数学：1.1.1《正弦定理》教案（新人教b版必修5）

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1.1.1正弦定理 教案
一.知识归纳
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
2.理解定理:
⑴正弦定理是解三角形的重要定理，它反映了三角形各边和它所对角的正弦的比的关系，并非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。常与三角、向量、几何等基础知识相结合命题，以考察综合运用数学知识的能力，这是近几年高考的重点、热点和今后命题的发展趋势。
⑵定理的推导是从探究三角形中的边角关系入手的，运用分类讨论的方法及从特殊到一般的思维方法，把在直角三角形中得到的关系进一步推广到锐角三角形与钝角三角形中，从而得到对任意三角形都成立的边角关系式。（推导过程见课本）
⑶对于正弦定理：=,其中为ABC的外接圆半径，要注意它的几个变式的应用：
①，，；
②，，；
③；
④；
⑤
⑷正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
二.例题分析
题型一 正弦定理的简单运用
例1 已知在。
解：，∴，
，又，
∴．
说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。
题型二 正弦定理的综合运用
例2 ，试求及此时三角形的面积。
解：
三.课时小结
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
一解 两解 一解 一解
提高训练：
1． 。
2．已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
参考答案：
1．解：
，
2．证明：在△ABD内，利用正弦定理得：
在△BCD内，利用正弦定理得：?
∵BD是B的平分线?
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC?
∵∠ADB＋∠BDC＝180°?
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC?
∴
∴
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C
B
A
c
a
b
b
a
C
A
B
a
B
A
C
b
B2
a
C
A
B1
b
a
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