2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 338.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 08:48:55 | ||
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文档简介
2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将封投入个信封，其中封信恰好投入同一个信箱的概率是( )
A. B. C. D.
2.如图，一组数据，，，，，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球如图放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体如图，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体如图，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. B. C. D.
4.对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：
点的轨迹是一个圆；
点的轨迹是一条直线；
当时，有最大值；
当，时，．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.双曲线：的渐近线方程是______．
6.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 ______．
7.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间单位：，连续记录了天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第百分位数是______．
8.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为：：，现从这三条生产线上随机任意选取件食品为次品的概率为______．
9.若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为______．
10.随机变量的分布列如下，则 ______．
11.若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______．
12.已知个大小相同的球，其中个是红球，个是黑球，个是白球，从中随机取出个形成一组，其中三种颜色都有的概率为______．
13.已知甲同学从学校的个科技类社团、个艺术类社团、个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为______．
14.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于年发明的机械益智玩具魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积是______．
15.某兴趣小组有名学生，若从名学生中选取人，则选取的人中恰有名女生的概率为，且女生人数超过人，现在将名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法．
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则下列结论正确的序号是______．
能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为；
勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；
勒洛四面体的截面面积的最大值为；
勒洛四面体的体积；
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：；
求与平面所成的角的余弦值．
18.本小题分
求的二项展开式中的常数项；
求的二项展开式中系数最大的项．
19.本小题分
本市某区对全区高中生的身高单位：厘米进行统计，得到如下的频率分布直方图．
若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率；
现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个人的样本，若身高在区间中样本的均值为厘米，方差为；身高在区间中样本的均值为厘米，方差为，试求这人的方差．
20.本小题分
根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下单位：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下精确到
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
Ⅰ分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率
Ⅱ从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望
Ⅲ从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立结论不要求证明
21.本小题分
已知椭圆：过点，离心率．
求椭圆的方程；
设过点的直线交椭圆于另一点，若的面积为，其中为坐标原点，求直线的方程；
设过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，求证：线段的中点为定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将封投入个信封，基本事件总数为，
封信恰好投入同一个信箱包含的基本事件个数为，
封信恰好投入同一个信箱的概率．
故选：．
先求出将封投入个信封，基本事件总数，满足题意的基本事件个数，因为是封信恰好投入同一个信箱，那么可能是个信箱中的任意一个，所以有种可能，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得：，则，
故，
，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
故．
故选：．
根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．
本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：构造一个底面半径为，高为的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，
则，，
故截面面积为：，
把代入，
即，
解得：，
橄榄球形几何体的截面面积为，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
．
故选：．
构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积．
本题考查了类比推理的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设，
故可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，
的取值与，无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
距离之和与在圆上的位置无关，
故已知圆在平行线，之间，
，的距离为，则，，
当时，的轨迹是平行于，的直线，故错误；
当时，的的轨迹不是直线，故错误
当时，则，的距离为，，即，有最大值，故正确；
当，时，，即，解得或，
故错误；
故正确的结论有个，
故选：．
可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，当时，轨迹是直线，判断，当时，轨迹不是直线可判断，当时，有最大值，可判断；当，时，根据，即，可求的范围判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的最值问题等知识，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：已知双曲线
令：
即得到渐近线方程为：
故答案为：
直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于求出渐近线的方程．
本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的求法．
6.【答案】
【解析】解：由题意，
．
故答案为：．
利用概率的基本性质及事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的基本性质及事件的概率公式，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由茎叶图可得这组数据为：，，，，，，，
因为，所以第个数据即为第百分位数，
则这组数据的第百分位数是．
故答案为：．
由茎叶图可得数据，再根据百分位数的概念求得结论．
本题考查茎叶图表示数据，考查百分位数的概念，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：记事件“选取的食品为次品”，记事件“此件次品来自甲生产线”，
记事件“此件次品来自乙生产线”，记事件“此件次品来自丙生产线”，
由题意可得，
，，，
由全概率的公式可得：
，
所以从这三条生产线上随机任意选取件食品为次品的概率为．
故答案为：．
