高二数学大单元整体学习学程《第一章 空间向量与立体几何》学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学大单元整体学习学程《第一章 空间向量与立体几何》学案（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 13:20:45 | ||
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文档简介
高二数学
大单元整体学习学程
空间向量与立体几何
班级：
小组：
姓名：
【学科大概念】
向量方法研究图形的位置关系和度量关系.
【课程大概念】
依托运用空间何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题，对比向量方法和综合几何方法的共性和差异，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理能力，形成研究立体图形的思路.
单元概述
【单元内容】
本单元主要学习空间向量的定义、坐标表示、线性运算、空间向量基本定理和利用空间向量解决立体几何图形.
【课标要求】
（1）空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.
（2）空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
（3）向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
②掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.
（4）空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【单元目标】
1.类比平面向量，猜测空间向量满足的性质，区别平面向量与空间向量在解决几何问题的不同，确定用向量研究空间图形的基本思路；
2.借助空间向量基本定理用基底表示空间中的向量，用向量语言表述出空间点、线、面的位置关系和度量关系，说出向量的思想方法是如何体现的；
3.对比向量法与综合几何法的差异，对于不同的问题，选取恰当的方法解决夹角和距离问题；
4. 从空间中点线面的度量和位置关系重构单元结构，阐述立体几何与平面几何的逻辑关系，建立向量方法研究空间图形的思路.
【评价预设】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
说出空间向量的概念、会进行运算，借助空间向量基本定理选择合适基底表示空间向量，写出直线的方向向量、平面的法向量； 能在空间几何体中运用向量判断直线与平面间的位置关系；用向量法求解空间角； 将实际生活中的物体抽象为几何体模型，并灵活运用空间向量解决立体几何综合问题；
【学习导航】
在本单元的学习中将分为四个阶段，在整体感知部分，类比我们在平面向量所学过的内容，猜测空间向量会不会有类似的性质，又能用空间向量解决立体图形中的哪些问题；在探究建构部分，类比平面向量基本定理，探究空间向量的坐标运算，并以此探究空间图形中的有关“角”与“距离”的问题；在迁移应用部分利用向量方法与综合几何的方法求解空间中点、线、面之间的位置关系，发展空间想象能力运用向量的知识对于它们的度量问题作深入的研究；在重构拓展部分要重构向量的概念、性质，并分析向量方法和综合几何方法在解决空间几何图形的位置与度量关系时的差异性，根据不同的问题，能够准确的对方法进行选取.
【课时建议】
学习过程 学习任务 课时安排
整体感知 类比平面向量认识空间向量 3
探究建构 运用空间向量研究空间中的位置关系和度量关系 6
迁移应用 运用空间向量解决生活中度量问题 3
重构拓展 重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测 4
空间向量与立体几何
【学习目标】
研读文本，类比平面向量的性质，说出空间向量满足的性质，指出平面向量与空间向量的共性与差异；
理顺平面向量在解决平面图形中的应用，猜测空间向量能够解决哪些空间图形问题，建立空间向量与图形的关系；
借助具体实例，用数学语言表述生活中的现象，认识空间基本图形的位置关系和度量关系.
【学习任务】类比平面向量认识空间向量
--类比平面向量认识空间向量
我们已经学面向量的概念、基本运算，那么平面向量满足的性质是不是可以推广到空间中呢？
问题1.梳理所学过的平面向量的核心概念和性质，你认为空间向量应该具有哪些核心概念和性质
问题2.在平面向量单元的学习中，我们能利用平面向量解决哪些平面图形问题？以此猜测利用空间向量能解决空间几何中的哪些问题呢？
--对比平面向量与空间向量的基本运算
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何图形，首先要明确空间向量与平面向量的异同.
问题1.在平面向量的运算中，我们知道平面向量中，我们证明了平面向量满足交换律、结合律、分配律，那么在证明空间向量的这三种运算律时，与平面向量的证明过程完全一样吗？如果不一样有什么不同？
问题2.在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？如何建立空间直角坐标系？它与平面直角坐标系有什么差异吗？
问题3.平面向量基本定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是：存在唯一实数对，使.你认为空间向量基本定理的内容会是怎样的？
--认识线面之间的度量关系
标枪运动员投掷标枪时，标枪所在直线与地面所在平面既不平行也不垂直，二者呈现出一定夹角的形象；在用太阳能板吸收太阳光时，太阳能光板所在平面与地面所在平面呈现出一定夹角的形象；一天中太阳光线所在直线与地面所在平面呈现一定的夹角；从高空坠落的物体给人一种空间一点到地面所在平面距离越来越近的形象，楼房的层高体现两个平行平面距离的形象，地震时人们描述震源深度体现地下一点到地面距离的远近，等等.
