高二数学大单元整体学习学程《第六章 计数原理》学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学大单元整体学习学程《第六章 计数原理》学案（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 288.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 13:21:17 | ||
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文档简介
高二数学
大单元整体学习学程
计数原理
班级：
小组：
姓名：
计数原理
单元概述
【单元内容】
本单元的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理.本单元的学习，有助于理解两个基本计数原理，并运用计数原理探索排列、组合、二项式定理，进而解决生活中的计数问题.
【课标要求】
两个基本计数原理：通过实例，总结出分类加法计数原理、分布乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
排列与组合：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.
二项式定理：能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【单元目标】
1.从统计及概率的基本知识内容出发，说出两个计数原理的内容及异同，梳理出排列、组合、二项式定理与这两个计数原理的关系.
2.通过明确概念、公式、定理的形成过程，能利用计数原理推导排列数公式和组合数公式；借助两个计数原理和排列、组合公式得到二项式定理，能用计数原理的知识解决一些简单实际的问题.
3.归纳排列组合和二项式定理的性质，进一步认识两个计数原理，并能利用排列、组合解决现实生活中的计数问题以及计数原理在二项式定理中的应用.
4.围绕计数原理大概念，从两个计数原理、排列组合及二项式定理重构单元结构，运用计数原理解决一些实际综合问题．
【学习导航】
本单元分成四个阶段，整体感知中先研究分类计数原理如何分类，进而再研究两个基本计数原理的异同。探究建构中由两个基本计数原理得出排列与排列数、组合与组合数，再研究特例的二项式定理的公式。应用迁移中对探究建构中的两个问题再加深难度，研究实际问题中的排列组合综合应用及二项式定理的性质的研究应用。重构拓展中对整章节的知识进行归纳总结，查缺补漏。
【学时建议】
学习过程 学习任务 课时
整体感知 认识分类加法计数原理和分步乘法计数原理，说出两者的异同 2
探究建构 探究运用排列、组合解决计数问题，二项式定理的应用 2
应用迁移 探究计数原理在实际生活中的综合应用 2
重构拓展 重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测 2
【单元评价】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
用自己的话说出两种计数原理、排列组合的定义 能够区分排列和组合，能用合公式解决简单的数学问题，能写出二项式定理，并能计算区分二项式系数与项的系数 梳理出排列组合，二项式定理的知识体系，熟练运用排列组合公式解决实际问题，能在生活中建立模型，解决简单的实际问题
(
整体感知
)
计数原理
【学习目标】
1.从生活中的具体实例出发，指出分类的依据，归纳出事情应当如何分类.
2.比较分类加法计数原理、分步乘法计数原理两个计数原理，得出两者的异同.
3.通过比较分类加法计数原理、分步乘法计数原理的异同，并举例说明，总结在生活中的实例中这两类计数原理如何选择应用。
【学习任务】两个计数原理的异同
(
学习活动1
)——分类计数原理
问题1. 假期时， 如果赵雨晴同学准备参加 “社区类服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”必须在“环保宣讲”的前一天，“民俗调查”活动不能安排在周一．请你帮她安排一下本周的行程？
问题2：用、、、、这五个数字，组成无重复数字的四位奇数，末位数字可能有哪几种情况
问题3：为提高学生学习的数学的兴趣，XX中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.若至少有两位同学选择《数学史》，选择《数学史》的同学会有哪几种不同的组合？
【归纳生成】
以上问题在思考过程中运用了哪种计数方法？
(
学习活动2
)——初步认知两个计数原理
开学了，赵雨晴要从潍坊到北京，可以乘动车，也可以乘飞机.
