高二数学大单元整体学习学程《第四章 数列》学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学大单元整体学习学程《第四章 数列》学案（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 968.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 13:20:04 | ||
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文档简介
《数列》大单元整体学习学程 ： 时间：2024.02.21 班级：________小组：________ 姓名：_______评价：__________
高二数学
大单元整体学习学程
数列
班级：
小组：
姓名：
第四单元：数列
单元概述
【学科大概念】拓宽函数研究范围，探究以正整数集为定义域定义函数的研究方法，丰富函数的内容。
【课程大概念】通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和方法，建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养。
【单元内容】
数列是高中数学的重要内容之一，包括数列的概念、表示；等差数列与等比数列的概念、变化规律和通项公式、求和公式。本单元通过研究数列的变化规律，表示出数列，进而分析解决与数列有关问题，主要发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。
【课标要求】
1.数列概念：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
2.等差数列：
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前 n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
3.等比数列：
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前 n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
【单元目标】
1.借助生活实例，抽象概括数列的概念，基于概念探索数列的表示、通项、前n项和等相关内容，画出生成过程的思维导图。
2.借助等差、等比数列，探究一般数列的性质和关系，并表示出一般数列的通项及前项和，解决与数列有关的生活问题。
3.探索数列与相应方程、不等式、社会生活的关系，、建立数列模型，解决综合性、应用性问题。
4.梳理本单元内容，理清生成过程，重构数列知识、逻辑、能力和价值意义体系，通过单元拓展和单元过关，发现问题分析原因，完善构建四大体系。
【评价预设】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
用自己的话说出数列的概念；能判断数列分类；写出给定数列的通项公式；能推导出等差、等比数列的通项公式。 理解数列通项公式及前n项和公式的推导过程；能写出数列的通项公式及前n项和公式，并用公式解决数列基本问题； 总结求解数列通项公式及前n项和的方法；灵活应用公式，解决数列和生活问题
【学习导航】
在本单元的学习中，我们将会从四个阶段对本单元进行整体学习，在整体感知阶段，从实例中抽象出数列模型，理解数列的概念和表示方法（列表、图像、通项公式），从函数的角度体会数列是一种特殊的函数，从而形成用数列这一特殊的函数来描述变量变化规律的基本思想；在探究建构阶段，基于等差、等比数列的概念，推导等差、等比数列的通项公式，并研究其性质，认识等差数列与一元一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；借助高斯算数的数学典故探索等差数列的前n项和公式，利用消元的思想推导等比数列的前n项和公式；在应用迁移阶段，基于等差、等比数列的概念、公式等内容，探索一般数列的通项公式和前 n 项和公式，并能运行公式解决数列不等式问题、函数问题；在重构拓展阶段，重构完善数列知识、能力、逻辑和价值意义体系，发现生活中的数列问题，利用数列解决实际问题。
【学时建议】
学习阶段 学习任务 课时安排
整体感知 构建数列知识和逻辑体系 1
探究建构 探究等差（比）数列的通项公式和前n项和公式 5
应用迁移 探究数列的应用及价值 3
重构拓展 应用数列解决数列不等式问题、函数问题等综合问题 2
(
整体感知
)
数列
【学习目标】
1.从实例中抽象概括数列概念，基于概念探索出数列的概念、分类、表示。
2.能说出等差、等比数列的概念，推导出通项公式、前n项和公式。
3.围绕数列，画出数列的知识和逻辑体系。
【学习任务】构建数列知识和逻辑体系
(
学习活动1
)—归纳数列概念、等差（比）数列概念
概念的抽象：
（1）从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32。
（2）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989，2072……
（3）在《庄子》内篇的《天下篇》中说道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之锤”视为1份，那么每日剩下的部分依次为
问题1：观察上面的实例，总结概括出数列、等差数列、等比数列的概念。
问题2：从等差数列的变化规律中，归纳出等差数列的通项公式？
问题3：从等比数列的变化规律中，归纳出等比数列通项公式？
(
学习活动2
)----结合在数学情境中的实例，归纳出数列前n项和公式
这张图片是一组已经捆绑好的钢管，如果只看这一组钢管的上半部分，我们发现它的每一排比第二排都要多一根钢管，也就构成了一个简单的等差数列，生活中常常用到等差数列和等比数列来求解总数。
问题1：尝试用等差数列的知识，求解出钢管的总数。
问题2：从等差数列的变化规律中，试归纳出等差数列的前n项和公式？
①计算出： 1+2+3+。。。+100=
②归纳出等差数列的前n项和公式：
(
学习活动
3
)--画出数列的知识和逻辑体系。
【形成性评价1】结合生活情境中的实例，初步总结数列在数学文化、社会生活中是如何体现的，初步体会数列的应用价值。
1.建筑工地有一批砖，摆成如右图形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，问最下层2106块砖是第几层？总计有多少块砖？
2.假设某银行的活期存款年利率为%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，每年利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利息的变化，用表示第年到期时的存款余额，求，，，及.
