单调性得到函数得最值，再根据函数零点存在定理即可求出．
本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．
19.【答案】解：设，
显然，
所以对任意，不是恒不成立，
由阶无穷递降函数的定义可知，不是区间上的阶无穷递降函数；
设，则，
设，则，
所以，
又因为，
所以；
证明：令，则，
所以原不等式等价于，，
等价于，，
记，
则，
所以，
即有对任意，均有，所以，
因为，
所以，
所以，
即，，证毕．
【解析】设，由即可作出判断；
利用洛必达法则求解；
令，则原不等式等价于，，记，再结合阶无穷递降函数的定义证明．
本题主要考查了洛必达法则的应用，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
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