问题1.一天里动车有3班，飞机有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从潍坊到北京会有多少种不同走法？
问题2．去上北京途中，赵雨晴想先乘火车到南昌拜访一位亲戚，第二天再从南昌乘飞机去北京，假设乘火车从潍坊到南昌，每天有火车3班，一天后乘飞机从南昌到北京，每天飞机有2班，那么她从潍坊到北京有多少种不同的走法？
【归纳生成】
用自己的话说出分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
【学习评测】
1.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法 [来源:学
科
2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
【形成性评价1】
请举例说明分类加法计数原理、分步乘法计数原理，并比较两者之间的异同，
(
探究建构
)
计数原理
——
【学习目标】
1.结合实例，从两个计数原理出发，得出排列、组合的定义，并能对比定义后得出两者的异同.
2.以两个基本计数原理为基础，探究排列和组合的运算，并能用计数原理推导排列数公式和组合数公式，解决排列组合的计数问题.
3.借助计数原理和组合数公式推导二项式定理，用二项式定理中的公式解决代数展开式的系数及相关问题.
【学习任务】探究运用排列、组合解决计数问题
(
学习活动3
)——探究排列组合的异同
在XX学校学生会主席团的选举中，（在校本化时可加入各自学校的名字）将在高一到高三三个年级选举学生代表作为学生会主席团，我们可以用以前的古典概型来计算，但是一个一个列举出来太麻烦了，我们如何运用计数原理中的内容来简化计算解决这个内容呢？接下来的学习我们将探究这一问题.
在XX学校学生会主席团的选举中，
（1）已知高一年级学生代表3名，高二年级学生代表5名，高三年级学生代表2名，如果在三个年级中选出2名代表作为学生会正主席和副主席，那么有多少种选择？
（2）现有高一年级学生代表3名，高二年级学生代表5名，高三年级学生代表2名，如果在三个年级中选出2名作为学生会主席团，那么有多少种选择？
问题1.上述情境中，两个问题的结果有什么区别？请先用以前学过的统计的知识来分析，再用计数原理中的内容思考哪些是排列问题？哪些是组合问题？
问题2.如何运用计数原理解决上述情境中学生会主席团问题？写出排列数、组合数的运算公式.
问题3. 根据以上结果，写出组合数公式与排列数公式的关系.
【学习评测】
1.某个兴趣小组的六位同学站成两排合影，前排两人，后排四人，共有几种不同的排队方法？如果小组长必须站前排，又有几种不同排法？
2.（1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
3. 有8名男生和5名女生，从中任选6人参与志愿者活动：
（1）有多少种不同的选法？
（2）其中有3名女生，有多少种不同的选法？
（3）其中有2名女生、4名男生，分别担任6中不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
(
学习活动4
)——探究二项式定理
星期几的问题：
（1）若今天是星期二，再过8天后的那一天是星期几？
（2）若今天是星期二，再过64天后的那一天是星期几？再过天后的那一天是星期几？
（3）若今天是星期二，再过天后的那一天是星期几？
以上的问题我们在实际生活中会经常遇到，在以前的学习中，我们是用除7余几，看余数的方法，但是针对数比较大的，甚至,我们又应当如何比较快速的解决星期几的问题，这就是接下来我们需要探究讨论的问题。
问题1：在上述问题中，
8＝7+1，
，
，
……
，
的展开式中是什么样的，每一项是如何构成的？
问题2：把上面的数字换成字母，二项式的展开式是怎么组成的，项数与次数有什么关系？字母的次数又是如何确定的 系数和次数如何确定的？思考如何用排列组合的内容解释呢？
问题3：总结出二项式的展开式的规律.
【归纳生成】
归纳的展开式，并写出通项.
【学习评测】
1.写出的展开式.
2.求展开式的第3项.
3.展开
【形成性评价2】
评价标准1：会用组合及组合公式求生活中的简单计数问题
学校开设了门选修课，要求每一个学生从中任意选择门，共有____种不同选法．
评价标准2：会用排列及排列公式求生活中的简单计数问题
2.由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数.（用数字作答）.
