初中数学沪科版八年级上册1.3.2三角形内角和定理教学设计（含答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学沪科版八年级上册1.3.2三角形内角和定理教学设计（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 103.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-05 11:02:52 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 命题与证明：三角形内角和定理
教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级上册 出版社：上海科学技术出版社 出版日期：2013年6月
教学目标
1.理解三角形内角和定理，在参与观察、实验、折纸、剪纸等数学活动中，体会思维实验和理性推理的作用，清晰地表达自己的想法。 2.掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法。 3.运用三角形内角和定理解决简单的问题。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验证明定理方法的多样性，发展创新意识。 4.学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。在分组展示中体验成功的乐趣，建立自信心。
教学内容
教学重点： 1.在动手实践过程中会寻找证明三角形内角和定理的路径、思考多种证明方法的本质联系。
2. 能够根据不同方法在证明中添加合适的辅助线，感受辅助线的必要性。
教学难点： 1.学会利用三角形内角和定理进行几何计算。
2.学会利用三角形内角和定理解决实际生活问题。
教学过程
教学环节所用时间教学过程课前准备学生准备三角形纸片、直尺、剪刀、量角器等工具；布置复习作业：平角的定义、平行线的性质 引入与操作 3分钟引入：三角形是我们从小学到初中一直在学习，一直在应用的一个几何基本图形，三角形在生活中也随处可见，比如交通标识、热带鱼、三角蛋糕以及金字塔等等，三角形已经成为我们生活中最常见的图形之一，可见三角形对我们的生活、学习有多重要。 问题1：在小学我们就学习过了三角形的三个内角之和为180°，那大家还记得我们在小学是怎样验证这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究.
有的同学利用量角器度量一个三角形的三个内角的度数，计算这三个内角的和. 但是，在度量的过程中，往往会有误差；有的同学采用折叠的方法，将各角沿着一边所在的直线折叠；有的同学如下图通过剪图、拼图的方法得出结论。 大家通过自己动手实践验证了自己手中的三角形内角和是180°，形状不同的、大小不同的三角形有无数个，那我们能不能把通过剪拼或折叠把所有三角形都验证一遍，显然不行，那基于刚才的实践，我们能不能找适合的方法、用严谨的的证明来验证所有三角形的内角和都等于180°呢？ 分析：用数学语言来翻译，验证对象是三角形，所以我们应该先任意画一个三角形，把文字叙述翻译为了几何图形直观叙述，其次要验证的是三个内角之和，也就是∠A+∠B+∠C=180°在 ABC，∠A+∠B+∠C=180° 理论证明 10分钟问题2：拼接实验，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，发现了一条过点A 平行与边BC的直线l，从平行线的性质入手，大家能给出三角形内角和为180°的严谨证明吗？ 分析：先把实践中的结果图转化为几何图形，，通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线中相关角等的性质和平角的定义来证明结论。 对于第一种剪拼模型： 证明： 如图， 过点 A 作直线 l，使 l //BC. ∵ l //BC， ∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理 ∠3= ∠5. (两直线平行，内错角相等). ∵ ∠1 ，∠4， ∠ 5组成平角， ∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义). ∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换). 对于第二种剪拼模型： 分析：所拼接的部分来到了三角形外部，其中绿色部分的一边在BC的延长线上，蓝色部分的一边和AC边重合，另一边和AB平行，有两条线必须出现，一条延长线和一条平行了AB的直线，把这个结果图转化成数学几何图形，应该先是一个三角形，在三角形的基础之上，延长BC，过点C做AB的平行线CE. 证明： 延长BC到D，过点C作CE//BA， ∴ ∠A=∠1 ，(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换) 总结结论： 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 符号语言：在△ABC 中,∠A +∠B +∠C=180° 应用新知 5分钟解决以下问题，以下度数能否组成三角形： 3°， 150°， 27° ； 60°， 40°， 90° 答案：能、不能 答案：100° 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，则∠A+∠C＝（ ） A．90° B．80° C．110° D．45° 分析：∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180°，且∠B=90°， ∴ ∠A+∠C=180°- ∠B= 180°- 90°=90° 3.在△ABC中，∠ B+∠ C＝90°，则△ABC是一个（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 分析： ∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180°，且∠B+∠C=90° ∴ ∠A=180°- （∠B +∠C ）= 180°- 90°=90° 归纳总结：可以利用三角形内角和定理解决： （1）判断三个角能否是某个三角形的三个内角 （2）已知两角计算第三个角、判断直角三角形 （3）生活中的实际问题 4.图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求∠ABC和∠ACB的度数？ 分析：首先将题目中的方位角标出如下图： A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC和∠ ACB是△ABC的两个内角。 ∠ABC可以通过平行线知识求出，如果能求出∠CAB，就能求出∠ACB的度数 解：由题知： ∠CAD=50°，∠BAD=80°，∠EBC=40° ∴ ∠CAB=∠BAD -∠CAD=80°－50°=30° ∵ AD//BE ∴ ∠BAD+∠ ABE=180° ∴ ∠ABE=180°－∠BAD = 180°－ 80°= 100° ∴ ∠ABC=∠ABE －∠EBC=100°－40°=60° ∴ 在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC－∠ CAB =180°－60°－30°=90°. 综上： ∠ABC=60°， ∠ACB=90° 课堂小结 2分钟1.本节课主要学习了什么知识？学习到了什么新的方法？ 2.思考为什么需要对三角形内角和定理进行严谨证明？ 3.思考：在△ABC中除了三个内角的关系外，你还能探索出其他的角吗？这些角又有什么关系呢？
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 命题与证明：三角形内角和定理
教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级上册 出版社：上海科学技术出版社 出版日期：2013年6月
教学目标
1.理解三角形内角和定理，在参与观察、实验、折纸、剪纸等数学活动中，体会思维实验和理性推理的作用，清晰地表达自己的想法。 2.掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法。 3.运用三角形内角和定理解决简单的问题。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验证明定理方法的多样性，发展创新意识。 4.学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。在分组展示中体验成功的乐趣，建立自信心。
教学内容
教学重点： 1.在动手实践过程中会寻找证明三角形内角和定理的路径、思考多种证明方法的本质联系。
2. 能够根据不同方法在证明中添加合适的辅助线，感受辅助线的必要性。
教学难点： 1.学会利用三角形内角和定理进行几何计算。
2.学会利用三角形内角和定理解决实际生活问题。
教学过程
教学环节所用时间教学过程课前准备学生准备三角形纸片、直尺、剪刀、量角器等工具；布置复习作业：平角的定义、平行线的性质 引入与操作 3分钟引入：三角形是我们从小学到初中一直在学习，一直在应用的一个几何基本图形，三角形在生活中也随处可见，比如交通标识、热带鱼、三角蛋糕以及金字塔等等，三角形已经成为我们生活中最常见的图形之一，可见三角形对我们的生活、学习有多重要。 问题1：在小学我们就学习过了三角形的三个内角之和为180°，那大家还记得我们在小学是怎样验证这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究.
