云南省昆明市禄劝县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

禄劝县2023—2024学年下学期期中检测
高一数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一 单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则z的实部与虚部的和为（ ）
A.-1 B.1 C.5 D.-5
2.（ ）
A. B. C. D.
3.的三个内角所对边的长分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ）
A. B.-1 C.1 D.
6.在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
7.中，，AD为角A的平分线，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
8.已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则与的夹角的余弦值为
C.当时，在上的投影向量为
D.当时，与的夹角为锐角
9.下列结论正确的是（ ）
A.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B.用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直现图的面积是
C.正方体中，直线与是异面直线
D.正方体中，分别为的中点，P是线段（不含端点）上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形
10.的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
11.若复数（为虚数单位），则___________.
12.已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数___________.
13.“牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖.如图，已知棱长为2的正方体除去按上述方法截得的牟合方盖后剩余的体积是，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是___________.
14.平面向量满足，，则的最小值为___________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知，向量与的夹角.
（1）若，求k的值；
（2）求.
16.（本小题15分）设复数，m为实数.
（1）当m为何值时，z是纯虚数；
（2）若，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
17.（本小题15分）如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，点是的中点.
（1）求证：平面
（2）求三棱锥的体积.
18.（本小题17分）老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓.为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知.
（1）若，求护栏的长度（即的周长）；
（2）若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求.
19.（本小题17分）在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
高一数学答案和解析
1.【答案】B
解：由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为.
故选：B.
2.【答案】C
解：.
3.【答案】D
解：由以及余弦定理得，
4.【答案】B
解：选项不正确，因为，则与平行，相交，异面都有可能；
选项正确，由于，则由面面垂直判定定理可得；
选项不正确，因为时，可能有或者与相交或在平面内，不一定垂直；
选项不正确，由面面平面的判定定理可知，只有当，相交时，才能得到.
5.【答案】D
解：由题意可得：，
即，则.
6.【答案】A
解：方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为2，
可
得，，
设，
可得，可
得，可得，
，
设平面法向量为，可
得，可得，令，可得，
由于平面，则，可得，
解得，即.
方法2：连接，交于点，则，
连接交于，延长交于，
由于平面平面，
且平面平面，
所以，
在矩形中，，
所以，所以，
由，所以四边形为平行四边形，
所以，故
7.【答案】C
解：由题意得：，
设，，的面积分别为：，，，
则，
即，
即，
则，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
联立方程组：，解得：，
故当且仅当时，
取最小值.
8.【答案】BC
解：对于A：若，则，解得，故A错误；
对于B C：若，则，
可得，
所以与的夹角的余弦值为，故B正确；
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D：与的夹角为锐角，等价于，
解得且，故D错误；
9.【答案】ACD
解：对于A，由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，
对于B，根据斜二测画法的规则可知：
直观图中，高，
所以直现图的面积是，故B错误，
对于C，由于在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，
对于D，延长相交于，连接交AA1于点，同理延长交于点，
由于是中点，所以，
故在平面中，作交边于，连接交于，
因此六边形即为所求截面六边形，故D正确，
10.【答案】ABC
解：如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，
于是，
即，
则，得到，B选项正确；
由可得，
结合正弦定理可得，，
即，A选项正确；
根据诱导公式，，
，
，
按照整体展开得到，，而，于是，
即，故，
由三角形面积公式，
，
解得，C选项正确；
由正弦定理结合B选项，
，
即，D选项错误.
11.【答案】
解：设复数，则，
即，
所以，解得，
所以.
12.【答案】或
解：因为与是两个不共线的向量，
若三点共线，则，
即，
可得，
解得或.
13.【答案】
解：由题意可知，正方体的体积为，
因为己知棱长为2的正方体除去按上述方法截得的牟合方盖后剩余的体积是，
所以牟合方盖的体积为.
设正方体的外接球的半径为，则
易知，正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，
即，解得，
所以正方体的外接球的体积为.
所以牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是.
14.【答案】-5
解：由题意可设，
则，
因为-4，
整理得，
所以，当且
仅当时，等号成立，
故的最小值为-5.
15.【答案】（1）由题意可得：，
若，则，
所以.
（2）因为，
所以.
16.【答案】（1）若z是纯虚数，则，解得，
所以当时，z是纯虚数.
（2）若，则，
所以.
（3）因为复数，
对应的点为，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，解得，
故实数m的取值范围为.
17.（1）证明：设交于点
则为的中点，连接，
又为的中点，
则为的中位线，
则，
又平面平面，
所以平面.
（2）在中，过作垂足为，
因为平面平面，
所以，
又平面
所以平面，
18.【答案】解：（1）在中，
因为，可得，
在中，由余弦定理.
，所以，
可得，则，
可得，
所以护栏的长度即的周长.
（2）由鱼塘的面积是民宿面积的倍
可得：，
设，且，则，在，
由正弦定理，整理得，
在，由正弦定理，整理得，
则，
即，
又，
所以.
19.（1）∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴（舍），.
（2）∵，
∴，
∴
∵为锐角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
令，
单调递减，单调递增，
当，当，