(
探究建构
)
数列
【学习目标】
1.研读文本，探究等差数列的性质和关系，表示出等差数列的通项公式和前n项和。
2.研读271BAY资源，探究等比数列的性质和关系，表示出等比数列的通项公式和前n项和。
3.在具体的问题情境中，建立数列模型，并解决与数列有关的实际问题。
【学习任务】探究一般数列的通项公式和前n项和公式
(
学习活动
4
)
----探究等差数列的定义及通项公式
观察以下几个数列：
某月星期日的日期为1,8,15,22,29；
“中岳”泰山海拔1524米，从山脚开始登山，以100米为标注，气温(单位：)依次为30,29.4,28.8,28.2,27.6，...
③2016年里约奥运会主会场的观众席从最接近会场的第一排开始，由内而外的座位数依次为1200，1300，1400，1500，…….
问题1：结合上面三个实例，谈谈你对等差数列概念的理解,并用数学语言表示.
问题2：根据等差数列的概念，尝试推导等差数列的通项公式.
问题3：请写出学习活动1中数列的通项公式，观察、分析并说出等差数列通项公式的结构特征.
问题4：已知等差数列的的公差为，第项为，试求其第项为.
【思考】如果一个数列的通项公式为，其中都是常数，这个数列一定是等差数列吗？
【归纳生成】
基于等差数列的概念，总结判断等差数列的依据与其通项公式推导思路，分析等差数列与一次函数的关系。
【学习评测】
1.在等差数列中，若，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
2.在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )
A．－12 B.－13 C．12 D．13
3.若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝________，通项公式an＝______
4.在等差数列中，已知.
求数列的第10项；
-10是不是数列的项？41是不是数列的项？如果是，是第几项？
5.已知等差数列中,,,. 求数列的通项公式.
(
学习活动
5
)
----探究等差数列前n项和公式
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…
问题1： 你能用简便方法快速算出第30排有多少个座位吗？
问题2： 尝试推导等差数列前项和公式（倒序相加法）
问题3：若已知等差数列的首项和公差，你能否直接用它们表示出其前项和？写出推导过程.
【归纳生成】
总结推导等差数列前项和公式的方法，分析前n项和公式中分别涉及到哪些量，这两个公式有什么联系？等差数列前n项和能否整理成关于n的二次式的形式？
【学习评测】
1.已知等差数列，若
2.已知等差数列，若
3.等差数列前项的和为30，前项的和为100，，求它的前项的和。
4.已知等差数列的前项和为,若则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
拓展：已知数列前项和公式为.
（1）求数列的通项公式； （2）求的最值及对应的值.
(
学习活动
6
)
----探究等比数列的定义和通项公式
观察以下几个数列：
1.某种细胞，如果每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依
次为： 2，4，8，16，……
2.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” .如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：
3.某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为：
问题1：与等差数列相比，上述问题涉及到的数列有什么共同特点 类比等差数列的定义，写出等比数列的定义，并用数学语言表示
问题2：根据等比数列的定义，观察并判断下列数列是否为等比数列？
① 1,1,1,1,1； ② 0,1,2,4,8； ③ 2,0,2,0,2,0； ④1，，，，.
