第二十章 专题05数据的分析 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 八年级数学下册人教版

专题05 数据的分析
【5个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】
考点一：平均数
1．算术平均数：对于个数据，用表示这组数据的算术平均数．
2．加权平均数：对于个数据，他们的权重分别是，则用表示这组数据的加权平均数．
权重一半用比或者百分数来表示．
【考试题型1】计算算术平均数
【解题方法】根据算术平均数的公式计算即可．
1．每天登录“学习强国”进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励．李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的平均数是 ．
星期 一 二 三 四 五 六 日
收入（点）
2．某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．7
【解题方法】根据加权平均数的公式计算即可．注意每一个数据的权重不能弄错，不能混淆．
3．小明参加校园歌手比赛80分，音乐知识100分，综合知识90分，学校按唱功：音乐知识：综合知识6：2：2的比例计算总成绩为，小明的总成绩是（　　）
A．86 B．88 C．87 D．93
考点二：中位数与众数
1．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
2．众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数．
求一组数据的中位数
【解题方法】根据中位数的定义求出即可．注意一定要对数据进行排序，也要注意数据个数，奇数去中间数，偶数取中间两数的平均数．若数据分组时，观察计算中间的数据处在哪一组．
4．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（ ）
A．9分 B．8分 C．7分 D．6分
5．若一组数据6，x，2，3，4的平均数是4，则这组数据的中位数为 ．
求一组数据的众数
【解题方法】根据定义求解即可．
6．小红随机调查了50名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如表，则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是（　　）
问卷得分（单位：分） 65 70 75 80 85
人数（单位：人） 1 15 15 16 3
A．16，75 B．80，75 C．75，80 D．16，15
7．某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9，9，，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
考点三：数据的波动情况
1．数据的方差：若有个数据，他们的平均数为，则用来表示这组数据的方差．
2．方差的意义：方差可以表示这组数据的波动情况，方差越大，这这组数据越波动，方差越小，这这组数据越稳定．
3．标准差：求方差的算术平方根即为一组数据的标准差．
4．极差：一组数据的最大值与最小值的差即为一组数据的极差．
求一组数据的极差
【解题方法】根据极差的定义计算．
8．成都市某一周内每天的最高气温为：6，8，，，7，8，8（单位：℃），则这组数据的极差为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．一组数据的极差为5，则对于另一组数据的极差为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．无法确定
求一组数据的方程
【解题方法】根据方差的计算公式计算．注意方差的计算公式中每一个字母所代表的意义．
10．数据2，4，6，8，的方差是（　　）
A．2 B． C．8 D．
11．在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（ ）
A．7 B．14 C．10 D．17
方差意义
【解题方法】根据方差的意义判断数据的稳定性，从而做出相应的选择．
12．甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
考点四：平均数与方差的变化规律
若一组数据的平均数是，方差是．则：
①数据的平均数为．方差为．
②数据的平均数为，方差为．
③数据的平均数为，方差为．
求新数据的平均数与方差
【解题方法】根据平均数与方差的变化规律求新数据的平均数与方差．
13．若一组数据，，，…，的平均数为5，方差为4，则对于数据，，，…，，平均数和方差分别是（ ）
A．2，1 B．2，4 C．5，4 D．5，1
考点五：统计量的选择
平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好
选择合适的统计量
【解题方法】根据统计量的特点以及题目的实际要求做出选择．
14．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
15．在今年“双”来临之际，某品牌鞋专柜为更好的备货，特整理了前期销售这款鞋子尺码的平均数、中位数、众数、方差，其中作为销售主管最关心的数据是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
一．算术平均数（共2小题）
16．某校组织了以“我爱我的国”为主题的演讲比赛，如表是小智同学的得分情况，则他得分的平均数是（　　）
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
A． B． C． D．
17．一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
二．加权平均数（共2小题）
18．思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：
成绩 7 8 9 10
频数 1 3 4 2
则该组测试成绩的平均数为（　　）（单位：分）
A．8.2 B．8.3 C．8.7 D．8.9
19．一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：
应试者 听 说 读 写
甲
乙
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，那么甲的得分为 分，乙的得分为 分．
三．中位数（共2小题）
20．近年来山西省全力推进“两山七河一流域”生态保护和修复治理，绿色已成为美丽山西的亮丽底色．表是山西省部分城市的森林覆盖率统计结果：
城市 朔州 长治 晋城 大同 阳泉 运城 晋中
森林覆盖率 19.75% 26.42% 34.83% 20.10% 21.92% 29.19% 17.95%
这七座城市森林覆盖率的中位数是( )
A．24.17% B．21.92% C．20.10% D．21.01%
21．温州银泰商场某店一天中卖出某种品牌的休闲鞋16双，它们的尺码与销售量如表所示：
鞋的尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27
销售量/双 2 3 4 4 3
则这16双鞋的尺码组成的数据中，中位数（ ）
A． B． C． D．
四．众数（共2小题）
22．某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表：
课外书籍（本） 1 2 3 4 5
人数（人） 10 10 20 5 5
对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ）
A．众数和平均数相等 B．中位数和平均数相等
C．中位数和众数相等 D．中位数、众数和平均数都相等
23．下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示，则小组学员出勤次数的众数和中位数分别是（　　）
出勤次数 4 5 6 7 8
学员人数 2 6 5 4 3
A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，6
五．极差（共2小题）
24．已知一组数据：，这组数据的平均数和极差分别是( )
A．0，8 B．，7 C．0，7 D．，8
25．如图，曲线表示一只蝴蝶某次飞行高度与飞行时间的关系图，那么本次飞行的高度极差为（ ）
A． B． C． D．
六．方差（共5小题）
26．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
