高二数学大单元整体学习学程《第七章 随机变量及其分布》学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学大单元整体学习学程《第七章 随机变量及其分布》学案（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 408.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 13:19:20 | ||
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文档简介
高二数学
大单元整体学习学程
随机变量及其分布
班级：
小组：
姓名：
随机变量及其分布
单元概述
【单元内容】
本单元内容是必修课程中概率部分的延续，研究对象是随机现象，为我们从函数的角度认识客观世界提供重要的理论支撑。随机事件的条件概率，离散型随机变量及分布列、数字特征（均值、方差），正态分布。
【课标要求】
1.随机事件的条件概率
①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率。
②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系。
③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率。
④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率,了解贝叶斯公式。
2.离散型随机变量及其分布列
①通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布及其数字特征（均值、方差）。
②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。
③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。
3.正态分布
①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征。
②了解正态分布的均值、方差及其含义。
【单元目标】
1.能说出条件概率与独立性的关系，描述随机变量的概念及意义，感知随机变量刻画随机现象；
2.探究超几何分布、二项分布、正态分布，并用这三个模型求解离散型随机变量的分布列和数字特征；
3.根据具体情境选择恰当概率模型，分析数据，解决实际问题；
4.围绕随机变量大概念，从条件概率、随机变量分布列、数字特征等方面重构单元结构，运用随机变量相关知识解决综合性问题。
【学习导航】
在本单元的学习中，我们将会从四个阶段对本单元进行整体学习，在整体感知阶段，类比古典概型帮助自己去理解条件概率与独立性的关系，通过随机现象数量化过程，理解随机变量与随机事件的关系；在探究建构阶段结合具体实例理解条件概率性质及全概率公式，类比平均值期望，结合古典概型中“不放回和放回的抽取问题”的实例，抽象概括出超几何分布和二项分布，借助正态曲线直观感知正态分布的特点；在应用迁移阶段从综合的数学情境问题和生活实际问题中进行数学抽象，建立概率模型，分析数据，解决实际问题；在重构拓展阶段通过重构知识与逻辑体系进行查漏补缺，掌握核心知识，学会用数学模型解决综合问题，提升数学建模、数据分析等素养。
【学时建议】
学习阶段 学习任务 课时安排
整体感知 用随机变量刻画随机现象 3
探究建构 探究随机变量分布列及数字特征 4
应用迁移 选择恰当概率模型解决实际问题 4
重构拓展 重构随机变量的知识与逻辑体系，反思总结提升 2
【单元评价】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
能说出条件概率、随机变量、常见三种分布的概念及性质 能说出条件概率、随机变量性质的来源过程，能掌握三种常见分布的特征和性质，能运用随机变量的统计规律性进行数据分析。 能构建随机变量单元知识体系和逻辑体系，准确判断随机变量的类型并求数字特，能准确建立随机变量概率模型，解决综合性问题。
随机变量及其分布
【学习目标】
研读教材及资源，说出条件概率的概念及与独立性的关系
2.结合实例描述随机变量，判断是否是随机变量，能区分离散型随机变量和连续性随机变量；
3.用离散型随机变量表示随机事件，能画出简单随机变量分布列。
【学习任务】用随机变量刻画随机现
初步认知条件概率
1、投掷红蓝两个质地均匀的骰子，设
A:蓝色骰子的点数为5； B：两骰子的点数之和大于7。
问题：
事件A发生的概率是多少？事件B发生的概率是多少？事件AB发生的概率是多少？
(2)事件A与事件B是否相互独立？说出判断依据？
(3)事件B发生的条件下事件A发生的概率是多少？与事件A发生的概率有何异同
【归纳生成】
总结条件概率与独立性的关系用自己的话说出你对条件概率的理解？
初步认知随机变量
1、随机投掷一枚骰子，观测试验结果。
抛一次，抛到数字3的概率是多少？是随机事件吗？
抛一次，抛到数字8的概率是多少？是随机事件吗？
抛一次，抛出的结果可能是什么？概率是多少？是随机事件吗？
连续抛两次的结果可能什么？如何用数表示这些随机事件？
2.试判断下列试验的结果是否是随机变量，若是，判断是否是离散型随机变量。
（1）太阳东升西落.
（2）一根绳子随意剪断，其中一节绳子的长度.
（3）某急救中心每天接到的呼救次数.
（4）赵风平高考成绩780.