问题3：根据等比数列的定义，类比研究等差数列的方法和过程来尝试推导等比数列的通项公式；并分析等比数列与指数函数的关系。
【思考1】若2 ，m， 8构成等比数列，则A的值是多少？ 2，n，-8能否构成等比数列？
【思考2】已知等比数列满足，计算，研究和的关系？能否得出一般性结论？
【归纳生成】
类比等差数列的性质，归纳出等比数列的性质。
【学习评测】
1.已知等比数列中，，求该数列的通项公式.
2.已知是等比数列，且，求数列的通项公式
(
学习活动
7
)
----探究等比数列前n项和
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格.国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊，为什么呢
大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？
问题1：上述问题是数列1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… 的求和问题，那么这个数列有什么特征？怎样求该数列的和？
问题2：由等比数列的定义，我们可以写出下列等式：
……
如何处理上述等式才能得到？怎样研究等比数列的前项和？
【学习评测】
1.已知数列{an}为等比数列.
2.等比数列的首项为，前项和为，如果，求.
3.等比数列的前项和为，且、、成等差数列，若，求.
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，求S4．
【形成性评价2】
评价标准1：能求出数列通项公式
评价问题：
1.等比数列满足，则______________。
2.一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。
评价标准2：能求出数列前n项和
评价问题：
1.等差数列中，=40， =13，d=-2 时，n=______________。
2.在等比数列中，，则__________，__________。
3.等差数列的前n项和。求数列的前n项的和。
4.数列中,当n为奇数时,,当n为偶数时,=,若数列共有2m
项。求这个数列的前2m项的和。
(
应用迁移
)
数列
【学习目标】
1.结合生活实例，探索一般函数的通项公式，归纳求通项公式的方法和思想；
2.研读271BAY资源，探索一般函数的前n项和公式，归纳求前 n 项和公式的方法和思想；
3. 探索数列在生活中的应用，能建立数列模型解决数列不等式问题和函数最值问题。
【学习任务】探究数列的价值及应用
(
学习活动
8
)
——由数列的递推关系式求通项公式
请同学们仔细观察下列数列：
（1）
（2）0.8,0.88,0.888,0.8888……
（3）0,1,0,1,0,1……
问题1：尝试找出这些数列各自的规律，并写出接下来的3项；
问题2：写出这些数列的通项公式，并总结在观察数列的时候应该抓住哪几方面特征。
【思考】对于一般数列该如何求其通项公式，能不能转化成等差等比数列处理呢？
（1）
（2）a1＝3，
（3）
（4）
（5）
问题1：对于上述数列，请根据所给条件写出前5项，并总结出所给数列各自的特点；
问题2：尝试将这几个数列转化成等差或等比数列，并求出其通项公式；
问题3：模仿所给数列，自己再写出几个并求出其通项公式。
【实践生成】
总结求数列通项公式的方法。
【学习评测】
已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列，则数列的通项公式__________.
(
学习活动
9
)
——探究数列的前项和
前面已经学习过了两类特殊的数列——等差数列和等比数列，知道了如何去求这两类数列的前n项和公式，现在请小组内的四位同学两两为一队，分别代表等差数列和等比数列，思考当这两类数列相遇变成一个新的数列时又该如何去求前n项和公式.
问题1：等差数列±等比数列，得到新的数列有什么样的特征？如何利用等差等比数列的前n项和公式求出该数列的前n项和？
问题2：等差数列*、÷等比数列，得到新的数列有什么样的特征？能不能类比等比数列的前n项和公式推导出该数列的前n项和公式？
开心消消乐是一款很火的游戏，其原理是把三个颜色相同的小动物连成一条直线，即可消除。这对于我们求数列的前项和有没有什么帮助，如果所给的数列没有可以相抵消的，又该如何处理？
问题1：尝试用数列的内容表示下列式子：，并计算最后结果.