根据全概率公式可得结果．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设直线与抛物线相交于点，，
代入抛物线方程可得：，，
相减可得：，
又，，
，解得．
故答案为：．
设直线与抛物线相交于点，，分别代入代入抛物线方程，利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
本题考查了抛物线的方程、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得，则有，
则，
则，
故D．
故答案为：．
根据题意，先利用分布列的性质求出的值，进而求出，利用方差的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积，
圆锥的底面半径，
圆锥的底面积，
圆锥的表面积侧面积底面积，
这个圆锥的表面积与侧面积的比．
故答案为：．
先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此能求出这个圆锥的表面积与侧面积的比．
本题考查圆锥的表面积与侧面积的比，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
12.【答案】
【解析】解：从个球中随机取出个球的取法有：，
又个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色，
若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：，
取出的个球中三种颜色都有的概率为：．
故答案为：．
个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，，
所以．
故答案为：．
根据题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，求出和，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及古典概型和排列组合的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，把魔方的中间一层转动了，俯视图如图，
此时魔方相对原来魔方多出了个小三角形的面积，
由图形的对称性可知，为等腰直角三角形，
设直角边为，则斜边为，
故，可得．
由几何关系得：，
故所求面积．
故答案为：．
根据题意，利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解．
本题考查多面体的表面积计算，注意结合图形的对称性分析，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
由已知得名学生中，有女生人，男生人，再利用插空法求解即可．
【解答】
解：设名学生中，有女生人，男生人，
则名学生中选取人，恰有名女生的概率，
整理得：，即，
因式分解可得：，
解得：或舍去或舍去，
所以名学生中，有女生人，男生人，
将名女生排成一排有种方法，再将名男生插到个空中有种方法，
因为男生的左右相对顺序固定，而名男生排成一排有种方法，
所以一共有，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：正四面体棱长为，设是底面的中心，是其外接球也是内切球的球心，外接球半径为，高为，如图，
，，
由，得，
解得，内切球半径．
所以正四面体的体积为，
外接球体积为．
对于，由勒洛四面体的结构知，
能容纳勒洛四面体正方体的棱长的最小值为，故正确；
对于，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心，
易知该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，
易知、、三点共线，且，，
因此，故正确；
对于，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为，
最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，
根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面时，
勒洛四面体在与平面平行的一个投影平面上的正投影，
当光线与平面夹角不为时，易知截面投影均为上图所示图像在平面上的投影，其面积必然减小．
上图截面为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，
即，故错误；
对于，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，
正四面体的体积，正四面体的外接球的体积，
所以，故正确．
故答案为：．
先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积和外接球的体积，结合勒洛四面体的结构依次分析命题，即可得出结果．
本题属于新概念题，考查了正四面体与球的关系及体积的计算公式，属于难题．
17.【答案】证明：，，，可得，
又底面，，平面，
平面，或者这样证明：在四边形中，作于，于，因为，，，所以四边形为等腰梯形，所以故所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以．
解：以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，
设平面的一个法向量，，，
，
平面的一个法向量为，，
可以求得法向量和的夹角的余弦值为，
则其正弦为，所以与平面所成的角的余弦值为．
【解析】证明平面，然后证明．
以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系，求解平面的一个法向量，利用空间向量的数量积转化求解与平面所成的角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．
18.【答案】解：的二项展开式中的通项公式为，
令，得，
故的二项展开式中的常数项为．
的二项展开式中的通项公式为，
由，
且；
解组成的不等式组，得，又，
所以，
所以的二项展开式中系数最大的项是第项，即．
【解析】利用二项展开式中的通项公式，可求得答案；
根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中的系数最大，列出不等式组，求解即可．
本题主要考查了利用二项式展开式的通项公式求二项式系数的问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图可得：，
解得，
则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率为；
由于身高在区间，的人数之比为：，
所以分层抽样抽取人，区间，内抽取的人数分别为人与人，
设在区间中抽取的个样本为，，其均值为，方差为，
即，，
设区间中抽取的个样本为，，，，其均值为，方差为，
即，，
所以这人身高的均值为，
从而这人身高的方差为，
因此这人身高的方差为．
【解析】先由频率分布直方图中每组的频率之和等于求出的值，再对身高不低于厘米的各个小组的频率进行累加即得；
由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
．
Ⅲ，
，
，
，所以与相互独立．
【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查相互独立事件，是中档题．
Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
Ⅲ利用两个事件相互独立的定义判断即可．
21.【答案】解：依题意，解得，，，
所以椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，，，此时，所以直线的方程为．
当直线的斜率为时，，，此时，所以直线的方程为．
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，，
则，，
所以
，
则，
解得舍去．
综上所述，直线的方程为或．
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去并化简得，
则，，由，
，．
依题意可知直线，的斜率存在，直线的方程为，
令，得，
同理可求得，
所以
，
，所以线段的中点为定点．
【解析】根据已知条件列方程组，求得，，，从而求得椭圆的方程；
根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程；
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得，的坐标的关系式，进而证得线段的中点为定点．
此题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题，考查了方程思想及数形结合思想，考查了数学运算能力，属于难题．
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一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将封投入个信封，其中封信恰好投入同一个信箱的概率是( )
A. B. C. D.
2.如图，一组数据，，，，，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球如图放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体如图，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体如图，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. B. C. D.
