湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷（含答案）

湖南省株洲市炎陵县2024年高二4月素质质量检测数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知．则“且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在
两轮活动中猜对个成语的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等），若该建筑的室内地面
是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二 多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么. B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么. D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
C. 在的展开式中，所有项的系数和为0
D. 某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四
11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 展开式中的常数项为________．
13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______.
14. 已知随机变量，若，则______.
四 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （13分）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
（1）观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程（其中，用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差．
参考公式： ，． 参考数据：．
16 （15分）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
不太了解 比较了解 合计
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，
记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
17. （15分）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数a，n的值；
（2）求函数在区间上的最值．
18. （17分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，
为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19. （17分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，
过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
数 学 答 案
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（ C ）
A． B． C． D．
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ D ）
A. B. C. D.
3. 已知．则“且”是“”的（ A ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ B ）
A． B． C． D．
【详解】的虚部为，选B．
5. 若，则（ D ）．
A. B. C. D.
【详解】由得，则，选D.
6. 若向量，满足，，，则（ B ）．
A. B. C. D.
【详解】由可得：，即，
将，代入可得：，所以，选B
7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为（ A ）
A. B. C. D.
【详解】设、分别表示甲两轮猜对个、个成语的事件，、分别表示乙两轮猜对个、个成语的事件. 根据独立事件的性质，可得，，
，，
设“两轮活动“星队”猜对个成语”，则，且与互斥，
与、与分别相互独立，
所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对个成语概率是.
8. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状。如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等），若该建筑的室内地面
是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，
其中正确命题的个数为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ABD ）
A. 如果，，那么. B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么. D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
10. 下列说法正确的是（ AB ）
A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
C. 在的展开式中，所有项的系数和为0
D. 某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四
【详解】对于A：两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，A正确：
对于B：越接近1，模型拟合越好，且，B正确；
对于C：取，得所有项的系数之和为1，C错误；
对于D：因为，
可知被7除余数为6，所以第天是星期一，D错误。 故选AB
11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ACD ）
A. B. C. D.
【详解】从袋子中有放回的随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，
又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
又，故B错误；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D正确.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为________．
【详解】由二项式定理展开式的通项公式有：，
常数项满足：，可得：，则常数项为：.
13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______.
【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：
① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法；
② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.
由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.
14. 已知随机变量，若，则______.
【详解】因为，所以
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
（1）观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程（其中，用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差．
参考公式： ，． 参考数据：．
【解析】（1）依题意，，---------------2分
， ----------------------5分
故，-------------8分
，故所求回归直线方程为．------------------10分
（2）由（1）可知，当时，，---------------------11分
故所求残差为．------------------------------13分
16. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓。某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
不太了解 比较了解 合计
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
【详解】（1）根据列联表中的数据，得，---------4分
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.------------------6分
（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人， -----------------------------8分
所以的取值依次为0，1，2，-----------------------------9分
，，，--------------------------14分
所以的分布列为
0 1 2
----------------------------------------15分
17. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数a，n的值；
（2）求函数在区间上的最值．
【解析】（1）由于，因此，-------------2分
根据题意得 解得----------------------------7分
（2），---------------9分
当时，，当时，，--------------11分
在上单调递增，在上单调递减，---------------------12分
，--------------13分
在上的最大值为36，最小值为．-----------------------15分
18. 如图在三棱柱中，侧面为正方形，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
解：（1）连接，设，连接.-------------------1分
因为在三棱柱中四边形是平行四边形，所以为的中点.-------------3分
因为为的中点，所以.----------------------5分
又因为 平面平面，所以平面.---------------7分
（2）因为，所以平面，所以.------------9分
又，所以两两相互垂直。如图建立空间直角坐标系.------------------10分
则.------------------11分
所以.---------------------12分
设平面的法间量为，
则即--------------------13分
令，则，于是.----------------------14分
因为平面，所以是平面的一个法向量.-----------------15分
所以.----------------16分
由题设，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.-----------17分
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
解：（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为，
则．----------------------------------3分
又，解得-----------------------------6分
所以的标准方程为．------------------------------7分
（2）设，
联立直线与椭圆的方程可得，---------9分
所以，得．----------------11分
又原点到直线的距离，-----------------------12分
所以，-------------13分
所以．----------------------14分
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，-------------------------16分
即当时，的面积取得最大值．--------------------------17分