27．在九年级体育素质测试中，某小组5名同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，则被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 90 92 89 ▅ 88 ▅ 90
A．91，2 B．91，10 C．92，2 D．92，10
28．某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：分） m 90 91 88
方差（单位：分2） n 12.5 14.5 11
根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以（ ）
A． B．
C． D．
29．已知一组数据的方差为，则（　　）
A．这组数据有10个
B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数
D．每个数据加3，方差的值增加3
30．水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
七．统计量的选择（共3小题）
31．校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩，他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差
32．某同学对六个数据35，46，4，46，37，52进行统计分析，发现第三个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
33．在2022年9月“中国共青团成立一百周年”知识竞赛比赛中，某校15名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前8名进入决赛．如果小丽知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小丽还需知道这15名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据平均数的定义进行计算即可求解，平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，掌握平均数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可．
【详解】∵数据的平均数是6，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】利用加权平均数即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：
(分)．
故选：A．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，解题的关键是在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
4．C
【详解】分析: 根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最中间位置的数就是第四个，从而得出答案.
详解: 将这组数据按从小到大排列为：6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，故中位数为 ：7分，
故答案为C.
点睛: 本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5．4
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【详解】∵数据6，x，2，3，4的平均数是4，
∴，
解得：=5，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，5，6，
则中位数为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．B
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．
【详解】解：∵总人数为人，
∴中位数为第和人的得分的平均值，
∴中位数为，
∵得分为分的人数为人，最多，
∴众数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．A
【分析】根据众数的定义首先确定出这组数的众数是9，再根据众数与平均数恰好相等，求出x的值．
【详解】解：根据众数的定义可得这组数据的众数是9，
∵这组数据的众数与平均数恰好相等，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数，掌握众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，求出x的值是本题的关键．
8．B
【分析】极差是一组数据里面最大数据与最小数据的差，以此来求解即可．
【详解】解：最大值为，最小值为6；
；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了极差的计算，极差反映了一组数据变化范围的大小，掌握极差的概念是求解的关键．
9．C
【分析】设一组数据是从小到大排列的，结合题意可得极差；由于数据极差为，代入上述结论即可求解．
【详解】解：设一组数据是从小到大排列的．
∵的极差是5，
∴，
∴极差为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是极差，需明确极差就是最大值与最小值的差．
10．C
【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：平均数为：
故选C
【点睛】本题考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．
11．A
【分析】根据方差公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴该样本容量为，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差公式，样本的容量，理解方差公式是解题的关键．
12．B
【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
13．B
【分析】根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得．
【详解】解：∵数据的平均数为5，
∴数据，，，…，的平均数是；
∵数据的方差为4，
∴数据，，，…，的方差不变，也是4，
故选：B．
【点睛】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
14．B
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．
15．C
【分析】
销售主管关注的是这款鞋子相应尺码的销量问题，因此销售主管关注的是众数．
【详解】
由于众数是数据中出现最多的数，故销售主管最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了用众数做决策，熟知众数的定义是解题的关键．
16．B
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可．
【详解】解：小智同学的平均分为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平均数，算术平均数：对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数．
17．B
【分析】根据平均数的计算公式即可求出a．
【详解】解：由题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．
18．C
【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该组测试成绩的平均数．
【详解】解：由表格可得，
该组测试成绩的平均数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查加权平均数、频数分布表，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
19．
【分析】根据加权平均数的计算方法分别计算出甲、乙的加权平均数即可得出答案．
【详解】解：∵听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，
∴甲的综合成绩：；
乙的综合成绩：．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解本题的关键．
20．B
【分析】把7个数据排序，最中间（即第4）的数就是中位数.