问题1.生活中经常会遇到“把门开大点”，“把球抛高点”这样的语言，从数学的角度来分析，你认为可以用哪些量来衡量这种现象？
问题2.在立体几何初步中，我们学习了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，那么我们应该选择哪些量来体现它们之间有的度量关系呢？
【形成性评价1】
分析平面向量与空间向量的异同，梳理空间向量的性质和运用.
空间向量与立体几何
【学习目标】
1.类比平面向量基本定理解释空间向量基本定理，建立空间直角坐标系，刻画空间基本图形；
2.借助空间几何体找出空间角，总结向量法求空间角的思路，并比较几何法和向量法之间的异同；
3.依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力，运用它解决立体几何中的问题，说出向量的工具性作用是如何体现的.
【学习任务】利用向量探究空间中的位置关系和度量关系
--空间向量基本运算与基本定理
如图1-1-21所示，已知,且OADB-CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O=2.
问题1.设选择{}为一组基底，表示向量与；
问题2.设向量，类比平面向量的坐标表示，分别写出，，，，向量的模、夹角的坐标表示.
类比平面向量基本定理，归纳总结出空间向量基本定理.
--用空间向量判断空间中的位置关系
如图，在长方体中，已知AB=2,BC=1,=1,E、M、N分别是的中点.
问题1.类比平面向量的性质，建立合适的直角坐标系，写出空间中直线B与的方向向量，并用向量的方法证明B与不平行；
问题2.在问题1的前提下，用向量方法证明直线与B垂直;
问题3.在问题1的前提下，结合线面垂直判定定理，写出平面的法向量，并用向量方法证明直线MN//面.
归纳用空间向量的思想判断空间中的位置关系的方法与步骤.
---探究求空间角的方法
已知为直角梯形，垂直于平面，.
问题1.如图，选择恰当的方法，求异面直线SB与AD、SB与CD的夹角大小；
问题2.从图中找出SD与面SAB的夹角，并计算其余弦值；若是改为直线SD与面SBC的夹角，又该如何计算？
问题3.根据二面角的概念，从图中找出二面角的平面角.
问题4.用向量法求平面、平面所成的夹角的余弦值.该夹角与两平面的法向量的夹角有什么关系？
归纳总结求空间角的方法与步骤.
学习评测
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°.
（1）求PB与AC所成角的余弦值；
（2）求PD与平面PAC所成角的余弦值；
（3）求平面PDC与平面PAC所成角的余弦值．
--探究空间中的距离
如图所示，已知是平行六面体， 如何求的长度.
问题1.若是长方体，如何求的长度.
问题2.在问题1的条件上，如何求到直线的距离 如何求到直线的距离
问题3.在问题1的条件上，如何求到平面的距离 如何求到平面的距离
归纳用向量法求点、直线、平面之间的距离的方法.
学习评测
1.的两条直角边平面，，则到斜边的距离 .
已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为
A.10 B.3 C. D.
【形成性评价2】
评价标准1：说出用向量判断线线、线面、面面间的平行、垂直的方法及依据；
评价问题：
设，分别是平面的法向量，判断两个平面是否平行.
评价标准2：说出求空间角的方法及步骤
评价问题：（多选）正三棱柱中，，则（ ）
A．与底面的成角的正弦值为 B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为 D．与侧面的成角的正弦值为
评价标准3：说出求空间距离的方法及步骤
评价问题：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
空间向量与立体几何
【学习目标】
1.结合实例，能用向量语言表述直线、平面之间的夹角以及垂直平行关系，建立空间观念；
2.借助常见空间几何体找出空间角，总结向量法求空间角的思路，并比较总结几何法和向量法之间的差异；
3.通过研究生活中几何体的结构，抽象出几何图形，形成研究立体图形的基本思路.
