初中数学（通用版）2024年”热点知识“真题练习03（含解析）

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初中数学（通用版）2024年”热点知识“真题练习03
一、单选题
1．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是（　　）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
2．如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，等腰 的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让 沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止 设CD的长为x， 与正方形DEFG重合部分 图中阴影部分 的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于函数．下列说法正确的是（　　）
A．无论m取何值，函数图象总经过点和
B．当时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
二、填空题
6．反比例函数的图象是　 　，它既是轴对称图形，又是　 　图形.
7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为　 　.
8．已知菱形的周长等于，一条对角线长为，则此菱形的面积为　 　 ．
9．如图，正方形的边长为6，点分别为边，上两点，平分，连接，分别交于点，点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，下列说法：①；②；③；④的最小值为；正确的是　 　．（填序号）
10． 如图，已知四边形是边长为的正方形，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接，则的长为　 　 ．
三、计算题
11．解方程：
12．解方程：
（1）
（2）
13．先化简： ÷ + ，再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值．
四、解答题
14．先化简，再求值：，其中．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
16．在中，已知是BC边的中点，点是的重心，过点的直线分别交AB，AC于点E，F.
（1）如图甲所示，当时，求证：.
（2）如图乙所示，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，第(1)题中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
五、作图题
17．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是关于点 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
（1）在图中画出位似中心点 ， 与 的相似比是　 　；
（2）以点 为位似中心，再画一个 ，使它与 的相似比等于
18．按要求画图：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
（1）如图1，画出⊙O的一个内接矩形；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，画出⊙O的一个内接正方形．
六、综合题
19．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，则每周多卖10个．求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少
20．某中学分年级段开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，划分等级后的2个年级段的数据整理如下：
九年级“垃坡分类知多少"调查的统计表
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不了解
频数 40 120 36 4
频率 0.20 0.60 0.18 0.02
（1）本次问卷调查选取的九年级的样本容量为　 　
（2）若给四个等级分别赋分如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不了解
分值（分） 5 3 1 0
请结合你所学过的统计知识，选出你认为知识掌握较好的一个年级段，并说明理由．
21．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝（x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝（x＜0）是反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．
（1）反比例函数y＝（x＜0）　 　反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”；（填“是”或“不是”）
（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A（1，4）．
①则m的值为　 　；
②若A2022在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对应点B2022在“位似反比例函数”y＝（x＜0）的图象上，求证：BB2022＝2AA2022　 　；
（3）在（2）的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形，若存在，求出P点的坐标．
22．如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求的长．
七、实践探究题
23．问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB=AC；②DB=DC；③∠BAD=∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立 解决方案：探究△ABD与△ACD全等.
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗 　 　(填“全等”或“不全等”)，理由是　 　
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用列表或画树状图的方法求△ABD≌△ACD的概率.
24．如图
（1）（问题发现）
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
填空：①线段CF与DG的数量关系为　 　；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为　 　．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为　 　（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1∶，
，
∵堤高BC=6米，
（米）.
故答案为：D.
【分析】根据坡度比可得，再将数据代入求出AC的长即可。
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将正方形A移走后，俯视图中有两列三行，第1列有4个小正方形，第二列有1个小正方形，第一行有1个小正方形，第二、三行各有1个小正方形.
故A、B、C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D
【分析】观察图形可知，将正方形A移走后，新的几何体的俯视图中有两列三行，第1列有4个小正方形，第二列有1个小正方形，第一行有1个小正方形，第二、三行各有1个小正方形，据此可求解.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；
B．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误；
C．由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确；
D．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据a的符号再结合函数解析式分类判断即可.
4．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可以得到y与x之间的函数关系式为：
，
所以y与x之间的函数关系的图象大致是：
故答案为：A．
【分析】由题意写出y与x之间的函数关系式可以得到其图象．
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
∴图象过（1，0）和（﹣1，2），
故此选项错误，不符合题意；
B、∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，
∴该函数与x轴只有一个交点，
故此选项错误，不符合题意；
C、∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，
故此选项错误，不符合题意；
D、∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别令x=1、x=-1，求出y的值，据此判断A；当m＝0时，y＝1-x，此时函数图象与x轴只有一个交点，据此判断B；求出当m＞时，函数为开口向上的抛物线，求出对称轴，进而判断C；若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，令x＝，求出y的值，据此判断D.
6．【答案】双曲线；中心对称
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故答案为：双曲线，中心对称.
【分析】根据反比例函数的图象解答即可.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，作，连接BB'，
设，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
正方形ABCD的边长为1，
，
四边形ABGE是矩形，，
，，
，
，
，
四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，
，
，
，
，
，解得，
.