问题2：能不能用上面的方法求
问题3：你还能总结哪些能够相消的式子，请写出来并与同伴交流.
【实践生成】
总结求数列前项和的方法.
【学习评测】
等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(
学习活动
10
)——数列与函数、不等式、生活的关系
数列的应用主要表现在数学和生活上，根据所给条件建立合适的数列模型，再结合学过的函数、不等式的相关知识，解决相关问题.
问题1：今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是___
问题2：二次函数
（1）求并求的解析式；
（2）若求数列
（3）若求符合最小自然数n．
【实践生成】
总结如何应用数列解决不等式、函数和生活中的问题.
【学习检测】
黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合.
（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；
（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 （不考虑泥沙沉淀）
【形成性评价3】
评价标准1：能够求数列的通项公式和前n项和公式
评价问题：已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设bn＝log2 an，求数列{bn}的前n项和．
评价标准2：灵活运用数列的相关知识解决生活中的问题
评价问题：已知斐波那契数列的前七项为：，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层．
A．5 B．6 C．7 D．8
(
重构拓展
)
数列
【学习目标】
1.梳理本章学习内容，围绕数列概念，重构数列知识和能力体系。
2.人人参与过关，自主纠错，反思错因，总结用数列解决与不等式、函数有关问题的注意事项和规律。
3.深度探究数列与函数、不等式和生活的关系，建立数列模型，解决实际生活问题，并举例说明数列在实际生活中的应用。
【学习任务】应用数列解决数列不等式问题、函数问题等综合问题。
【单元重构】
从数列概念、数列通项公式及前n项和等方面层层深入，再次阅读《数列》的课本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.
【单元拓展】
将一个数列{an}按照一定的规律分组，得到的就是原数列的分组数列，也叫分群数列或群数列.例如，将正整数数列依次按第一组1个，第二组2个，……，第k组k个的规律分组得到的分群数列：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10）……对于群数列来说，原数列如果成等差（或等比）数列，那么群数列中每群的中的数是否也是等差（或等比）数列呢？
把奇数数列按下面方法写成群数列：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……
（1）第20群中的第10个数是多少？
（2）第20群中所有数的和是多少？
（3）1003这个数被分在第几群中的第几个数？
【单元过关】
(
基础过关
)——数列通项公式及其前n项和
1.已知等差数列{an}中，a1＝5，a2＝7，则a17的值是（ ）
A．35 B．37 C．39 D．41
2.数列1，3，7，15，……的通项可以是（ ）
A．2n﹣1 B．n2﹣1 C．2n﹣1 D．n2﹣n+1
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(
应用过关
)——数列的应用
4.已知函数数列{}的前n项和为，若
求数列{}的通项公式；
设
5.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，2020年一月份全国共建基站3万个．
（1）如果从2020年2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，到2020年底全国共有基站多少万个（精确到0.1万个）；
（2）如果2020年新建基站60万个，计划到2022年底全国至少要800万个，并且，从2021年起每年新建基站的数量比上一年以等比严格递增，间2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）
形成性评价4
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构数列单元结构，能进行等差等比数列基本量的运算.
水平二 能够根据所给条件选择合适的方法求数列的通项公式和前n项和..
水平三 能够解决数列与函数、不等式的综合问题
(
过关检测
)
(
- 1 -
)
单元检测
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．已知数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．等比数列的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝（ ）
A．32 B．31 C．64 D．63
3．在等比数列中，，则（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
4．在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A．16 B．64 C．128 D．256
7．已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：
①；②；③；④数列中的最大项为，
其中正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
8．已知等差数列的前n项和为，若是一个确定的常数，则数列中是常数的项是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．、均为的最大值
10．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
12．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知是等比数列，，，则______.
