2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 56.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 09:43:47 | ||
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文档简介
2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.与一定相等的是( )
A. B. C. D.
3.使取最小值的的集合是( )
A. B.
C. D.
4.在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，共35分。
5.对应的弧度数为______．
6.在中，已知，，，则角的大小为______．
7.函数的定义域为 ．
8.已知，则的值为______．
9.函数的最小正周期是______．
10.方程，，则 ______用反三角函数表示
11.已知奇函数的一个周期为，当时，，则 ______．
12.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______．
13.已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至则点的坐标为______．
14.若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求的值；
若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值．
16.本小题分
幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
求的表达式；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知下列是两个等式：
；
；
请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
请证明你的结论；
18.本小题分
如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
19.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
请填写上表的空格处，并写出函数的解析式；
将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间；
在的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：可得，可得，
所以是成立的既非充分也非必要条件．
故选：．
通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，充要条件的判定，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：令，，整理得，．
故函数取得最小值为．
故取得最小值的的集合为．
故选：．
直接利用余弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，因为，
若，则可得，解得，或，
因为，可得，可得，故错误；
对于，，故错误；
对于，因为为非直角三角形，所以，
则，故正确；
对于，若，则，即，即，即是等边三角形，由于为斜三角形，故错误．
故选：．
对于，利用诱导公式化简已知可得，解方程可解得的值，可求范围，即可判断；
对于，利用判定；
对于，利用，计算即可；
对于，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合已知即可判断得解．
本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：对应的弧度数为．
故答案为：．
利用角度制与弧度制的互化公式求解．
本题主要考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
由余弦定理可得
，
，
故答案为：
由题意和余弦定理可得，由三角形内角的范围可得．
本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
解关于对数函数的不等式，求出的范围即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
函数的定义域是．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：由，得，解得．
故答案为：．
利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期是：．
故答案为：．
由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案．
本题考查三角函数的周期性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若锐角满足，则，
因此当时，满足的．
故答案为：．
根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式算出本题答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、利用反正弦函数求值等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，奇函数的一个周期为，
则，
又由当时，，则，
故；
故答案为：．
根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得，结合函数的解析式可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数在区间上是严格增函数，
可得，则，解得．
即的范围为
故答案为：
由函数的递增区间，可得的范围，可得的范围，进而求出的范围．
本题考查正切函数的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设以为终边的角为，则由三角函数定义可知：，，
由题意，以为终边的角为，
又，
，
即点的坐标为，
故答案为：
直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
14.【答案】，
【解析】解：作出，的图象如图所示；
当时，函数只有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，，有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
画出函数的图象，分，，，，讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
，
；
由题意，，
由知，，
则．
【解析】由已知求得，再由倍角公式可得的值；
利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．
16.【答案】解：依题意，，解得，
所以；
不等式，即，
又在上是增函数，则在上是减函数，
而在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，由此求得的值，进而得解；
依题意，对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由；
；
根据以上两式总结一般的三角等式为：；
证明：由二倍角公式整理可得：，，
又，
，
．
即命题得证．
【解析】根据以上两式总结一般的三角等式为：；
依据三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，从等式的右边出发向左边进行证明从而得到结论．
本题重点利用三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，通过复杂一方向简单一方进行证明．
18.【答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，，，
，
，
；
因为，
则，，，
，
，
，
即时，，此时在弧的四等分点处．
【解析】作于点，交线段于点，连接、，求出，，可得矩形的面积；
设，求出，，可得矩形的面积，再求最大值．
本题主要考查了扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：根据表中的数据可得，解得，
故，所以，又，故．
所以完表如下：
所以函数如图：
解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
故．
此时，
令，则，故．
当时，为增函数，
故为减函数；
当时，为减函数；
故为增函数．
所以的增区间为．
解：，的周期为，
当时，令，考虑方程的根情况，
因为，故在必有两个不同的实数根，，，
因为在有奇数个零点，故或．
若，则方程，在共有个不同的实数根，
在有个实数根或个实数根，
故F在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去．
若，，则在共有个不同的实数根，在有个实数根或个实数根，
故F在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去．
同理，也不成立，所以或，
若，则，此时的根为，
方程在共有个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，
所以在有个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程在共有个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
所以在有个根，符合题意．
综上，，在共有个不同的零点．
【解析】根据表中数据可得关于，的方程组，解出，的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式．
先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间．
令，设方程的根为，，分；，；，三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数．
本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，考查学生的综合能力．属于难题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.与一定相等的是( )