（5）水文站观测到江水的水位数Y
（6）某天的气温值γ
【归纳生成】
（1）结合随机变量与随机事件关系，说出你对随机变量的理解？
（2）总结离散型随机变量和连续型随机变量的区别与联系。
用随机变量表示随机事件，画简单分布列
1.用随机变量表示随机事件。
（1）掷一枚硬币的3次，正面朝上的次数；
（2）总数为100件的两类物品，其中A类有20件，从所有物品中取出n件，A类物品抽到的件数；
（3）经过六个路口，遇到的红灯个数。
2一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X表示出取出的3个球中的最大号码.
（1）随机变量X的可能取值是什么？
（2）试求X取不同值的概率P分别是什么？
（3）用表格表示X与P的对应关系？
【形成性评价1】
请举例说明条件概率与独立事件，随机变量与随机事件之间的关系，并比较两者之间的异同.
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合具体实例探究条件概率及全概率公式；
2.结合具体实例探究离散型随机变量及其分布的特点，总结常见分布模型特点；
3.能根据具体情境准确判断分布类型，并能选择恰当概率模型，分析问题，科学决策.
【学习任务】探究随机变量分布列及数字特征
探究条件概率及全概率公式
假设9月份你去大学报道，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95,0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.设“乘坐飞机”为事件A，“乘坐火车”为事件B，“天晴”为事件C。
问题：
“乘坐飞机准时到达的概率”如何表示？“乘坐火车准时到达的概率”如何表示？（用ABC表示）
“你能准时到达”为事件D，概率是多少？
若你当天准时到达，则你是乘火车去的概率是多少？
【实践生成】
总结条件概率与全概率公式的性质
探究两点分布、二项分布及超几何分布
A:投掷一枚质地均匀的硬币，投掷1次，正面向上的情况。
B:投掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上是等可能的。将这个试验反复做五次。设正面向上次数为X；
C:某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6个男生，4个女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本。设女生人数为X。
问题：
以上情境问题是不是都可以用随机变量表示？如何表示？
A情境中投掷结果有几种？与B情境有何区别与联系？
A情境中正面向上与反面向上的概率分别是多少？它们有何关系？
4.B情境中任何两次试验，第一次出现正面向上对第二次出现正面向上的概率是否有影响？
5.判断以上情境分别是什么分布类型 求分布列及期望？
【实践生成】
总结求离散型随机变量的分布列的步骤及期望计算方法？
2.总结两点分布、二项分布与超几何分布的异同？
探究正态分布的相关性质
本次高二期中检测某班数学成绩分布如下图所示：
问题：
1.观察上面图像，这些数据的分布有什么特征？
2.当分组越来越细时，频率直方图上面的折线怎么变化？
3.结合情境简述正态曲线.
4.正态曲线函数表达式中参数μ和σ对图像有什么影响？
5.你了解3σ原则么，它有什么规律.
【实践生成】
总结正态分布的图像特点及性质。
【形成性评价2】
评价标准1：会运用条件概率性质及全概率公式解决相关问题
评价问题：
1.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率．
评价标准2：理解随机事件，能根据随机变量分布列定义解决相关问题
准确把握二项分布和超几何分布的区别与联系
评价问题：
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
2.设随机变量X的分布列为下表所示，且E（X）=1.6，则a b=( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A. 0.2 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.4
3．随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）
A． B． C．1 D．0
4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
5.从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件.
（1）求取得次品数ξ的概率分布列及期望；
（2）求至少取到一件次品的概率.
评价标准3：能根据曲线的对称性和3原则解决正态分布问题
评价问题：
正态总体的概率密度函数为，则总体的平均数和标准差分别是 ， .
2.如果随机变量ξ～N(－1，)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量，）
A． B． C． D．
4.271教育集团为70000名学生定制校服，设学生的身高（单位：厘米）服从正态分布N（172,25），请估计适宜身高在167-177厘米范围内学生穿的校服要订制多少套？
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974．
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合实例，运用随机变量分布列及其数字特征，对方案选择问题进行科学评估；
2.根据“超几何分布”,“二项分布”的特点，建立恰当概率模型解决实际问题；
3.灵活运用正态分布的性质解决生活中与正态分布相关的问题。
【学习任务】选择恰当概率模型解决实际问题
随机变量分布列及其数字特征方案选择中的应用
某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【实践生成】
总结如何利用随机变量分布列求期望方差并进行科学决策？
【学习评测】
1. 已知随机变量X的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元;而1件次品亏损2万元;设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润即X的均值;
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
利用二项分布、超几何分布概率模型解决实际问题
1.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列.