14．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
15．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
16．已知等差数列的公差，前项之和为，若对任意正整数恒有，则的取值范围是______.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）
17．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
18．已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记数列的前项和为，求
19．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．
22．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，设的前项的和为，求证：.
(
- 1 -
)
高二数学
大单元整体学习学程
数列
班级：
小组：
姓名：
第四单元：数列
单元概述
【学科大概念】拓宽函数研究范围，探究以正整数集为定义域定义函数的研究方法，丰富函数的内容。
【课程大概念】通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和方法，建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养。
【单元内容】
数列是高中数学的重要内容之一，包括数列的概念、表示；等差数列与等比数列的概念、变化规律和通项公式、求和公式。本单元通过研究数列的变化规律，表示出数列，进而分析解决与数列有关问题，主要发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。
【课标要求】
1.数列概念：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
2.等差数列：
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前 n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
3.等比数列：
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前 n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
【单元目标】
1.借助生活实例，抽象概括数列的概念，基于概念探索数列的表示、通项、前n项和等相关内容，画出生成过程的思维导图。
2.借助等差、等比数列，探究一般数列的性质和关系，并表示出一般数列的通项及前项和，解决与数列有关的生活问题。
3.探索数列与相应方程、不等式、社会生活的关系，、建立数列模型，解决综合性、应用性问题。
4.梳理本单元内容，理清生成过程，重构数列知识、逻辑、能力和价值意义体系，通过单元拓展和单元过关，发现问题分析原因，完善构建四大体系。
【评价预设】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
用自己的话说出数列的概念；能判断数列分类；写出给定数列的通项公式；能推导出等差、等比数列的通项公式。 理解数列通项公式及前n项和公式的推导过程；能写出数列的通项公式及前n项和公式，并用公式解决数列基本问题； 总结求解数列通项公式及前n项和的方法；灵活应用公式，解决数列和生活问题
【学习导航】
在本单元的学习中，我们将会从四个阶段对本单元进行整体学习，在整体感知阶段，从实例中抽象出数列模型，理解数列的概念和表示方法（列表、图像、通项公式），从函数的角度体会数列是一种特殊的函数，从而形成用数列这一特殊的函数来描述变量变化规律的基本思想；在探究建构阶段，基于等差、等比数列的概念，推导等差、等比数列的通项公式，并研究其性质，认识等差数列与一元一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；借助高斯算数的数学典故探索等差数列的前n项和公式，利用消元的思想推导等比数列的前n项和公式；在应用迁移阶段，基于等差、等比数列的概念、公式等内容，探索一般数列的通项公式和前 n 项和公式，并能运行公式解决数列不等式问题、函数问题；在重构拓展阶段，重构完善数列知识、能力、逻辑和价值意义体系，发现生活中的数列问题，利用数列解决实际问题。
【学时建议】
学习阶段 学习任务 课时安排
整体感知 构建数列知识和逻辑体系 1
探究建构 探究等差（比）数列的通项公式和前n项和公式 5
应用迁移 探究数列的应用及价值 3
重构拓展 应用数列解决数列不等式问题、函数问题等综合问题 2
(
整体感知
)
数列
【学习目标】
1.从实例中抽象概括数列概念，基于概念探索出数列的概念、分类、表示。
2.能说出等差、等比数列的概念，推导出通项公式、前n项和公式。
3.围绕数列，画出数列的知识和逻辑体系。
【学习任务】构建数列知识和逻辑体系
(
学习活动1
)—归纳数列概念、等差（比）数列概念
概念的抽象：
（1）从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32。
（2）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989，2072……
（3）在《庄子》内篇的《天下篇》中说道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之锤”视为1份，那么每日剩下的部分依次为
问题1：观察上面的实例，总结概括出数列、等差数列、等比数列的概念。
问题2：从等差数列的变化规律中，归纳出等差数列的通项公式？
问题3：从等比数列的变化规律中，归纳出等比数列通项公式？
(
学习活动2
)----结合在数学情境中的实例，归纳出数列前n项和公式
这张图片是一组已经捆绑好的钢管，如果只看这一组钢管的上半部分，我们发现它的每一排比第二排都要多一根钢管，也就构成了一个简单的等差数列，生活中常常用到等差数列和等比数列来求解总数。
问题1：尝试用等差数列的知识，求解出钢管的总数。
问题2：从等差数列的变化规律中，试归纳出等差数列的前n项和公式？
①计算出： 1+2+3+。。。+100=
②归纳出等差数列的前n项和公式：
(
学习活动
3
)--画出数列的知识和逻辑体系。
【形成性评价1】结合生活情境中的实例，初步总结数列在数学文化、社会生活中是如何体现的，初步体会数列的应用价值。
1.建筑工地有一批砖，摆成如右图形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，问最下层2106块砖是第几层？总计有多少块砖？
2.假设某银行的活期存款年利率为%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，每年利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利息的变化，用表示第年到期时的存款余额，求，，，及.