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得，利用正方形的性质可得，通过余角的性质证得，进而由ASA判定得到，设，利用面积公式表示出BF的长度，再通过正方形的性质及证折叠的性质表示出CF、B'F、CB'的长度，然后利用勾股定理解得x的值，即可求得FC的长度.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∴ 菱形ABCD的周长等于8cm
∴ AB=2cm，AO=CO，AC⊥BD
∵ AC=2cm
∴ AO=1cm
∴ BO=
∴ BD=
故答案为 ： .
【分析】本题考查菱形的性质和勾股定理。菱形的对角线垂直且平分，四条边都相等，根据周长可得边长，用勾股定理求出另一条对角线，即可求出菱形的面积=对角线的积。
9．【答案】①③④
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】
解：四边形为正方形，，，
，
，故①符合题意；
，
，
，
，
∴，
平分，
，
又∵，
∴，
∴，，故②不符合题意；
点关于的对称点为点．
过点作，交于点，
则的最小值即为的长．
正方形的对角线相互垂直且平分，
，
，
，
．
的最小值为，故④符合题意；
，
，故③符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定方法和性质，轴对称的性质逐项判断即可。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过C'向AB边作垂线，垂足为G，连接BC'、CC'交DE于H，
已知CD=4，CE=BE=2
由翻折得：
直角三角形DCE面积一定
在直角三角形BCC'中，
又
∽
即
故答案为： .
【分析】观察图得到利用勾股定理求AC'的想法，故过C'向AB边作垂线，垂足为G，作出直角三角形；下一步就是求两条直角边，在直角三角形BGC'中，没有已知线段，由翻折可得到3个直角三角形，这三个三角形通过计算可求三边，因此寻求直角三角形BGC'和它们相似的可能，再从已知条件入手，寻找相等的边和角，找到相似的条件，整理思路求解即可。
11．【答案】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：，
2+（x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得：x=2或﹣1．
经检验：x=－1是增根．
∴原方程的解为x=2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x＋1）（x－1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解．
12．【答案】（1）解：
∵，，
∴
∴，
（2）解：
解得：，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
13．【答案】解：原式= +
= +
= ，
∵x+1与x+6互为相反数，
∴原式=﹣1
【知识点】分式的化简求值；解一元一次方程
【解析】【分析】先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= ，然后利用x+1与x+6互为相反数可得到原式的值．
14．【答案】解：原式=
=
=
∵
∴原式=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，根据特殊锐角三角函数值，将x的值化简后代入化简后的分式计算可求解.
15．【答案】解：(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝，
即sin60°＝＝，解得CE＝5；
(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，
∴AF＝FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，
∵CE⊥AB，
∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，
∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，
∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，
∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，
在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，
又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，
∴∠CFD＝∠AEF，
∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，
因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；
②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，
∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2，
在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x，
∵CF＝GF(①中已证)，
∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x，
∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋，
∴当x＝，即点E是AB的中点时，
CE2－CF2取最大值，
此时，EG＝10－x＝10－＝，
CE＝＝＝，
所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；
②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
16．【答案】（1）证明：点G是△ABC的重心，
，
又
，
∴；
（2）解：成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，
∴△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，
∴，，，
∴，
又∵BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM，
∴，
∴，
∴结论成立.
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得，然后根据平行线分线段成比例定理得，最后根据等式的性质可得结论；
（2）（1）中结论依然成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，由相似三角形对应边成比例可得，，，进而根据等式性质、中点定义及线段和差可得，此题得解了.
17．【答案】（1）1：2
（2）解：如图2，△A1B1C1为所作．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图1，点O为所作；
∴OA：OA′=6：12=1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为1：2；
【分析】（1）根据位似图形的性质：每对对应点所在的直线一定经过位似中心，故过任意两对对应点作直线，其交点就是位似中心；然后利用方格纸的特点分别找出一对对应点到位似中心的距离，再求出其比值，该值就是两个图形的位似比；
（2）连接AO并延长至带你A'。使OA1=2OA，点A1就是点A的对应点，同理作出B1，C1，并顺次连接即可。
18．【答案】（1）解：如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【知识点】矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；(2)根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．
19．【答案】（1）解：设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为元，
根据题意可得，
，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴．
∴第二批每个挂件的进价为40元；
（2）解：设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，，
∵，
∴当时，w取最大，此时．
∴当每个挂件售价定为52元时，每周可获得最大利润，最大利润是1440元．
【知识点】解分式方程；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，根据题意列出函数解析式，再求解即可。
20．【答案】（1）200
（2）解： 八年级= =2（分），
九年级=5×0.2+3×0.6+1×0.18=2.98（分）
2.98>2，而且两个年级赋分后的众数与中位数比较，都是九年级高于八年级，
∴九年级掌握较好．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：(1)样本容量=40÷0.20=20（人）；
【分析】(1)根据“非常的频数÷频率”求样本容量即可；
(2)利用加权平均数法分别求八年级和九年级的平均数，再比较平均数的大小，再比较众数和中位数，由于九年级的平均数、中位数和众数都比八年级高，即可作答.