【详解】解：按从小到大排列数据：17.95%，19.75%，20.10%，21.92%，26.42%，29.19%，34.83%，
由于这组数据有奇数个，中间的数据是21.92%，所以这组数据的中位数是21.92%．
故选：B.
【点睛】本题考查了求中位数，排序并找出最中间的一个数或两个数是解题的关键.
21．B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】从小到大排列此数据为：25、25、25.5、25.5、25.5、26、26、26、26、26.5、26.5、26.5、26.5、27、27、27，
中间两个数是26和26，
则中位数是26．
故选B．
【点睛】此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
22．C
【分析】利用数据处理中各参考量的定义求解判断即可．
【详解】众数是指出现最多的数，为3；
中位数是指大小排序后位于中间的一位数或中间两位数的平均值，为3；
平均数为总数除以总量的值，为；
中位数和众数相等，只有选项C正确．
故选C．
【点睛】本题考查数据处理中中位数、众数、平均数的定义和算法，熟悉数据参考量的算法和正确的计算是解题的关系．
23．A
【详解】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据出现次数最多的是5，
所以众数为5，
这组数据共20个，其中第10、11个数据分别为6、6，
所以这组数据的中位数为，
故选：A．
【点睛】本题考查众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
24．A
【分析】根据平均数和极差的计算方法，即可求解．
【详解】解：由题意得，
这组数据的平均数是，
∵．
∴这组数据的最大值是4，最小值是．
∴这组数据的极差是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求平均数和极差，熟练掌握平均数和极差的计算方法是解题的关键．
25．C
【分析】根据图像可得：当时，飞行高度的最小值；当时，飞行高度的最大值，再根据极差的公式：极差＝最大值－最小值即可得到答案．
【详解】解：根据图像可得：
当时，飞行高度的最小值，
当时，飞行高度的最大值，
∴本次飞行的高度极差为．
故选：C．
【点睛】本题考查根据函数图像获取信息，并利用信息解决问题．从函数图像中获取信息是解题的关键．也考查了极差及有理数的减法的应用．
26．D
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
【详解】∵=＞=，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选D．
【点睛】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
27．A
【分析】
设编号4的得分为x，根据求平均数的公式可求出x的值．再根据求方差的公式求出方差即可．
【详解】解：设编号4的得分为x，
则根据题意有，
解得：．
∴．
故被遮盖的两个数据依次是91，2．
故选A．
【点睛】本题考查已知平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数和方差的公式是解题关键．
28．B
【分析】根据平均数的大小，方差的大小比较得出答案．
【详解】成绩最好且发挥最稳定的学生说明平均数最大，且方差最小，
∴，
符合条件的只有B选项的
故选：B．
【点睛】本题考查平均数、方差，理解“平均数反应一组数据的平均水平，而方差则反应一组数据的离散程度，方差越小，该组数据越稳定”是正确判断的前提．
29．C
【分析】根据方差的公式可以得到平均数．
【详解】解：由于这组数据的方差是，得：
这组数据有5个，故选项A不符合题意；
这组数据的平均数是10，故选项B不符合题意；
方差是一个非负数，说法正确，故选项C符合题意；
每个数据加3，方差的值不变，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查方差的定义与意义∶一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
30．C
【分析】根据方差的意义求解，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，
∴原有橘子的重量的方差＞该顾客选购的橘子的重量的方差，而平均数无法比较．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；是解本题的关键．
31．B
【分析】由于共有15名运动员，取前8名参加决赛，根据中位数的意义分析即可．
【详解】由于15名运动员的成绩不同，把成绩从小到大排序后，中位数及中位数之前的数共有8个．故只要知道自己的成绩和中位数就可以确定是否进入决赛．
故选：B
【点睛】本题考查了中位数的意义，解题的关键是掌握中位数的意义．
32．D
【分析】利用平均数、中位数、方差、众数的定义对各项进行判断．
【详解】解：这组数据的平均数、中位数、方差都与被涂污数字有关，而这组数的众数为46，与被涂污数字无关．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、方差、众数的定义，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的定义是解题关键．
33．C
【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
答案第1页，共2页
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