(
探究建构
)
数列
【学习目标】
1.研读文本，探究等差数列的性质和关系，表示出等差数列的通项公式和前n项和。
2.研读271BAY资源，探究等比数列的性质和关系，表示出等比数列的通项公式和前n项和。
3.在具体的问题情境中，建立数列模型，并解决与数列有关的实际问题。
【学习任务】探究一般数列的通项公式和前n项和公式
(
学习活动
4
)
----探究等差数列的定义及通项公式
观察以下几个数列：
某月星期日的日期为1,8,15,22,29；
“中岳”泰山海拔1524米，从山脚开始登山，以100米为标注，气温(单位：)依次为30,29.4,28.8,28.2,27.6，...
③2016年里约奥运会主会场的观众席从最接近会场的第一排开始，由内而外的座位数依次为1200，1300，1400，1500，…….
问题1：结合上面三个实例，谈谈你对等差数列概念的理解,并用数学语言表示.
问题2：根据等差数列的概念，尝试推导等差数列的通项公式.
问题3：请写出学习活动1中数列的通项公式，观察、分析并说出等差数列通项公式的结构特征.
问题4：已知等差数列的的公差为，第项为，试求其第项为.
【思考】如果一个数列的通项公式为，其中都是常数，这个数列一定是等差数列吗？
【归纳生成】
基于等差数列的概念，总结判断等差数列的依据与其通项公式推导思路，分析等差数列与一次函数的关系。
【学习评测】
1.在等差数列中，若，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
2.在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )
A．－12 B.－13 C．12 D．13
3.若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝________，通项公式an＝______
4.在等差数列中，已知.
求数列的第10项；
-10是不是数列的项？41是不是数列的项？如果是，是第几项？
5.已知等差数列中,,,. 求数列的通项公式.
(
学习活动
5
)
----探究等差数列前n项和公式
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…
问题1： 你能用简便方法快速算出第30排有多少个座位吗？
问题2： 尝试推导等差数列前项和公式（倒序相加法）
问题3：若已知等差数列的首项和公差，你能否直接用它们表示出其前项和？写出推导过程.
【归纳生成】
总结推导等差数列前项和公式的方法，分析前n项和公式中分别涉及到哪些量，这两个公式有什么联系？等差数列前n项和能否整理成关于n的二次式的形式？
【学习评测】
1.已知等差数列，若
2.已知等差数列，若
3.等差数列前项的和为30，前项的和为100，，求它的前项的和。
4.已知等差数列的前项和为,若则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
拓展：已知数列前项和公式为.
（1）求数列的通项公式； （2）求的最值及对应的值.
(
学习活动
6
)
----探究等比数列的定义和通项公式
观察以下几个数列：
1.某种细胞，如果每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依
次为： 2，4，8，16，……
2.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” .如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：
3.某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为：
问题1：与等差数列相比，上述问题涉及到的数列有什么共同特点 类比等差数列的定义，写出等比数列的定义，并用数学语言表示
问题2：根据等比数列的定义，观察并判断下列数列是否为等比数列？
① 1,1,1,1,1； ② 0,1,2,4,8； ③ 2,0,2,0,2,0； ④1，，，，.