【学习任务】 用向量解决立体几何中的综合问题
———探究空间中位置关系与度量关系的综合问题
如图，在三棱锥P ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)若直线PA与平面ABC所成的角为45°，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小．
实践生成
归纳总结求空间角的方法与步骤.
学习评测
1．如图，在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
——解决生活中的度量问题
1.阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓.如下图所示，取一个长方休，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
长方体 堑堵 堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E-ABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥E-FCD）称为鳖臑.
堑堵 阳马 鳖臑
(1)在阳马（四棱锥E-ABCD）中，连接BD，若AB=AD，证明:EC⊥BD;
(2)若AB=2,AD=2,EA=1,求鳖臑（三棱锥E-FCD）中二面角F-EC-D余弦值的大小．
2.石墨和金刚石都是由碳元素组成的，但是她们的性质差异很大，石墨是一种有金属光泽且不透明的细鳞片状固体，石墨很软；纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，金刚石是天然存在的最硬的物质.为什么会这样呢？这是因为组成这两种物质的碳原子在空间中的排列方式不同，图1所示是组成石墨的碳原子在空间排列的结构示意图，图2是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图.
事实上，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（如图3）.这就是说，图3中有
求直线与的夹角；
求二面角的大小.
学习评测
1.在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【形成性评价3】
评价标准1：会用向量解决立体几何中的综合问题
评价问题：如图，正方形所在的平面与平面垂直，是的交点，，且.
（1）求证：；
（2）求直线AB与平面所成角的大小；
（3）求二面角的大小.
评价标准2：会用向量解决立体几何中的动态问题
评价问题：已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：;
（2）当为何值时，面与面所成的二面角正弦值最小？
空间向量与立体几何
【学习目标】
1. 以“空间向量与立体几何”为核心，复盘学习过程，整体重构本单元思维导图；
2. 自主纠错，从必备知识、思维提升、学习过程等方面做好反思总结，总结空间向量解决问题的思路和方法；
3.进行二次过关，在具体情境中运用综合几何与向量法解决数学问题和实际问题.
【单元重构】
从以下两个重构方式中选取一种，进行重构。
方式一：再次研读文本，从平面向量与空间向量，立体几何的位置关系与度量关系之间的知识与逻辑、思想与方法、核心素养、与现实生活的关系等方面进行梳理，画出向量和立体几何的思维导图.
方式二：利用向量能够解决空间图形中的哪些问题 都有哪些解决方法，选择一到两个角度进行分析.
【单元拓展】
由本章内容可以看出，立体几何中的一些问题，即可以借助空间向量求解，也可以直接利用有关定义、判定定理、性质定理等求解.请结合必修中的立体几何内容，借助具体实例总结综合几何法与向量思想方法在解决几何问题中的优缺点，指出每一类方法的一般步骤（用实例加以说明）.
----探究空间向量的概念及运算
1．以下四个命题中正确的是
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示；
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向
量的另一组基底；
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0；
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
A．－4 B．－2 C．4 D．2
3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为
A．0 B. C. D.
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
6．如图，在大小为45°的二面角中，四边形都是边长为1的正方形，则两点间的距离是
A. B. C．1 D.
7. 设R，向量，且，则
8. 在空间四边形中，________.
9．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．
——探究立体图形中的位置与度量关系
10.如图所示，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，
证明：平面平面.
求直线与直线所成角的余弦值.
11．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
12．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：
(1)EF的长；
(2)折起后∠EOF的大小．
13.在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
形成性评价4
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构向量与立体几何单元结构，会进行向量的基本运算；
水平二 能用空间向量解决空间角和空间距离等有关的度量问题；
水平三 对比几何法与向量法的异同，选择合适的方法求解立体几何中的位置判断及度量问题.
【过关要求】
1.独立完成，限时100分钟，合理安排时间；
2.认真审题，分析问题蕴含的条件，注意书写步骤的规范，条理工整，注意数学语言的正确使用。
单元检测
一．单选题
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是
A． B． C． D．
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量 B．若存在使＝，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则α内任一向量
3．已知给出下列等式：
①； ②； ③
④.其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在平形六面体，其中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任一点和不共线的三点，若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值为 C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
9．已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
填空题
10．已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且，现用基底{}表示向量，有，则的值分别为 ．
11．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若是空间的一组基底，且，则四点共面；
④若向量是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
12．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
四．解答题
13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
14．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
15．如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
16．在正六棱柱中，.
