四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含解析）

高二下学期4月期中考试
数学试卷
（本试卷满分150分，答题时间120分钟）
一、单选题（每道题5分，共8道题，总分40分）
1．已知函数，则为（ ）
A．9 B．8 C．－8 D．－9
2．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．504种 C．24种 D．12种
3．已知在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．6 C． D．
4．已知函数，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（ ）
A．8 B．2 C．-4 D．-6
二、多选题（每道题5分，4道题共20分，每道题选全得5分，选不全得2分，选错得0分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．是函数的极值点 B．是函数的极小值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极大值点
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数存在极值点
B．若函数在点处的切线方程为直线，则
C．点是曲线的对称中心
D．当时，函数有三个零点
12．已知（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的导函数，则方程有3个不等的实数解
B．
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为-1
D．若，则的最大值为
三、填空题（每小题5分，4道题共计20分）
13．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 .
14．函数的单调递减区间为 ______ ．
15．已知函数的部分图像如图所示，若，不等式的解集为_______ ．
16．已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 _____ .
四、解答题（17题10分，18题—22题每道题12分，共计70分）
17．（本题共10分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
18．（本题共12分）已知函数 在时取得极值.
(1)求实数；
(2)若，求的单调区间和极值.
19．设的极小值为-8，其导函数的图像经过点.
(1)求的解析式；
(2)若对都有恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，
21．（本题共12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
22．（本题12分）已知函数，其中．
(1)求当时，函数在区间上的最小值；
(2)若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
数学参考答案：
1．B
【分析】由导数求解即可.
【详解】，
故选：B
2．C
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C.
3．A
【分析】由导数的定义求解即可.
【详解】，.
故选：A
4.【答案】C
【分析】
利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
又，则.
故选：C.
5．C
【分析】
根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解.
【详解】
由函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故选：C.
6．D
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
7．C
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.
【详解】因为，
构造函数，则，
令，解得；当时，令，解得；
可得在上单调递减，在上单调递增；
且，所以，即.
故选：C.
8．D
【分析】根据题意结合导数可得，结合等差数列运算求解.
【详解】因为，则，
则，故，
所以数列是以首项，公差为的等数列，可得.
故选：D.
9．BC
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10．AC
【详解】由图像可得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极值点， 、不是函数的极值点，
故选：AC
11．BC
【分析】根据函数的单调性判断A，再由切线斜率即切点横坐标导数判断B，根据函数中心对称的性质判断C，根据函数的单调性及极值的正负判断D.
【详解】由，可得，
对A，当时，，在上单调递增，
故函数不存在极值点，故A错误；
对B，由切线方程知，解得，故B正确；
对C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确；
对D，当时，，当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误.
故选：BC
12．AC
【分析】对于A，只需判断或的根的个数和即可，通过求导研究的性态画出图象即可得解；对于B，由单调递增，故只需判断函数有无零点即可；对于C，首先得在上单调递增，转换成在上恒成立验算即可；对于D，根据单调性得，将问题转换成求的最大值即可.
【详解】
对于A，若，则或，
而，，
所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
所以，而，
所以方程有3个不等的实数解，故A正确；
对于B，若，由A选项分析可知，即单调递增，
所以，令，，所以单调递增，
所以，矛盾，故B选项错误；
对于C，由B选项分析可知在上单调递增，而由复合函数单调性可知在上单调递增，
若对任意，不等式恒成立，则，
即在上恒成立，
令，当时，，令，
则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为在上恒成立，
所以，即，故C正确；
对于D，若，
又在上单调递增，所以，
所以，
所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即的最大值为，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】
利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】每位学生可以有种参加重点院校的自主招生考试，由分步乘法计数原理可得，不同的考试方法种数为种.
故答案为：.
14． 【答案】
15．
【答案】
【分析】首先由题意得出的符号随的变化而变化的情况，然后对进行分类讨论即可得解.
【详解】由图可知当时，，时，，时，，
当时，，故满足题意；
当时，，故满足题意；
当时，或或，故或满足题意；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，设函数，转化为在为递增函数，进而得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，即可求解.
【详解】由对任意且，恒有，
可得，整理得，
因为任意且，
设函数，则函数在为单调递增函数，
因为，可得在为单调递增函数，
可得在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)
(2)最大值为4，最小值为0
【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线；
（2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值．
【详解】（1）对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即；
（2）由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间与极值.
【详解】（1）因为，所以，
由题意得，
即，解得，经检验符合题意；
（2）由（1）得，，
则，
由得或，得，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为函数，可得，
且的图像经过，
则为的两个根，可得，
所以
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在和单调递减，
可得，所以，所以.
（2）解：要使得都有恒成立，只需，
又由（1）知在上单调递增，在和单调递减，
且，，所以，
可得，解得，所以所示实数的取值范围是.
20.
【详解】（1）
依题意，，
当时，，
当时，由得，由得，
即当时函数在是减函数；
当时在是减函数，在是减函数；
（2）
由（1）知当时，的最小值为，
，
设，
则，
∴函数在是减函数，在是减函数，
即的最小值为，即，
∴，即的最小值，
∴．
21．(1)
(2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【详解】（1）
由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）
本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
22. (1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）利用导数分类讨论函数在区间的单调性，由单调性求最小值；
（3）由函数有两个不同的零点，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数a的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明.
【详解】（1）
当时，，定义域为，
若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为
（2）
函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
（3）
①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，所以实数a的取值范围为．
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．