4.对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：
点的轨迹是一个圆；
点的轨迹是一条直线；
当时，有最大值；
当，时，．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.双曲线：的渐近线方程是______．
6.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 ______．
7.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间单位：，连续记录了天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第百分位数是______．
8.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为：：，现从这三条生产线上随机任意选取件食品为次品的概率为______．
9.若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为______．
10.随机变量的分布列如下，则 ______．
11.若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______．
12.已知个大小相同的球，其中个是红球，个是黑球，个是白球，从中随机取出个形成一组，其中三种颜色都有的概率为______．
13.已知甲同学从学校的个科技类社团、个艺术类社团、个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为______．
14.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于年发明的机械益智玩具魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积是______．
15.某兴趣小组有名学生，若从名学生中选取人，则选取的人中恰有名女生的概率为，且女生人数超过人，现在将名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法．
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则下列结论正确的序号是______．
能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为；
勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；
勒洛四面体的截面面积的最大值为；
勒洛四面体的体积；
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：；
求与平面所成的角的余弦值．
18.本小题分
求的二项展开式中的常数项；
求的二项展开式中系数最大的项．
19.本小题分
本市某区对全区高中生的身高单位：厘米进行统计，得到如下的频率分布直方图．
若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率；
现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个人的样本，若身高在区间中样本的均值为厘米，方差为；身高在区间中样本的均值为厘米，方差为，试求这人的方差．
20.本小题分
根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下单位：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下精确到
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
Ⅰ分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率
Ⅱ从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望
Ⅲ从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立结论不要求证明
21.本小题分
已知椭圆：过点，离心率．
求椭圆的方程；
设过点的直线交椭圆于另一点，若的面积为，其中为坐标原点，求直线的方程；
设过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，求证：线段的中点为定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将封投入个信封，基本事件总数为，
封信恰好投入同一个信箱包含的基本事件个数为，
封信恰好投入同一个信箱的概率．
故选：．
先求出将封投入个信封，基本事件总数，满足题意的基本事件个数，因为是封信恰好投入同一个信箱，那么可能是个信箱中的任意一个，所以有种可能，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得：，则，
故，
，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
故．
故选：．
根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．
本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：构造一个底面半径为，高为的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，
则，，
故截面面积为：，
把代入，
即，
解得：，
橄榄球形几何体的截面面积为，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
．
故选：．
构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积．
本题考查了类比推理的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设，
故可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，
的取值与，无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
距离之和与在圆上的位置无关，
故已知圆在平行线，之间，
，的距离为，则，，
当时，的轨迹是平行于，的直线，故错误；
当时，的的轨迹不是直线，故错误
当时，则，的距离为，，即，有最大值，故正确；
当，时，，即，解得或，
故错误；
故正确的结论有个，
故选：．
可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，当时，轨迹是直线，判断，当时，轨迹不是直线可判断，当时，有最大值，可判断；当，时，根据，即，可求的范围判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的最值问题等知识，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：已知双曲线
令：
即得到渐近线方程为：
故答案为：
直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于求出渐近线的方程．
本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的求法．
6.【答案】
【解析】解：由题意，
．
故答案为：．
利用概率的基本性质及事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的基本性质及事件的概率公式，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由茎叶图可得这组数据为：，，，，，，，
因为，所以第个数据即为第百分位数，
则这组数据的第百分位数是．
故答案为：．
由茎叶图可得数据，再根据百分位数的概念求得结论．
本题考查茎叶图表示数据，考查百分位数的概念，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：记事件“选取的食品为次品”，记事件“此件次品来自甲生产线”，
记事件“此件次品来自乙生产线”，记事件“此件次品来自丙生产线”，
由题意可得，
，，，
由全概率的公式可得：
，
所以从这三条生产线上随机任意选取件食品为次品的概率为．
故答案为：．
根据全概率公式可得结果．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设直线与抛物线相交于点，，
代入抛物线方程可得：，，
相减可得：，
又，，
，解得．
故答案为：．