A. B. C. D.
3.使取最小值的的集合是( )
A. B.
C. D.
4.在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，共35分。
5.对应的弧度数为______．
6.在中，已知，，，则角的大小为______．
7.函数的定义域为 ．
8.已知，则的值为______．
9.函数的最小正周期是______．
10.方程，，则 ______用反三角函数表示
11.已知奇函数的一个周期为，当时，，则 ______．
12.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______．
13.已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至则点的坐标为______．
14.若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求的值；
若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值．
16.本小题分
幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
求的表达式；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知下列是两个等式：
；
；
请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
请证明你的结论；
18.本小题分
如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
19.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
请填写上表的空格处，并写出函数的解析式；
将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间；
在的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：可得，可得，
所以是成立的既非充分也非必要条件．
故选：．
通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，充要条件的判定，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：令，，整理得，．
故函数取得最小值为．
故取得最小值的的集合为．
故选：．
直接利用余弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，因为，
若，则可得，解得，或，
因为，可得，可得，故错误；
对于，，故错误；
对于，因为为非直角三角形，所以，
则，故正确；
对于，若，则，即，即，即是等边三角形，由于为斜三角形，故错误．
故选：．
对于，利用诱导公式化简已知可得，解方程可解得的值，可求范围，即可判断；
对于，利用判定；
对于，利用，计算即可；
对于，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合已知即可判断得解．
本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：对应的弧度数为．
故答案为：．
利用角度制与弧度制的互化公式求解．
本题主要考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
由余弦定理可得
，
，
故答案为：
由题意和余弦定理可得，由三角形内角的范围可得．
本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
解关于对数函数的不等式，求出的范围即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
函数的定义域是．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：由，得，解得．
故答案为：．
利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期是：．
故答案为：．
由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案．
本题考查三角函数的周期性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若锐角满足，则，
因此当时，满足的．
故答案为：．
根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式算出本题答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、利用反正弦函数求值等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，奇函数的一个周期为，
则，
又由当时，，则，
故；
故答案为：．
根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得，结合函数的解析式可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数在区间上是严格增函数，
可得，则，解得．
即的范围为
故答案为：
由函数的递增区间，可得的范围，可得的范围，进而求出的范围．
本题考查正切函数的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设以为终边的角为，则由三角函数定义可知：，，
由题意，以为终边的角为，
又，
，
即点的坐标为，
故答案为：
直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
14.【答案】，
【解析】解：作出，的图象如图所示；
当时，函数只有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，，有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
画出函数的图象，分，，，，讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
，
；
由题意，，
由知，，
则．
【解析】由已知求得，再由倍角公式可得的值；
利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．
16.【答案】解：依题意，，解得，
所以；
不等式，即，
又在上是增函数，则在上是减函数，
而在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，由此求得的值，进而得解；
依题意，对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由；
；
根据以上两式总结一般的三角等式为：；
证明：由二倍角公式整理可得：，，
又，
，
．
即命题得证．
【解析】根据以上两式总结一般的三角等式为：；
依据三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，从等式的右边出发向左边进行证明从而得到结论．
本题重点利用三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，通过复杂一方向简单一方进行证明．
18.【答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，，，
，
，
；
因为，
则，，，
，
，
，
即时，，此时在弧的四等分点处．
【解析】作于点，交线段于点，连接、，求出，，可得矩形的面积；
设，求出，，可得矩形的面积，再求最大值．
本题主要考查了扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：根据表中的数据可得，解得，
故，所以，又，故．
所以完表如下：
所以函数如图：
解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
故．
此时，
令，则，故．
当时，为增函数，
故为减函数；
当时，为减函数；
故为增函数．
所以的增区间为．
解：，的周期为，
当时，令，考虑方程的根情况，
因为，故在必有两个不同的实数根，，，
因为在有奇数个零点，故或．
若，则方程，在共有个不同的实数根，
在有个实数根或个实数根，
故F在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去．
若，，则在共有个不同的实数根，在有个实数根或个实数根，
故F在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去．
同理，也不成立，所以或，
若，则，此时的根为，
方程在共有个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，
所以在有个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程在共有个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
所以在有个根，符合题意．
综上，，在共有个不同的零点．
【解析】根据表中数据可得关于，的方程组，解出，的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式．
先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间．
令，设方程的根为，，分；，；，三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数．
本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，考查学生的综合能力．属于难题．
第1页，共1页