问题3：根据等比数列的定义，类比研究等差数列的方法和过程来尝试推导等比数列的通项公式；并分析等比数列与指数函数的关系。
【思考1】若2 ，m， 8构成等比数列，则A的值是多少？ 2，n，-8能否构成等比数列？
【思考2】已知等比数列满足，计算，研究和的关系？能否得出一般性结论？
【归纳生成】
类比等差数列的性质，归纳出等比数列的性质。
【学习评测】
1.已知等比数列中，，求该数列的通项公式.
2.已知是等比数列，且，求数列的通项公式
(
学习活动
7
)
----探究等比数列前n项和
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格.国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊，为什么呢
大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？
问题1：上述问题是数列1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… 的求和问题，那么这个数列有什么特征？怎样求该数列的和？
问题2：由等比数列的定义，我们可以写出下列等式：
……
如何处理上述等式才能得到？怎样研究等比数列的前项和？
【学习评测】
1.已知数列{an}为等比数列.
2.等比数列的首项为，前项和为，如果，求.
3.等比数列的前项和为，且、、成等差数列，若，求.
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，求S4．
【形成性评价2】
评价标准1：能求出数列通项公式
评价问题：
1.等比数列满足，则______________。
2.一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。
评价标准2：能求出数列前n项和
评价问题：
1.等差数列中，=40， =13，d=-2 时，n=______________。
2.在等比数列中，，则__________，__________。
3.等差数列的前n项和。求数列的前n项的和。
4.数列中,当n为奇数时,,当n为偶数时,=,若数列共有2m
项。求这个数列的前2m项的和。
(
应用迁移
)
数列
【学习目标】
1.结合生活实例，探索一般函数的通项公式，归纳求通项公式的方法和思想；
2.研读271BAY资源，探索一般函数的前n项和公式，归纳求前 n 项和公式的方法和思想；
3. 探索数列在生活中的应用，能建立数列模型解决数列不等式问题和函数最值问题。
【学习任务】探究数列的价值及应用
(
学习活动
8
)
——由数列的递推关系式求通项公式
请同学们仔细观察下列数列：
（1）
（2）0.8,0.88,0.888,0.8888……
（3）0,1,0,1,0,1……
问题1：尝试找出这些数列各自的规律，并写出接下来的3项；
问题2：写出这些数列的通项公式，并总结在观察数列的时候应该抓住哪几方面特征。
【思考】对于一般数列该如何求其通项公式，能不能转化成等差等比数列处理呢？
（1）
（2）a1＝3，
（3）
（4）
（5）
问题1：对于上述数列，请根据所给条件写出前5项，并总结出所给数列各自的特点；
问题2：尝试将这几个数列转化成等差或等比数列，并求出其通项公式；
问题3：模仿所给数列，自己再写出几个并求出其通项公式。
【实践生成】
总结求数列通项公式的方法。
【学习评测】
已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列，则数列的通项公式__________.
(
学习活动
9
)
——探究数列的前项和
前面已经学习过了两类特殊的数列——等差数列和等比数列，知道了如何去求这两类数列的前n项和公式，现在请小组内的四位同学两两为一队，分别代表等差数列和等比数列，思考当这两类数列相遇变成一个新的数列时又该如何去求前n项和公式.
问题1：等差数列±等比数列，得到新的数列有什么样的特征？如何利用等差等比数列的前n项和公式求出该数列的前n项和？
问题2：等差数列*、÷等比数列，得到新的数列有什么样的特征？能不能类比等比数列的前n项和公式推导出该数列的前n项和公式？
开心消消乐是一款很火的游戏，其原理是把三个颜色相同的小动物连成一条直线，即可消除。这对于我们求数列的前项和有没有什么帮助，如果所给的数列没有可以相抵消的，又该如何处理？
问题1：尝试用数列的内容表示下列式子：，并计算最后结果.
