数学：2-3《从速度的倍数到数乘向量》教案（北师大版必修4）

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2-3从速度的倍数到数乘向量
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.
2. 平面向量基本定理的理解.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和()+()+()
==++=3
==()+()+()=3
讨论：① 3与方向相同且|3|=3||
② 3与方向相反且|3|=3||
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
①|λ|=|λ|||
②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向
即：|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向
还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当，且λ0，λ1时
1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
作= = =λ =λ
则=+ λ+λ
由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
λ(+)=λ+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
若有向量()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量
若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=μ
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例2.
例3.如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数
使
（证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
【巩固深化，加强基础】
1.见P85练习1、2、3、4题.
2.如例3图，，不共线，=t (tR)用，表示.
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
②．对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析
设，是不共线向量，是平面内任一向量
= =λ1 ==+=λ1+λ2
= =λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
[注意几个问题]：
① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.
② 这个定理也叫共面向量定理.
③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
[展示投影]例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补充；）
例4．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
∴=cos60=1 =0.5 (kg)
=cos30=1 =0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
例5.如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，
用，表示，，和
解：在 ABCD中
∵=+=+
==
∴==(+)=
==()= ==+
===+
例6. 如图，在△ABC中，=, =，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解法1：∵=, = 则==
∴=+=+而=
∴=+
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC ∴ ==
== == ∴=+=+
例7．设,是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2, 若三点A, B, D共线，求k的值.
解：==(2)(+3)=4
∵A, B, D共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4) ∴ ∴k=8
【巩固深化，发展思维】
1．在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，
2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4.
3.见P85练习1、2题.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①数乘向量的几何意义理解.
②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
③平面向量基本定理的理解及注意的问题.
五、评价设计
1．作业：
2.（备选题）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=, =，试以, 为基底表示, ,
解：== 连ND 则DC╩ND
∴===
又∵==
∴===
=(+)=
3.体会向量在平面几何中的应用．
六、课后反思：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
B
A
O
C
P
Q
M
N
O
A
B
B1
A1
A
O
B
B1
A1
P
B
A
O
O
N
B
MM
CM
P1
P
P2
30
60
D
M
A
BM
CM
a
b
D
A
BM
CM
a
b
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
O
D
A
MM
CM
BM
NM
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