评价标准3：会用二项式公式求展开式中的具体的项
3.的展开式中的系数为________________．
(
应用迁移
)
计数原理
【学习目标】
1.借助271BAY资源，归纳排列数和组合数公式的运用，能利用排列、组合解决分组分配等问题.
2.用二项式定理区分展开式中系数与二项式系数之间的关系，能求展开式中的具体的系数、系数的最值问题等相关的问题.
3.应用二项式定理构建数学模型解决整除问题，总结计数原理在排列组合中的应用.
【学习任务】计数原理在排列组合中的应用
(
学习活动5
)——排列组合的综合应用
从5名同学中任选出3名同学和甲、乙两位老师一起排队照相，
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙两个必须排在两端的排法有多少种？
（4）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
（5）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【学习评测】
1. 将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
（1）要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1人分到丙组，共有多少种不同的分法？
（2）要求三个组的人数分别为3,2,1，共有多少种不同的分法？
2.如图所示，一个地区分成5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，有4种颜色可供选择，则不同的着色方案共有多少种？
(
学习活动6
)——二项式定理的综合应用
在二项式的展开式中
（1）求该二项展开式中第九项的二项式系数.
（2）求该二项展开式中含项的系数.
（3）求该二项展开式中二项式系数最大的项.
（4）求该二项展开式中二项式系数的和.
2.用二项式定理证明：能被100整除.
【学习评测】
1．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项，并说出展开式中哪一项的二项式系数最大.
2．设，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
3．（1）求的展开式中的常数项和含的项.
（2）求的展开式中含的项和含的项.
【形成性评价3】
评价标准1：会用组合及组合公式求生活中的综合问题
1．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为___________.
评价标准2：会用排列及排列公式求生活中的综合问题
2．某公司销售部派5人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每个城市都有人去，每人只去一个城市，且在这5人中甲、乙不去广州，则不同的分派方案共有______种.（用数字作答）
评价标准3：会用二项式定理的性质解决展开式中的系数、二项式系数等相关问题
3．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是___________.
(
重构拓展
)
计数原理
【学习目标】
以两个计数原理为核心，重构计数原理的知识体系，厘清排列与组合的异同.
综合运用计数原理、排列组合、二项式定理的定义和性质解决排列组合及二项式的计算问题.
3.对计数原理、排列组合、二项式定理的定义和性质进行二次过关，通过解决实际综合问题总结求排列、组合数和二项式展开式指定项的规律方法.
【学习任务】运用计数原理解决实际综合问题
【单元重构】
以下有两种重构方案，二选一完成其中一项：
重构方案一：从计数原理、排列、组合、二项式定理的概念、异同及解决实际问题等方面层层深入，再次阅读《计数原理》的课本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们的逻辑体系，重构思维导图.
重构方案二：应用计数原理的问题梳理出在实际生活中应用的具体类别，挑两类具体说明计数原理的做法.
【单元拓展】
假设你所在的班级共有30人，那么你们班至少有两个人生日相同的概率是多少？因为每个人的生日有可能是365天（为了简单起见，假设一年只有365天）中的任意一天，这样一来，只有人数超过365时，我们才能百分之百地肯定至少有两个人的生日相同，因此感觉上前述问题中的概率应该不会太大，不过，令人惊讶的是，利用排列组合的知识可以算出，30个人中，至少有两个人生日相同的概率约为71%！（你会计算吗？）
事实上，当人群的人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率就超过50%了！而当人数达到41时，概率就超过90%了！这一结论与人们的直一生日论可以在目常生活中找到很多实例例如，2014世界杯中，有32支球队，每支球队恰好就有23名球员。如果生日悖论是真的，可能会有半数球队拥有同生日球员从国际足联2014年6月10日给出的官方数据中可以看到，瑞士、伊朗、法国、阿根廷和韩国的代表队各有两对生日相同的球员；西班牙、哥伦比亚、美国、喀麦隆、澳大利亚、波黑、俄罗斯、荷兰、巴西、洪都拉斯和尼日利亚的代表队各有两名球员生日相同。也就是说，32支球队中，正好有16支球队至少有两人生日相同，所占比例正好为50%！
也许大家还是会对生日悖论心存疑惑，因为在日常生活中，我们每个人很难遇到一个与自己生日相同的人。再看以下事实：指定一年中的一天，253个人中，才有50%的概率能找到一个人的生日在指定的那天；要想使概率提高到80%，需要587个人才行，因此，如果你真遇到了一个跟你生日相同的人，那你们确实是“有缘”的。需要注意的是，这里涉及的问题与生日悖论涉及的问题并不相同.