有的同学利用量角器度量一个三角形的三个内角的度数，计算这三个内角的和. 但是，在度量的过程中，往往会有误差；有的同学采用折叠的方法，将各角沿着一边所在的直线折叠；有的同学如下图通过剪图、拼图的方法得出结论。 大家通过自己动手实践验证了自己手中的三角形内角和是180°，形状不同的、大小不同的三角形有无数个，那我们能不能把通过剪拼或折叠把所有三角形都验证一遍，显然不行，那基于刚才的实践，我们能不能找适合的方法、用严谨的的证明来验证所有三角形的内角和都等于180°呢？ 分析：用数学语言来翻译，验证对象是三角形，所以我们应该先任意画一个三角形，把文字叙述翻译为了几何图形直观叙述，其次要验证的是三个内角之和，也就是∠A+∠B+∠C=180°在 ABC，∠A+∠B+∠C=180° 理论证明 10分钟问题2：拼接实验，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，发现了一条过点A 平行与边BC的直线l，从平行线的性质入手，大家能给出三角形内角和为180°的严谨证明吗？ 分析：先把实践中的结果图转化为几何图形，，通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线中相关角等的性质和平角的定义来证明结论。 对于第一种剪拼模型： 证明： 如图， 过点 A 作直线 l，使 l //BC. ∵ l //BC， ∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理 ∠3= ∠5. (两直线平行，内错角相等). ∵ ∠1 ，∠4， ∠ 5组成平角， ∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义). ∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换). 对于第二种剪拼模型： 分析：所拼接的部分来到了三角形外部，其中绿色部分的一边在BC的延长线上，蓝色部分的一边和AC边重合，另一边和AB平行，有两条线必须出现，一条延长线和一条平行了AB的直线，把这个结果图转化成数学几何图形，应该先是一个三角形，在三角形的基础之上，延长BC，过点C做AB的平行线CE. 证明： 延长BC到D，过点C作CE//BA， ∴ ∠A=∠1 ，(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换) 总结结论： 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 符号语言：在△ABC 中,∠A +∠B +∠C=180° 应用新知 5分钟解决以下问题，以下度数能否组成三角形： 3°， 150°， 27° ； 60°， 40°， 90° 答案：能、不能 答案：100° 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，则∠A+∠C＝（ ） A．90° B．80° C．110° D．45° 分析：∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180°，且∠B=90°， ∴ ∠A+∠C=180°- ∠B= 180°- 90°=90° 3.在△ABC中，∠ B+∠ C＝90°，则△ABC是一个（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 分析： ∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180°，且∠B+∠C=90° ∴ ∠A=180°- （∠B +∠C ）= 180°- 90°=90° 归纳总结：可以利用三角形内角和定理解决： （1）判断三个角能否是某个三角形的三个内角 （2）已知两角计算第三个角、判断直角三角形 （3）生活中的实际问题 4.图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求∠ABC和∠ACB的度数？ 分析：首先将题目中的方位角标出如下图： A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC和∠ ACB是△ABC的两个内角。 ∠ABC可以通过平行线知识求出，如果能求出∠CAB，就能求出∠ACB的度数 解：由题知： ∠CAD=50°，∠BAD=80°，∠EBC=40° ∴ ∠CAB=∠BAD -∠CAD=80°－50°=30° ∵ AD//BE ∴ ∠BAD+∠ ABE=180° ∴ ∠ABE=180°－∠BAD = 180°－ 80°= 100° ∴ ∠ABC=∠ABE －∠EBC=100°－40°=60° ∴ 在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC－∠ CAB =180°－60°－30°=90°. 综上： ∠ABC=60°， ∠ACB=90° 课堂小结 2分钟1.本节课主要学习了什么知识？学习到了什么新的方法？ 2.思考为什么需要对三角形内角和定理进行严谨证明？ 3.思考：在△ABC中除了三个内角的关系外，你还能探索出其他的角吗？这些角又有什么关系呢？