设直线与抛物线相交于点，，分别代入代入抛物线方程，利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
本题考查了抛物线的方程、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得，则有，
则，
则，
故D．
故答案为：．
根据题意，先利用分布列的性质求出的值，进而求出，利用方差的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积，
圆锥的底面半径，
圆锥的底面积，
圆锥的表面积侧面积底面积，
这个圆锥的表面积与侧面积的比．
故答案为：．
先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此能求出这个圆锥的表面积与侧面积的比．
本题考查圆锥的表面积与侧面积的比，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
12.【答案】
【解析】解：从个球中随机取出个球的取法有：，
又个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色，
若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：，
取出的个球中三种颜色都有的概率为：．
故答案为：．
个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，，
所以．
故答案为：．
根据题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，求出和，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及古典概型和排列组合的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，把魔方的中间一层转动了，俯视图如图，
此时魔方相对原来魔方多出了个小三角形的面积，
由图形的对称性可知，为等腰直角三角形，
设直角边为，则斜边为，
故，可得．
由几何关系得：，
故所求面积．
故答案为：．
根据题意，利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解．
本题考查多面体的表面积计算，注意结合图形的对称性分析，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
由已知得名学生中，有女生人，男生人，再利用插空法求解即可．
【解答】
解：设名学生中，有女生人，男生人，
则名学生中选取人，恰有名女生的概率，
整理得：，即，
因式分解可得：，
解得：或舍去或舍去，
所以名学生中，有女生人，男生人，
将名女生排成一排有种方法，再将名男生插到个空中有种方法，
因为男生的左右相对顺序固定，而名男生排成一排有种方法，
所以一共有，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：正四面体棱长为，设是底面的中心，是其外接球也是内切球的球心，外接球半径为，高为，如图，
，，
由，得，
解得，内切球半径．
所以正四面体的体积为，
外接球体积为．
对于，由勒洛四面体的结构知，
能容纳勒洛四面体正方体的棱长的最小值为，故正确；
对于，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心，
易知该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，
易知、、三点共线，且，，
因此，故正确；
对于，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为，
最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，
根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面时，
勒洛四面体在与平面平行的一个投影平面上的正投影，
当光线与平面夹角不为时，易知截面投影均为上图所示图像在平面上的投影，其面积必然减小．
上图截面为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，
即，故错误；
对于，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，
正四面体的体积，正四面体的外接球的体积，
所以，故正确．
故答案为：．
先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积和外接球的体积，结合勒洛四面体的结构依次分析命题，即可得出结果．
本题属于新概念题，考查了正四面体与球的关系及体积的计算公式，属于难题．
17.【答案】证明：，，，可得，
又底面，，平面，
平面，或者这样证明：在四边形中，作于，于，因为，，，所以四边形为等腰梯形，所以故所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以．
解：以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，
设平面的一个法向量，，，
，
平面的一个法向量为，，
可以求得法向量和的夹角的余弦值为，
则其正弦为，所以与平面所成的角的余弦值为．
【解析】证明平面，然后证明．
以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系，求解平面的一个法向量，利用空间向量的数量积转化求解与平面所成的角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．
18.【答案】解：的二项展开式中的通项公式为，
令，得，
故的二项展开式中的常数项为．
的二项展开式中的通项公式为，
由，
且；
解组成的不等式组，得，又，
所以，
所以的二项展开式中系数最大的项是第项，即．
【解析】利用二项展开式中的通项公式，可求得答案；
根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中的系数最大，列出不等式组，求解即可．
本题主要考查了利用二项式展开式的通项公式求二项式系数的问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图可得：，
解得，
则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率为；
由于身高在区间，的人数之比为：，
所以分层抽样抽取人，区间，内抽取的人数分别为人与人，
设在区间中抽取的个样本为，，其均值为，方差为，
即，，
设区间中抽取的个样本为，，，，其均值为，方差为，
即，，
所以这人身高的均值为，
从而这人身高的方差为，
因此这人身高的方差为．
【解析】先由频率分布直方图中每组的频率之和等于求出的值，再对身高不低于厘米的各个小组的频率进行累加即得；
由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
．
Ⅲ，
，
，
，所以与相互独立．
【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查相互独立事件，是中档题．
Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
Ⅲ利用两个事件相互独立的定义判断即可．
21.【答案】解：依题意，解得，，，
所以椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，，，此时，所以直线的方程为．
当直线的斜率为时，，，此时，所以直线的方程为．
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，，
则，，
所以
，
则，
解得舍去．
综上所述，直线的方程为或．
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去并化简得，
则，，由，
，．
依题意可知直线，的斜率存在，直线的方程为，
令，得，
同理可求得，
所以
，
，所以线段的中点为定点．
【解析】根据已知条件列方程组，求得，，，从而求得椭圆的方程；
根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程；
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得，的坐标的关系式，进而证得线段的中点为定点．
此题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题，考查了方程思想及数形结合思想，考查了数学运算能力，属于难题．
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