【单元过关】
(
基础过关
)
——排列组合及二项式的简单计算
1.若A＝6C，则m等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.27 C.13 D.10
3.男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A.2人或3人 B.3人或4人
C.3人 D.4人
4.三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( )
A.18种 B.24种 C.45种 D.90种
5.某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为( )
A.8 B.15 C.243 D.125
6.已知C＝C，则x＝________.
7.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.则Grace不参与时不同的搜寻方案有________种；共有________种不同的方案.
8.已知(＋)n展开式中的倒数第3项的系数为45，求：
(1)含x3的项；
(2)系数最大的项.
9.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
(
应用过关
)——排列组合及二项式的应用
1.若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( )
A.CC B.CC
C.C－C D.C－C
2.将0，1，2，3，4，5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A.40个 B.120个 C.360个 D.720个
3.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A.CA B.CA C.CA D.CA
4.的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )
A.－120 B.－100 C.100 D.120
5.(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是________.
6.已知的展开式中x3的系数为，则a＝________，x－3的系数为________，常数项为________.
7.已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.
(1)求m，n的值；
(2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数.
8. 为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务.
(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
(3)若选中的四个航天员被分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一☆ 对计数原理的核心内容进行梳理
水平二☆☆ 能熟练运用两个计数原理和排列组合公式
水平三☆☆☆ 灵活运用两个计数原理、排列组合公式和二项式定理解决综合问题
单元过关检测：（时间：120分钟，满分：120分）
【过关要求】
1.独立完成，科学、合理安排时间；
2.认真审题，灵活运用公式及概念计算，解决实际问题；
3.注意过程步骤规范书写，条理工整，左对齐，做最好的自己。
第Ⅰ卷
一、选择题
1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的情况有多少种( )
A.16 B.18 C.14 D.12
2.已知集合则B中所含元素的
个数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D.10
3.某小型剧场要安排个歌舞类节目, 个小品类节目和个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
4.在的展开式中,含项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 39种
7.已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
8.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中3盆兰花不能放在同一条直线上,则不同的摆放方法有( )
A.2680种 B.4320种 C.4920种 D.5140种
9.五种不同商品在货架上排成一排,其中、两种必须连排, 而、两种不能连排,则不同排法种数为( )
A.12 B.20 C.24 D.48
10.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )
A.6,8 B.6,6 C.5,2 D.6,2
11.某校开设类课门, 类课门,一位同学从中选了门课,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.15种 B.30种 C.45种 D.90种
12.在的展开式中,记项的系数为,则 ( )
A.45 B.60 C.120 D.210
二、填空题
13.若的展开式中的系数是,则实数__________.
14.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案)
15.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供种植，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有________ 种
16.若,求的值为_______
三、解答题
17.用这六个数字:
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数
（2）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数
18.已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式中的一次项的系数．
19.2019年高中毕业前夕,7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法
（1）两名女生必须相邻而站;
（2）4名男生互不相邻;
（3）若4名男生身高都不等,按从高到矮的顺序站;
20.已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8:3.
（1）求的值.
（2）求展开式中项的系数.
（3）计算式子的值.
21.编号为的个小球放在如图所示的个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且球不能放在1,2号盒子里, 球必须放在与球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种
22.已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为.