（1）求到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长.
大单元整体学习学程
空间向量与立体几何
班级：
小组：
姓名：
【学科大概念】
向量方法研究图形的位置关系和度量关系.
【课程大概念】
依托运用空间何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题，对比向量方法和综合几何方法的共性和差异，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理能力，形成研究立体图形的思路.
单元概述
【单元内容】
本单元主要学习空间向量的定义、坐标表示、线性运算、空间向量基本定理和利用空间向量解决立体几何图形.
【课标要求】
（1）空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.
（2）空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
（3）向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
②掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.
（4）空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【单元目标】
1.类比平面向量，猜测空间向量满足的性质，区别平面向量与空间向量在解决几何问题的不同，确定用向量研究空间图形的基本思路；
2.借助空间向量基本定理用基底表示空间中的向量，用向量语言表述出空间点、线、面的位置关系和度量关系，说出向量的思想方法是如何体现的；
3.对比向量法与综合几何法的差异，对于不同的问题，选取恰当的方法解决夹角和距离问题；
4. 从空间中点线面的度量和位置关系重构单元结构，阐述立体几何与平面几何的逻辑关系，建立向量方法研究空间图形的思路.
【评价预设】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
说出空间向量的概念、会进行运算，借助空间向量基本定理选择合适基底表示空间向量，写出直线的方向向量、平面的法向量； 能在空间几何体中运用向量判断直线与平面间的位置关系；用向量法求解空间角； 将实际生活中的物体抽象为几何体模型，并灵活运用空间向量解决立体几何综合问题；
【学习导航】
在本单元的学习中将分为四个阶段，在整体感知部分，类比我们在平面向量所学过的内容，猜测空间向量会不会有类似的性质，又能用空间向量解决立体图形中的哪些问题；在探究建构部分，类比平面向量基本定理，探究空间向量的坐标运算，并以此探究空间图形中的有关“角”与“距离”的问题；在迁移应用部分利用向量方法与综合几何的方法求解空间中点、线、面之间的位置关系，发展空间想象能力运用向量的知识对于它们的度量问题作深入的研究；在重构拓展部分要重构向量的概念、性质，并分析向量方法和综合几何方法在解决空间几何图形的位置与度量关系时的差异性，根据不同的问题，能够准确的对方法进行选取.
【课时建议】
学习过程 学习任务 课时安排
整体感知 类比平面向量认识空间向量 3
探究建构 运用空间向量研究空间中的位置关系和度量关系 6
迁移应用 运用空间向量解决生活中度量问题 3
重构拓展 重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测 4
空间向量与立体几何
【学习目标】
研读文本，类比平面向量的性质，说出空间向量满足的性质，指出平面向量与空间向量的共性与差异；
理顺平面向量在解决平面图形中的应用，猜测空间向量能够解决哪些空间图形问题，建立空间向量与图形的关系；
借助具体实例，用数学语言表述生活中的现象，认识空间基本图形的位置关系和度量关系.
【学习任务】类比平面向量认识空间向量
--类比平面向量认识空间向量
我们已经学面向量的概念、基本运算，那么平面向量满足的性质是不是可以推广到空间中呢？
问题1.梳理所学过的平面向量的核心概念和性质，你认为空间向量应该具有哪些核心概念和性质
问题2.在平面向量单元的学习中，我们能利用平面向量解决哪些平面图形问题？以此猜测利用空间向量能解决空间几何中的哪些问题呢？
--对比平面向量与空间向量的基本运算
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何图形，首先要明确空间向量与平面向量的异同.
问题1.在平面向量的运算中，我们知道平面向量中，我们证明了平面向量满足交换律、结合律、分配律，那么在证明空间向量的这三种运算律时，与平面向量的证明过程完全一样吗？如果不一样有什么不同？
问题2.在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？如何建立空间直角坐标系？它与平面直角坐标系有什么差异吗？
问题3.平面向量基本定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是：存在唯一实数对，使.你认为空间向量基本定理的内容会是怎样的？
--认识线面之间的度量关系
标枪运动员投掷标枪时，标枪所在直线与地面所在平面既不平行也不垂直，二者呈现出一定夹角的形象；在用太阳能板吸收太阳光时，太阳能光板所在平面与地面所在平面呈现出一定夹角的形象；一天中太阳光线所在直线与地面所在平面呈现一定的夹角；从高空坠落的物体给人一种空间一点到地面所在平面距离越来越近的形象，楼房的层高体现两个平行平面距离的形象，地震时人们描述震源深度体现地下一点到地面距离的远近，等等.