2.现有10张相同的卡片，其中有5张上印有“奖”字。游戏者从中任抽5张，抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片就可获得一份精美小礼品，如果抽到5张印有“奖”字的卡片就可另外获得一套丛书。
⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？
⑵他能获得一套丛书的概率是多少？
【学习评测】
某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
公园 甲 乙 丙 丁
获得签名人数 45 60 30 15
然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．
(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；
(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；
(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列．
利用正态分布模型解决实际问题
1.已知随机变量服从正态分布N（2，），P（）=0.84，求P().
2.一商场经营的某种包装的大米质量X（单位：kg）服从正态分布N（10，），且P（X<10.5）=0.8.从该商场中任意抽取一袋该种大米，求其质量在9.5—10.5kg之间的概率.
【实践生成】
总结如何利用正态分布的对称性及3原则解决实际问题。
【形成性评价3】
评价标准1：灵活应用超几何分布、二项分布模型解决实际问题
评价问题：
1.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：g)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)．
评价标准2：灵活应用正态分布模型解决实际问题
评价问题：
1．设随机变量，若，则______，______.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则______.
3.（多选题）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中不正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意正数，
D. 对任意正数，
4.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致服从正态分布．
（1）求该市化学原始成绩在区间的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求．
（附：若随机变量，则，，）
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合离散型随机变量的分布列、数学期望和方差等知识的回扣，从逻辑、能力及价值等方面重构本单元的思维导图；
2.结合对随机变量及其分布的研究，能够选择恰当的概率分布模型解决概率问题；
3.围绕随机变量及其分布进行二次过关，灵活运用相关知识解决生活中的实际问题。
【学习任务】重构随机变量的知识与逻辑体系，反思总结提升
【单元重构】
从条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望和方差等方面层层深入，再次回扣课本任容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图。
【单元拓展】
为应对新冠性病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要。某工厂生产N95型口罩成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率为，且每件产品是否为不合格品相互独立。
(1)记20件产品中恰有两件不合格品的概率为，求的最大值点
(2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格,以(1）中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
(i)若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为，求；
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？
【单元过关】
核心知识素养提升
1．已知随机变量服从正态分布，（ ）
A．0.028 B．0.056 C．0.994 D．0.972
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为 ，由此可以估计（ ）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整体
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩，若已知，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
核心知识迁移应用
6.（多选）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．，
C．， D．，
7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
8.为了解2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，将他们的化学成绩（满分为100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；
（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构随机变量单元结构，总结出用随机变量刻画随机现象常用分布。
水平二 厘清常见几种随机变量分布的区别和联系，能建立模型解决数学和生活问题。
水平三 数学抽象能力、数学建模能力、数据分析能力、逻辑推理能力有显著提升。
随机变量及其分布
单元过关检测： (时间：120分钟 满分：150分)
【过关要求】
1.独立完成，科学、合理安排时间；
2.认真审题，分析出条件和结论，灵活运用基础知识解决问题；
3.注意过程步骤规范书写，条理工整，卷面整洁，做最好的答卷。
【整体重构过关】
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．袋中有2个黑球6个红球， 从中任取两个， 可以作为随机变量的是( )
A．取到球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取得一个红球的概率
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
ξ －1 0 1 2
P
3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )
A. B. C. D.
4．已知ξ的分布列为则ξ的均值为( )
A．0 B．－1 C. D.
5．如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为( )
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观某科普展，该科普展共有甲、乙、丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一个小时时间内，甲、乙、丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第一个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．则P(A|B)＝( )
A. B. C. D.
7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A. B．4 C．8 D．10
8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
ξ 1 2 3
P 1－a 2a2
10．已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为( )
A．－ B. C. D．－
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是( )
A．事件B与事件A1不相互独立
B．A1，A2，A3是两两互斥的事件
C．P(B|A1)＝
D．P(B)＝
12.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，3个水龙头同时被打开的概率为________．
已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝________.
15.学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为__________；记甲答对试题的个数为，则的数学期望________.