（1）求展开式的所有有理项(指数为整数) .
（2）求展开式中项的系数.
大单元整体学习学程
计数原理
班级：
小组：
姓名：
计数原理
单元概述
【单元内容】
本单元的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理.本单元的学习，有助于理解两个基本计数原理，并运用计数原理探索排列、组合、二项式定理，进而解决生活中的计数问题.
【课标要求】
两个基本计数原理：通过实例，总结出分类加法计数原理、分布乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
排列与组合：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.
二项式定理：能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【单元目标】
1.从统计及概率的基本知识内容出发，说出两个计数原理的内容及异同，梳理出排列、组合、二项式定理与这两个计数原理的关系.
2.通过明确概念、公式、定理的形成过程，能利用计数原理推导排列数公式和组合数公式；借助两个计数原理和排列、组合公式得到二项式定理，能用计数原理的知识解决一些简单实际的问题.
3.归纳排列组合和二项式定理的性质，进一步认识两个计数原理，并能利用排列、组合解决现实生活中的计数问题以及计数原理在二项式定理中的应用.
4.围绕计数原理大概念，从两个计数原理、排列组合及二项式定理重构单元结构，运用计数原理解决一些实际综合问题．
【学习导航】
本单元分成四个阶段，整体感知中先研究分类计数原理如何分类，进而再研究两个基本计数原理的异同。探究建构中由两个基本计数原理得出排列与排列数、组合与组合数，再研究特例的二项式定理的公式。应用迁移中对探究建构中的两个问题再加深难度，研究实际问题中的排列组合综合应用及二项式定理的性质的研究应用。重构拓展中对整章节的知识进行归纳总结，查缺补漏。
【学时建议】
学习过程 学习任务 课时
整体感知 认识分类加法计数原理和分步乘法计数原理，说出两者的异同 2
探究建构 探究运用排列、组合解决计数问题，二项式定理的应用 2
应用迁移 探究计数原理在实际生活中的综合应用 2
重构拓展 重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测 2
【单元评价】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
用自己的话说出两种计数原理、排列组合的定义 能够区分排列和组合，能用合公式解决简单的数学问题，能写出二项式定理，并能计算区分二项式系数与项的系数 梳理出排列组合，二项式定理的知识体系，熟练运用排列组合公式解决实际问题，能在生活中建立模型，解决简单的实际问题
(
整体感知
)
计数原理
【学习目标】
1.从生活中的具体实例出发，指出分类的依据，归纳出事情应当如何分类.
2.比较分类加法计数原理、分步乘法计数原理两个计数原理，得出两者的异同.
3.通过比较分类加法计数原理、分步乘法计数原理的异同，并举例说明，总结在生活中的实例中这两类计数原理如何选择应用。
【学习任务】两个计数原理的异同
(
学习活动1
)——分类计数原理
问题1. 假期时， 如果赵雨晴同学准备参加 “社区类服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”必须在“环保宣讲”的前一天，“民俗调查”活动不能安排在周一．请你帮她安排一下本周的行程？
问题2：用、、、、这五个数字，组成无重复数字的四位奇数，末位数字可能有哪几种情况
问题3：为提高学生学习的数学的兴趣，XX中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.若至少有两位同学选择《数学史》，选择《数学史》的同学会有哪几种不同的组合？
【归纳生成】
以上问题在思考过程中运用了哪种计数方法？
(
学习活动2
)——初步认知两个计数原理
开学了，赵雨晴要从潍坊到北京，可以乘动车，也可以乘飞机.