问题2：能不能用上面的方法求
问题3：你还能总结哪些能够相消的式子，请写出来并与同伴交流.
【实践生成】
总结求数列前项和的方法.
【学习评测】
等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(
学习活动
10
)——数列与函数、不等式、生活的关系
数列的应用主要表现在数学和生活上，根据所给条件建立合适的数列模型，再结合学过的函数、不等式的相关知识，解决相关问题.
问题1：今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是___
问题2：二次函数
（1）求并求的解析式；
（2）若求数列
（3）若求符合最小自然数n．
【实践生成】
总结如何应用数列解决不等式、函数和生活中的问题.
【学习检测】
黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合.
（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；
（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 （不考虑泥沙沉淀）
【形成性评价3】
评价标准1：能够求数列的通项公式和前n项和公式
评价问题：已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设bn＝log2 an，求数列{bn}的前n项和．
评价标准2：灵活运用数列的相关知识解决生活中的问题
评价问题：已知斐波那契数列的前七项为：，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层．
A．5 B．6 C．7 D．8
(
重构拓展
)
数列
【学习目标】
1.梳理本章学习内容，围绕数列概念，重构数列知识和能力体系。
2.人人参与过关，自主纠错，反思错因，总结用数列解决与不等式、函数有关问题的注意事项和规律。
3.深度探究数列与函数、不等式和生活的关系，建立数列模型，解决实际生活问题，并举例说明数列在实际生活中的应用。
【学习任务】应用数列解决数列不等式问题、函数问题等综合问题。
【单元重构】
从数列概念、数列通项公式及前n项和等方面层层深入，再次阅读《数列》的课本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.
【单元拓展】
将一个数列{an}按照一定的规律分组，得到的就是原数列的分组数列，也叫分群数列或群数列.例如，将正整数数列依次按第一组1个，第二组2个，……，第k组k个的规律分组得到的分群数列：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10）……对于群数列来说，原数列如果成等差（或等比）数列，那么群数列中每群的中的数是否也是等差（或等比）数列呢？
把奇数数列按下面方法写成群数列：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……
（1）第20群中的第10个数是多少？
（2）第20群中所有数的和是多少？
（3）1003这个数被分在第几群中的第几个数？
【单元过关】
(
基础过关
)——数列通项公式及其前n项和
1.已知等差数列{an}中，a1＝5，a2＝7，则a17的值是（ ）
A．35 B．37 C．39 D．41
2.数列1，3，7，15，……的通项可以是（ ）
A．2n﹣1 B．n2﹣1 C．2n﹣1 D．n2﹣n+1
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(
应用过关
)——数列的应用
4.已知函数数列{}的前n项和为，若
求数列{}的通项公式；
设
5.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，2020年一月份全国共建基站3万个．
（1）如果从2020年2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，到2020年底全国共有基站多少万个（精确到0.1万个）；
（2）如果2020年新建基站60万个，计划到2022年底全国至少要800万个，并且，从2021年起每年新建基站的数量比上一年以等比严格递增，间2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）
形成性评价4
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构数列单元结构，能进行等差等比数列基本量的运算.
水平二 能够根据所给条件选择合适的方法求数列的通项公式和前n项和..
水平三 能够解决数列与函数、不等式的综合问题
(
过关检测
)
(
- 1 -
)
单元检测
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．已知数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．等比数列的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝（ ）
A．32 B．31 C．64 D．63
3．在等比数列中，，则（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
4．在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A．16 B．64 C．128 D．256
7．已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：
①；②；③；④数列中的最大项为，
其中正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
8．已知等差数列的前n项和为，若是一个确定的常数，则数列中是常数的项是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．、均为的最大值
10．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
12．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知是等比数列，，，则______.
14．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
15．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
16．已知等差数列的公差，前项之和为，若对任意正整数恒有，则的取值范围是______.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）
17．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
18．已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记数列的前项和为，求
19．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．
22．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，设的前项的和为，求证：.
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