问题1.生活中经常会遇到“把门开大点”，“把球抛高点”这样的语言，从数学的角度来分析，你认为可以用哪些量来衡量这种现象？
问题2.在立体几何初步中，我们学习了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，那么我们应该选择哪些量来体现它们之间有的度量关系呢？
【形成性评价1】
分析平面向量与空间向量的异同，梳理空间向量的性质和运用.
空间向量与立体几何
【学习目标】
1.类比平面向量基本定理解释空间向量基本定理，建立空间直角坐标系，刻画空间基本图形；
2.借助空间几何体找出空间角，总结向量法求空间角的思路，并比较几何法和向量法之间的异同；
3.依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力，运用它解决立体几何中的问题，说出向量的工具性作用是如何体现的.
【学习任务】利用向量探究空间中的位置关系和度量关系
--空间向量基本运算与基本定理
如图1-1-21所示，已知,且OADB-CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O=2.
问题1.设选择{}为一组基底，表示向量与；
问题2.设向量，类比平面向量的坐标表示，分别写出，，，，向量的模、夹角的坐标表示.
类比平面向量基本定理，归纳总结出空间向量基本定理.
--用空间向量判断空间中的位置关系
如图，在长方体中，已知AB=2,BC=1,=1,E、M、N分别是的中点.
问题1.类比平面向量的性质，建立合适的直角坐标系，写出空间中直线B与的方向向量，并用向量的方法证明B与不平行；
问题2.在问题1的前提下，用向量方法证明直线与B垂直;
问题3.在问题1的前提下，结合线面垂直判定定理，写出平面的法向量，并用向量方法证明直线MN//面.
归纳用空间向量的思想判断空间中的位置关系的方法与步骤.
---探究求空间角的方法
已知为直角梯形，垂直于平面，.
问题1.如图，选择恰当的方法，求异面直线SB与AD、SB与CD的夹角大小；
问题2.从图中找出SD与面SAB的夹角，并计算其余弦值；若是改为直线SD与面SBC的夹角，又该如何计算？
问题3.根据二面角的概念，从图中找出二面角的平面角.
问题4.用向量法求平面、平面所成的夹角的余弦值.该夹角与两平面的法向量的夹角有什么关系？
归纳总结求空间角的方法与步骤.
学习评测
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°.
（1）求PB与AC所成角的余弦值；
（2）求PD与平面PAC所成角的余弦值；
（3）求平面PDC与平面PAC所成角的余弦值．
--探究空间中的距离
如图所示，已知是平行六面体， 如何求的长度.
问题1.若是长方体，如何求的长度.
问题2.在问题1的条件上，如何求到直线的距离 如何求到直线的距离
问题3.在问题1的条件上，如何求到平面的距离 如何求到平面的距离
归纳用向量法求点、直线、平面之间的距离的方法.
学习评测
1.的两条直角边平面，，则到斜边的距离 .
已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为
A.10 B.3 C. D.
【形成性评价2】
评价标准1：说出用向量判断线线、线面、面面间的平行、垂直的方法及依据；
评价问题：
设，分别是平面的法向量，判断两个平面是否平行.
评价标准2：说出求空间角的方法及步骤
评价问题：（多选）正三棱柱中，，则（ ）
A．与底面的成角的正弦值为 B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为 D．与侧面的成角的正弦值为
评价标准3：说出求空间距离的方法及步骤
评价问题：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
空间向量与立体几何
【学习目标】
1.结合实例，能用向量语言表述直线、平面之间的夹角以及垂直平行关系，建立空间观念；
2.借助常见空间几何体找出空间角，总结向量法求空间角的思路，并比较总结几何法和向量法之间的差异；
3.通过研究生活中几何体的结构，抽象出几何图形，形成研究立体图形的基本思路.
【学习任务】 用向量解决立体几何中的综合问题
———探究空间中位置关系与度量关系的综合问题
如图，在三棱锥P ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)若直线PA与平面ABC所成的角为45°，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小．
实践生成
归纳总结求空间角的方法与步骤.