问题1.一天里动车有3班，飞机有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从潍坊到北京会有多少种不同走法？
问题2．去上北京途中，赵雨晴想先乘火车到南昌拜访一位亲戚，第二天再从南昌乘飞机去北京，假设乘火车从潍坊到南昌，每天有火车3班，一天后乘飞机从南昌到北京，每天飞机有2班，那么她从潍坊到北京有多少种不同的走法？
【归纳生成】
用自己的话说出分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
【学习评测】
1.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法 [来源:学
科
2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
【形成性评价1】
请举例说明分类加法计数原理、分步乘法计数原理，并比较两者之间的异同，
(
探究建构
)
计数原理
——
【学习目标】
1.结合实例，从两个计数原理出发，得出排列、组合的定义，并能对比定义后得出两者的异同.
2.以两个基本计数原理为基础，探究排列和组合的运算，并能用计数原理推导排列数公式和组合数公式，解决排列组合的计数问题.
3.借助计数原理和组合数公式推导二项式定理，用二项式定理中的公式解决代数展开式的系数及相关问题.
【学习任务】探究运用排列、组合解决计数问题
(
学习活动3
)——探究排列组合的异同
在XX学校学生会主席团的选举中，（在校本化时可加入各自学校的名字）将在高一到高三三个年级选举学生代表作为学生会主席团，我们可以用以前的古典概型来计算，但是一个一个列举出来太麻烦了，我们如何运用计数原理中的内容来简化计算解决这个内容呢？接下来的学习我们将探究这一问题.
在XX学校学生会主席团的选举中，
（1）已知高一年级学生代表3名，高二年级学生代表5名，高三年级学生代表2名，如果在三个年级中选出2名代表作为学生会正主席和副主席，那么有多少种选择？
（2）现有高一年级学生代表3名，高二年级学生代表5名，高三年级学生代表2名，如果在三个年级中选出2名作为学生会主席团，那么有多少种选择？
问题1.上述情境中，两个问题的结果有什么区别？请先用以前学过的统计的知识来分析，再用计数原理中的内容思考哪些是排列问题？哪些是组合问题？
问题2.如何运用计数原理解决上述情境中学生会主席团问题？写出排列数、组合数的运算公式.
问题3. 根据以上结果，写出组合数公式与排列数公式的关系.
【学习评测】
1.某个兴趣小组的六位同学站成两排合影，前排两人，后排四人，共有几种不同的排队方法？如果小组长必须站前排，又有几种不同排法？
2.（1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
3. 有8名男生和5名女生，从中任选6人参与志愿者活动：
（1）有多少种不同的选法？
（2）其中有3名女生，有多少种不同的选法？
（3）其中有2名女生、4名男生，分别担任6中不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
(
学习活动4
)——探究二项式定理
星期几的问题：
（1）若今天是星期二，再过8天后的那一天是星期几？
（2）若今天是星期二，再过64天后的那一天是星期几？再过天后的那一天是星期几？
（3）若今天是星期二，再过天后的那一天是星期几？
以上的问题我们在实际生活中会经常遇到，在以前的学习中，我们是用除7余几，看余数的方法，但是针对数比较大的，甚至,我们又应当如何比较快速的解决星期几的问题，这就是接下来我们需要探究讨论的问题。
问题1：在上述问题中，
8＝7+1，
，
，
……
，
的展开式中是什么样的，每一项是如何构成的？
问题2：把上面的数字换成字母，二项式的展开式是怎么组成的，项数与次数有什么关系？字母的次数又是如何确定的 系数和次数如何确定的？思考如何用排列组合的内容解释呢？
问题3：总结出二项式的展开式的规律.
【归纳生成】
归纳的展开式，并写出通项.
【学习评测】
1.写出的展开式.
2.求展开式的第3项.
3.展开
【形成性评价2】
评价标准1：会用组合及组合公式求生活中的简单计数问题
学校开设了门选修课，要求每一个学生从中任意选择门，共有____种不同选法．
评价标准2：会用排列及排列公式求生活中的简单计数问题
2.由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数.（用数字作答）.
评价标准3：会用二项式公式求展开式中的具体的项
3.的展开式中的系数为________________．
(
应用迁移
)
计数原理
【学习目标】
1.借助271BAY资源，归纳排列数和组合数公式的运用，能利用排列、组合解决分组分配等问题.