16.设一次试验成功的概率为p，进行100次重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
18．(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
19．(12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
20.(12分)某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长但不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
21．(12分)九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量 4 12 11 8 5
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列及期望．
22．(12分)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算这500名患者中潜伏期超过8天的人数；
(2)研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望．
大单元整体学习学程
随机变量及其分布
班级：
小组：
姓名：
随机变量及其分布
单元概述
【单元内容】
本单元内容是必修课程中概率部分的延续，研究对象是随机现象，为我们从函数的角度认识客观世界提供重要的理论支撑。随机事件的条件概率，离散型随机变量及分布列、数字特征（均值、方差），正态分布。
【课标要求】
1.随机事件的条件概率
①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率。
②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系。
③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率。
④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率,了解贝叶斯公式。
2.离散型随机变量及其分布列
①通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布及其数字特征（均值、方差）。
②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。
③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。
3.正态分布
①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征。
②了解正态分布的均值、方差及其含义。
【单元目标】
1.能说出条件概率与独立性的关系，描述随机变量的概念及意义，感知随机变量刻画随机现象；
2.探究超几何分布、二项分布、正态分布，并用这三个模型求解离散型随机变量的分布列和数字特征；
3.根据具体情境选择恰当概率模型，分析数据，解决实际问题；
4.围绕随机变量大概念，从条件概率、随机变量分布列、数字特征等方面重构单元结构，运用随机变量相关知识解决综合性问题。
【学习导航】
在本单元的学习中，我们将会从四个阶段对本单元进行整体学习，在整体感知阶段，类比古典概型帮助自己去理解条件概率与独立性的关系，通过随机现象数量化过程，理解随机变量与随机事件的关系；在探究建构阶段结合具体实例理解条件概率性质及全概率公式，类比平均值期望，结合古典概型中“不放回和放回的抽取问题”的实例，抽象概括出超几何分布和二项分布，借助正态曲线直观感知正态分布的特点；在应用迁移阶段从综合的数学情境问题和生活实际问题中进行数学抽象，建立概率模型，分析数据，解决实际问题；在重构拓展阶段通过重构知识与逻辑体系进行查漏补缺，掌握核心知识，学会用数学模型解决综合问题，提升数学建模、数据分析等素养。
【学时建议】
学习阶段 学习任务 课时安排
整体感知 用随机变量刻画随机现象 3
探究建构 探究随机变量分布列及数字特征 4
应用迁移 选择恰当概率模型解决实际问题 4
重构拓展 重构随机变量的知识与逻辑体系，反思总结提升 2
【单元评价】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
能说出条件概率、随机变量、常见三种分布的概念及性质 能说出条件概率、随机变量性质的来源过程，能掌握三种常见分布的特征和性质，能运用随机变量的统计规律性进行数据分析。 能构建随机变量单元知识体系和逻辑体系，准确判断随机变量的类型并求数字特，能准确建立随机变量概率模型，解决综合性问题。
随机变量及其分布
【学习目标】
研读教材及资源，说出条件概率的概念及与独立性的关系
2.结合实例描述随机变量，判断是否是随机变量，能区分离散型随机变量和连续性随机变量；
3.用离散型随机变量表示随机事件，能画出简单随机变量分布列。
【学习任务】用随机变量刻画随机现
初步认知条件概率
1、投掷红蓝两个质地均匀的骰子，设
A:蓝色骰子的点数为5； B：两骰子的点数之和大于7。
问题：
事件A发生的概率是多少？事件B发生的概率是多少？事件AB发生的概率是多少？
(2)事件A与事件B是否相互独立？说出判断依据？
(3)事件B发生的条件下事件A发生的概率是多少？与事件A发生的概率有何异同
【归纳生成】
总结条件概率与独立性的关系用自己的话说出你对条件概率的理解？
初步认知随机变量
1、随机投掷一枚骰子，观测试验结果。
抛一次，抛到数字3的概率是多少？是随机事件吗？
抛一次，抛到数字8的概率是多少？是随机事件吗？
抛一次，抛出的结果可能是什么？概率是多少？是随机事件吗？
连续抛两次的结果可能什么？如何用数表示这些随机事件？
2.试判断下列试验的结果是否是随机变量，若是，判断是否是离散型随机变量。
（1）太阳东升西落.
（2）一根绳子随意剪断，其中一节绳子的长度.
（3）某急救中心每天接到的呼救次数.
（4）赵风平高考成绩780.