学习评测
1．如图，在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
——解决生活中的度量问题
1.阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓.如下图所示，取一个长方休，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
长方体 堑堵 堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E-ABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥E-FCD）称为鳖臑.
堑堵 阳马 鳖臑
(1)在阳马（四棱锥E-ABCD）中，连接BD，若AB=AD，证明:EC⊥BD;
(2)若AB=2,AD=2,EA=1,求鳖臑（三棱锥E-FCD）中二面角F-EC-D余弦值的大小．
2.石墨和金刚石都是由碳元素组成的，但是她们的性质差异很大，石墨是一种有金属光泽且不透明的细鳞片状固体，石墨很软；纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，金刚石是天然存在的最硬的物质.为什么会这样呢？这是因为组成这两种物质的碳原子在空间中的排列方式不同，图1所示是组成石墨的碳原子在空间排列的结构示意图，图2是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图.
事实上，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（如图3）.这就是说，图3中有
求直线与的夹角；
求二面角的大小.
学习评测
1.在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【形成性评价3】
评价标准1：会用向量解决立体几何中的综合问题
评价问题：如图，正方形所在的平面与平面垂直，是的交点，，且.
（1）求证：；
（2）求直线AB与平面所成角的大小；
（3）求二面角的大小.
评价标准2：会用向量解决立体几何中的动态问题
评价问题：已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：;
（2）当为何值时，面与面所成的二面角正弦值最小？
空间向量与立体几何
【学习目标】
1. 以“空间向量与立体几何”为核心，复盘学习过程，整体重构本单元思维导图；
2. 自主纠错，从必备知识、思维提升、学习过程等方面做好反思总结，总结空间向量解决问题的思路和方法；
3.进行二次过关，在具体情境中运用综合几何与向量法解决数学问题和实际问题.
【单元重构】
从以下两个重构方式中选取一种，进行重构。
方式一：再次研读文本，从平面向量与空间向量，立体几何的位置关系与度量关系之间的知识与逻辑、思想与方法、核心素养、与现实生活的关系等方面进行梳理，画出向量和立体几何的思维导图.
方式二：利用向量能够解决空间图形中的哪些问题 都有哪些解决方法，选择一到两个角度进行分析.
【单元拓展】
由本章内容可以看出，立体几何中的一些问题，即可以借助空间向量求解，也可以直接利用有关定义、判定定理、性质定理等求解.请结合必修中的立体几何内容，借助具体实例总结综合几何法与向量思想方法在解决几何问题中的优缺点，指出每一类方法的一般步骤（用实例加以说明）.
----探究空间向量的概念及运算
1．以下四个命题中正确的是
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示；
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向
量的另一组基底；
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0；
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
A．－4 B．－2 C．4 D．2
3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为
A．0 B. C. D.
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
6．如图，在大小为45°的二面角中，四边形都是边长为1的正方形，则两点间的距离是
A. B. C．1 D.
7. 设R，向量，且，则
8. 在空间四边形中，________.
9．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．
——探究立体图形中的位置与度量关系
10.如图所示，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，
证明：平面平面.
求直线与直线所成角的余弦值.
11．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
12．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：
(1)EF的长；
(2)折起后∠EOF的大小．
13.在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
形成性评价4
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构向量与立体几何单元结构，会进行向量的基本运算；
水平二 能用空间向量解决空间角和空间距离等有关的度量问题；
水平三 对比几何法与向量法的异同，选择合适的方法求解立体几何中的位置判断及度量问题.
【过关要求】
1.独立完成，限时100分钟，合理安排时间；
2.认真审题，分析问题蕴含的条件，注意书写步骤的规范，条理工整，注意数学语言的正确使用。
单元检测
一．单选题
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是
A． B． C． D．
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量 B．若存在使＝，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则α内任一向量
3．已知给出下列等式：
①； ②； ③
④.其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在平形六面体，其中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任一点和不共线的三点，若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值为 C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
9．已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
填空题
10．已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且，现用基底{}表示向量，有，则的值分别为 ．
11．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若是空间的一组基底，且，则四点共面；
④若向量是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
12．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
四．解答题
13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
14．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
15．如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
16．在正六棱柱中，.
（1）求到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长.