2.用二项式定理区分展开式中系数与二项式系数之间的关系，能求展开式中的具体的系数、系数的最值问题等相关的问题.
3.应用二项式定理构建数学模型解决整除问题，总结计数原理在排列组合中的应用.
【学习任务】计数原理在排列组合中的应用
(
学习活动5
)——排列组合的综合应用
从5名同学中任选出3名同学和甲、乙两位老师一起排队照相，
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙两个必须排在两端的排法有多少种？
（4）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
（5）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【学习评测】
1. 将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
（1）要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1人分到丙组，共有多少种不同的分法？
（2）要求三个组的人数分别为3,2,1，共有多少种不同的分法？
2.如图所示，一个地区分成5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，有4种颜色可供选择，则不同的着色方案共有多少种？
(
学习活动6
)——二项式定理的综合应用
在二项式的展开式中
（1）求该二项展开式中第九项的二项式系数.
（2）求该二项展开式中含项的系数.
（3）求该二项展开式中二项式系数最大的项.
（4）求该二项展开式中二项式系数的和.
2.用二项式定理证明：能被100整除.
【学习评测】
1．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项，并说出展开式中哪一项的二项式系数最大.
2．设，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
3．（1）求的展开式中的常数项和含的项.
（2）求的展开式中含的项和含的项.
【形成性评价3】
评价标准1：会用组合及组合公式求生活中的综合问题
1．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为___________.
评价标准2：会用排列及排列公式求生活中的综合问题
2．某公司销售部派5人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每个城市都有人去，每人只去一个城市，且在这5人中甲、乙不去广州，则不同的分派方案共有______种.（用数字作答）
评价标准3：会用二项式定理的性质解决展开式中的系数、二项式系数等相关问题
3．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是___________.
(
重构拓展
)
计数原理
【学习目标】
以两个计数原理为核心，重构计数原理的知识体系，厘清排列与组合的异同.
综合运用计数原理、排列组合、二项式定理的定义和性质解决排列组合及二项式的计算问题.
3.对计数原理、排列组合、二项式定理的定义和性质进行二次过关，通过解决实际综合问题总结求排列、组合数和二项式展开式指定项的规律方法.
【学习任务】运用计数原理解决实际综合问题
【单元重构】
以下有两种重构方案，二选一完成其中一项：
重构方案一：从计数原理、排列、组合、二项式定理的概念、异同及解决实际问题等方面层层深入，再次阅读《计数原理》的课本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们的逻辑体系，重构思维导图.
重构方案二：应用计数原理的问题梳理出在实际生活中应用的具体类别，挑两类具体说明计数原理的做法.
【单元拓展】
假设你所在的班级共有30人，那么你们班至少有两个人生日相同的概率是多少？因为每个人的生日有可能是365天（为了简单起见，假设一年只有365天）中的任意一天，这样一来，只有人数超过365时，我们才能百分之百地肯定至少有两个人的生日相同，因此感觉上前述问题中的概率应该不会太大，不过，令人惊讶的是，利用排列组合的知识可以算出，30个人中，至少有两个人生日相同的概率约为71%！（你会计算吗？）
事实上，当人群的人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率就超过50%了！而当人数达到41时，概率就超过90%了！这一结论与人们的直一生日论可以在目常生活中找到很多实例例如，2014世界杯中，有32支球队，每支球队恰好就有23名球员。如果生日悖论是真的，可能会有半数球队拥有同生日球员从国际足联2014年6月10日给出的官方数据中可以看到，瑞士、伊朗、法国、阿根廷和韩国的代表队各有两对生日相同的球员；西班牙、哥伦比亚、美国、喀麦隆、澳大利亚、波黑、俄罗斯、荷兰、巴西、洪都拉斯和尼日利亚的代表队各有两名球员生日相同。也就是说，32支球队中，正好有16支球队至少有两人生日相同，所占比例正好为50%！
也许大家还是会对生日悖论心存疑惑，因为在日常生活中，我们每个人很难遇到一个与自己生日相同的人。再看以下事实：指定一年中的一天，253个人中，才有50%的概率能找到一个人的生日在指定的那天；要想使概率提高到80%，需要587个人才行，因此，如果你真遇到了一个跟你生日相同的人，那你们确实是“有缘”的。需要注意的是，这里涉及的问题与生日悖论涉及的问题并不相同.