（5）水文站观测到江水的水位数Y
（6）某天的气温值γ
【归纳生成】
（1）结合随机变量与随机事件关系，说出你对随机变量的理解？
（2）总结离散型随机变量和连续型随机变量的区别与联系。
用随机变量表示随机事件，画简单分布列
1.用随机变量表示随机事件。
（1）掷一枚硬币的3次，正面朝上的次数；
（2）总数为100件的两类物品，其中A类有20件，从所有物品中取出n件，A类物品抽到的件数；
（3）经过六个路口，遇到的红灯个数。
2一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X表示出取出的3个球中的最大号码.
（1）随机变量X的可能取值是什么？
（2）试求X取不同值的概率P分别是什么？
（3）用表格表示X与P的对应关系？
【形成性评价1】
请举例说明条件概率与独立事件，随机变量与随机事件之间的关系，并比较两者之间的异同.
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合具体实例探究条件概率及全概率公式；
2.结合具体实例探究离散型随机变量及其分布的特点，总结常见分布模型特点；
3.能根据具体情境准确判断分布类型，并能选择恰当概率模型，分析问题，科学决策.
【学习任务】探究随机变量分布列及数字特征
探究条件概率及全概率公式
假设9月份你去大学报道，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95,0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.设“乘坐飞机”为事件A，“乘坐火车”为事件B，“天晴”为事件C。
问题：
“乘坐飞机准时到达的概率”如何表示？“乘坐火车准时到达的概率”如何表示？（用ABC表示）
“你能准时到达”为事件D，概率是多少？
若你当天准时到达，则你是乘火车去的概率是多少？
【实践生成】
总结条件概率与全概率公式的性质
探究两点分布、二项分布及超几何分布
A:投掷一枚质地均匀的硬币，投掷1次，正面向上的情况。
B:投掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上是等可能的。将这个试验反复做五次。设正面向上次数为X；
C:某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6个男生，4个女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本。设女生人数为X。
问题：
以上情境问题是不是都可以用随机变量表示？如何表示？
A情境中投掷结果有几种？与B情境有何区别与联系？
A情境中正面向上与反面向上的概率分别是多少？它们有何关系？
4.B情境中任何两次试验，第一次出现正面向上对第二次出现正面向上的概率是否有影响？
5.判断以上情境分别是什么分布类型 求分布列及期望？
【实践生成】
总结求离散型随机变量的分布列的步骤及期望计算方法？
2.总结两点分布、二项分布与超几何分布的异同？
探究正态分布的相关性质
本次高二期中检测某班数学成绩分布如下图所示：
问题：
1.观察上面图像，这些数据的分布有什么特征？
2.当分组越来越细时，频率直方图上面的折线怎么变化？
3.结合情境简述正态曲线.
4.正态曲线函数表达式中参数μ和σ对图像有什么影响？
5.你了解3σ原则么，它有什么规律.
【实践生成】
总结正态分布的图像特点及性质。
【形成性评价2】
评价标准1：会运用条件概率性质及全概率公式解决相关问题
评价问题：
1.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率．
评价标准2：理解随机事件，能根据随机变量分布列定义解决相关问题
准确把握二项分布和超几何分布的区别与联系
评价问题：
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X
C．(1,2] D．(1,2)
2.设随机变量X的分布列为下表所示，且E（X）=1.6，则a b=( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A. 0.2 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.4
3．随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）
A． B． C．1 D．0
4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
5.从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件.
（1）求取得次品数ξ的概率分布列及期望；
（2）求至少取到一件次品的概率.
评价标准3：能根据曲线的对称性和3原则解决正态分布问题
评价问题：
正态总体的概率密度函数为，则总体的平均数和标准差分别是 ， .
2.如果随机变量ξ～N(－1，)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量，）
A． B． C． D．
4.271教育集团为70000名学生定制校服，设学生的身高（单位：厘米）服从正态分布N（172,25），请估计适宜身高在167-177厘米范围内学生穿的校服要订制多少套？
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974．
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合实例，运用随机变量分布列及其数字特征，对方案选择问题进行科学评估；
2.根据“超几何分布”,“二项分布”的特点，建立恰当概率模型解决实际问题；
3.灵活运用正态分布的性质解决生活中与正态分布相关的问题。
【学习任务】选择恰当概率模型解决实际问题
随机变量分布列及其数字特征方案选择中的应用
某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【实践生成】
总结如何利用随机变量分布列求期望方差并进行科学决策？
【学习评测】
1. 已知随机变量X的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元;而1件次品亏损2万元;设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润即X的均值;
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
利用二项分布、超几何分布概率模型解决实际问题
1.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列.