21．【答案】（1）是
（2）16；如图1所示： ∵反比例函数y＝(x＜0)是反比例函数y＝(x＞0)的“位似反比例函数”， ∴＝＝， ∵∠AOA2022＝∠BOB2022， ∴△AOA2022∽△BOB2022， ∴＝＝， ∴BB2022＝2AA2022．
（3）解：在x轴的正半轴上存在一点P，使△ABP为直角三角形，设P(x，0)；
①方法一：当∠APB＝90°时，如图2所示：
由位似性质得：A（1，4），B（-2，-8），
AB＝＝，
AP＝＝，
BP＝＝，
∵AB2＝AP2＋BP2，
∴153＝x2－2x＋17＋x2＋4x＋68，
x2＋x-34＝0，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴P（，0）；
方法二：当∠APB＝90°时，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，如图3所示：
∵∠BPF+∠FPB＝90°，∠EAP+∠FPB＝90°，
∴∠BPF=∠EAP，
∵∠AEP=∠BFP＝90°，
∴△AEP∽△PFB，
∴=，即=，
x2＋x－34＝0，
解得：（舍去）
∴P（，0）；
②当∠PAB＝90°时，过A作AD//y轴，过B点作BD//x轴，两线交于点D，如图4所示：
∵AD//y轴，BD//x轴，
∴，
，，
，
∴△PAC∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝17，
∴P（17，0）；
∴综上所述，P点的坐标为P（，0）或P（17，0）．
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)设反比例函数上一点A的坐标为，
，AB过O点，
∴点B的坐标为：，
，
点B在上，
∴反比例函数（x＜0）是反比例函数（x＞0）的“位似反比例函数”；
故答案为：是；
（2）①∵点A的坐标为（1，4），OB=2OA，且AB过点O，
∴点B的坐标为：（-2，-8），
；
故答案为：16．
【分析】（1）根据“位似反比例函数”的定义求解即可；
（2）①将点A的坐标代入y＝，求出k的值即可；
②先求出△AOA2022∽△BOB2022，再利用相似三角形的性质可得＝＝，最后求出BB2022＝2AA2022即可；
（3）分两种情况：①当∠APB＝90°时，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，②当∠PAB＝90°时，过A作AD//y轴，过B点作BD//x轴，两线交于点D，再分别画出图象，并利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。
22．【答案】（1）证明：连接，，如图：
∵，
∴，
∵四边形内接于，为的直径，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
即是的切线；
（2）证明：连接，如图：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）解：令与交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
即，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，，先根据等腰三角形的性质即可得到，再根据圆内角多边形的性质结合圆周角定理即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质得到，再运用垂直平分线的性质结合切线的判定即可求解；
（2）连接，先根据圆的性质即可得到，进而根据平行线的判定与性质即可得到，，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解；
（3）令与交于点，先根据锐角三角函数的定义即可得到，进而得到HD的长，再运用勾股定理即可得到AH和CB的长，进而根据矩形的判定与性质即可得到，再根据相似三角形的判定与性质即可得到BM的长，进而即可求解。
23．【答案】（1）全等；三边对应相等的两个三角形全等
（2）解：画树状图如下：
由树状图知：共有6种等可能情况，符合条件有①②，①③，②①，③①共4种，
∴ 求△ABD≌△ACD的概率为.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1） ∵AB=AC，DB=DC ，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（SSS） .
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）由树状图知列举出共有6种等可能情况，其中符合条件有①②，①③，②①，③①共4种，再利用概率公式计算即可.
24．【答案】（1）CF＝ DG；45°
（2）解：结论不变．
理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，
∵AC＝ AD，AF＝ AG，
∴ ，
∴△CAF∽△DAG，
∴ ，∠AFC＝∠AGD，
∴CF＝ DG，∠AFO＝∠OGK，
∵∠AOF＝∠GOK，
∴∠K＝∠FAO＝45°．
（3）
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝ DG；②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．
理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．
∵AF＝ AG．AC＝ AD，
∴CF＝AC﹣AF＝ （AD﹣AG）＝ DG．
故答案为CF＝ DG，45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC．
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为 ，
故答案为 .
【分析】（1）【问题发现】连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝ AG．AC＝ AD，推出CF＝AC﹣AF＝ （AD﹣AG）＝ DG．（2）【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．（3）【解决问题】证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．
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