【单元过关】
(
基础过关
)
——排列组合及二项式的简单计算
1.若A＝6C，则m等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.27 C.13 D.10
3.男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A.2人或3人 B.3人或4人
C.3人 D.4人
4.三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( )
A.18种 B.24种 C.45种 D.90种
5.某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为( )
A.8 B.15 C.243 D.125
6.已知C＝C，则x＝________.
7.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.则Grace不参与时不同的搜寻方案有________种；共有________种不同的方案.
8.已知(＋)n展开式中的倒数第3项的系数为45，求：
(1)含x3的项；
(2)系数最大的项.
9.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
(
应用过关
)——排列组合及二项式的应用
1.若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( )
A.CC B.CC
C.C－C D.C－C
2.将0，1，2，3，4，5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A.40个 B.120个 C.360个 D.720个
3.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A.CA B.CA C.CA D.CA
4.的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )
A.－120 B.－100 C.100 D.120
5.(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是________.
6.已知的展开式中x3的系数为，则a＝________，x－3的系数为________，常数项为________.
7.已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.
(1)求m，n的值；
(2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数.
8. 为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务.
(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
(3)若选中的四个航天员被分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一☆ 对计数原理的核心内容进行梳理
水平二☆☆ 能熟练运用两个计数原理和排列组合公式
水平三☆☆☆ 灵活运用两个计数原理、排列组合公式和二项式定理解决综合问题
单元过关检测：（时间：120分钟，满分：120分）
【过关要求】
1.独立完成，科学、合理安排时间；
2.认真审题，灵活运用公式及概念计算，解决实际问题；
3.注意过程步骤规范书写，条理工整，左对齐，做最好的自己。
第Ⅰ卷
一、选择题
1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的情况有多少种( )
A.16 B.18 C.14 D.12
2.已知集合则B中所含元素的
个数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D.10
3.某小型剧场要安排个歌舞类节目, 个小品类节目和个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
4.在的展开式中,含项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 39种
7.已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
8.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中3盆兰花不能放在同一条直线上,则不同的摆放方法有( )
A.2680种 B.4320种 C.4920种 D.5140种
9.五种不同商品在货架上排成一排,其中、两种必须连排, 而、两种不能连排,则不同排法种数为( )
A.12 B.20 C.24 D.48
10.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )
A.6,8 B.6,6 C.5,2 D.6,2
11.某校开设类课门, 类课门,一位同学从中选了门课,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.15种 B.30种 C.45种 D.90种
12.在的展开式中,记项的系数为,则 ( )
A.45 B.60 C.120 D.210
二、填空题
13.若的展开式中的系数是,则实数__________.
14.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案)
15.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供种植，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有________ 种
16.若,求的值为_______
三、解答题
17.用这六个数字:
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数
（2）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数
18.已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式中的一次项的系数．
19.2019年高中毕业前夕,7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法
（1）两名女生必须相邻而站;
（2）4名男生互不相邻;
（3）若4名男生身高都不等,按从高到矮的顺序站;
20.已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8:3.
（1）求的值.
（2）求展开式中项的系数.
（3）计算式子的值.
21.编号为的个小球放在如图所示的个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且球不能放在1,2号盒子里, 球必须放在与球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种
22.已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为.
（1）求展开式的所有有理项(指数为整数) .
（2）求展开式中项的系数.