2.现有10张相同的卡片，其中有5张上印有“奖”字。游戏者从中任抽5张，抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片就可获得一份精美小礼品，如果抽到5张印有“奖”字的卡片就可另外获得一套丛书。
⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？
⑵他能获得一套丛书的概率是多少？
【学习评测】
某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
公园 甲 乙 丙 丁
获得签名人数 45 60 30 15
然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．
(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；
(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；
(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列．
利用正态分布模型解决实际问题
1.已知随机变量服从正态分布N（2，），P（）=0.84，求P().
2.一商场经营的某种包装的大米质量X（单位：kg）服从正态分布N（10，），且P（X<10.5）=0.8.从该商场中任意抽取一袋该种大米，求其质量在9.5—10.5kg之间的概率.
【实践生成】
总结如何利用正态分布的对称性及3原则解决实际问题。
【形成性评价3】
评价标准1：灵活应用超几何分布、二项分布模型解决实际问题
评价问题：
1.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：g)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)．
评价标准2：灵活应用正态分布模型解决实际问题
评价问题：
1．设随机变量，若，则______，______.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则______.
3.（多选题）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中不正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意正数，
D. 对任意正数，
4.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致服从正态分布．
（1）求该市化学原始成绩在区间的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求．
（附：若随机变量，则，，）
随机变量及其分布
【学习目标】
1.结合离散型随机变量的分布列、数学期望和方差等知识的回扣，从逻辑、能力及价值等方面重构本单元的思维导图；
2.结合对随机变量及其分布的研究，能够选择恰当的概率分布模型解决概率问题；
3.围绕随机变量及其分布进行二次过关，灵活运用相关知识解决生活中的实际问题。
【学习任务】重构随机变量的知识与逻辑体系，反思总结提升
【单元重构】
从条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望和方差等方面层层深入，再次回扣课本任容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图。
【单元拓展】
为应对新冠性病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要。某工厂生产N95型口罩成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率为，且每件产品是否为不合格品相互独立。
(1)记20件产品中恰有两件不合格品的概率为，求的最大值点
(2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格,以(1）中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
(i)若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为，求；
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？
【单元过关】
核心知识素养提升
1．已知随机变量服从正态分布，（ ）
A．0.028 B．0.056 C．0.994 D．0.972
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为 ，由此可以估计（ ）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整体
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩，若已知，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
核心知识迁移应用
6.（多选）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．，
C．， D．，
7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
8.为了解2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，将他们的化学成绩（满分为100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；
（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构随机变量单元结构，总结出用随机变量刻画随机现象常用分布。
水平二 厘清常见几种随机变量分布的区别和联系，能建立模型解决数学和生活问题。
水平三 数学抽象能力、数学建模能力、数据分析能力、逻辑推理能力有显著提升。
随机变量及其分布
单元过关检测： (时间：120分钟 满分：150分)
【过关要求】
1.独立完成，科学、合理安排时间；
2.认真审题，分析出条件和结论，灵活运用基础知识解决问题；
3.注意过程步骤规范书写，条理工整，卷面整洁，做最好的答卷。
【整体重构过关】
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．袋中有2个黑球6个红球， 从中任取两个， 可以作为随机变量的是( )
A．取到球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取得一个红球的概率
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
ξ －1 0 1 2
P
3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )
A. B. C. D.
4．已知ξ的分布列为则ξ的均值为( )
A．0 B．－1 C. D.
5．如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为( )
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观某科普展，该科普展共有甲、乙、丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一个小时时间内，甲、乙、丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第一个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．则P(A|B)＝( )
A. B. C. D.
7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A. B．4 C．8 D．10
8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
ξ 1 2 3
P 1－a 2a2
10．已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为( )
A．－ B. C. D．－
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是( )
A．事件B与事件A1不相互独立
B．A1，A2，A3是两两互斥的事件
C．P(B|A1)＝
D．P(B)＝
12.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，3个水龙头同时被打开的概率为________．
已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝________.
15.学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为__________；记甲答对试题的个数为，则的数学期望________.
16.设一次试验成功的概率为p，进行100次重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
18．(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
19．(12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
20.(12分)某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长但不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
21．(12分)九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量 4 12 11 8 5
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列及期望．
22．(12分)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算这500名患者中潜伏期超过8天的人数；
(2)研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望．