第十八章 第1课时平行四边形 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 八年级数学下册人教版

第1课时——平行四边形
知识点一：平行四边形的概念与性质：
1. 平行四边形的概念：
有两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形．用符号“ ”来表示．平行四边形ABCD表示为“ ABCD”.
2. 平行四边形的性质：
①边的性质：平行四边形的两组对边分别 平行且相等 （平行由定义证明，相等由
连接对角线证明全等可得）．
②角的性质：平行四边形的邻角 互补 ，对角 相等 ．（由平行与邻角转换可得）
③对角线的性质：平行四边形的对角线 相互平分 （连接两条对角线证明全等可得）．
④平行四边形的面积计算：等于 底×高 ．
⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形．
⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形．直线与对边的交点到对角
线的交点的距离相等．
【类型一：对性质的理解判断】
1．如图，的对角线、交于O，则下列结论一定成立的是（ 　）
A． B． C． D．
2．下面性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．邻边相等
C．对边平行 D．对角线互相平分
3．关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等
【类型二：利用性质进行长度与面积的计算】
4．如图，在中，平分∠ABC交于点F，平分交于点E，若则的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．12 D．10
6．如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，在中，的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则的周长为（ ）．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．48 B．24 C．36 D．40
11．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，在平行四边形中，，于E，于F，相交于H，与的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【类型三：利用性质进行坐标计算】
13． 的顶点坐标分别是为A，B，C，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，将平移，使点A移动到点，则平移后C点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
知识点二：平行四边形的判定：
如图：判定四边形ABCD是平行四边形：
1. 利用边判定：
①利用一组对边判定：一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形．
符号语言：若AB CD或AD BC
则四边形ABCD是平行四边形
②利用两组对边判定：两组对边分别 平行 或分别 相等 的四边形是平行四边形．
符号语言：若AB ∥ CD，AD ∥ BC或AB ＝ CD，AD ＝ BC
则四边形ABCD是平行四边形
2. 利用角判定：
两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形．
符号语言：若∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD
则四边形ABCD是平行四边形
3. 利用对角线判定：
对角线 相互平分 的四边形是平行四边形．
符号语言：若OA ＝ OC，OB ＝ OD
则四边形ABCD是平行四边形
【类型一：判定条件的判定】
17．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
18．如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
20．四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：
①，；②，；
③，；④，．
一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【类型二：平行四边形的判定证明】
21．如图，已知E、F是四边形的对角线上的两点，，，．
(1)求证：；
(2)四边形是平行四边形吗？请说明理由．
22．如图，四边形的对角线AC，BD交于点O，，，求证：四边形是平行四边形．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
24．如图，点、在上，且，，，连接、．
求证：四边形是平行四边形．
【类型三：平行四边形的判定与性质】
25．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
(1)求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
26．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
27．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
28．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若与交于点G，且，，，求的面积．
29．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，，，求的长．
知识点三：三角形的中位线定理：
1. 三角形中位线的定义：
连接三角形任意两边的 中点 得到的线段叫做三角形的中位线．
2. 中位线定理：
三角形的中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 ．
几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC
【类型一：利用中位线定理求值】
30．如图，在中，，点D是的中点，过点D作交于点E，则 ．
31．如图，点D、E是AB、AC的中点，若，，的周长为30，则 ．
32．已知的周长为18，点D、E、F分别为三条边的中点，则的周长为（　　）
A．9 B．
C．18 D．4
33．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
34．如图，中，，，点E是的中点，若平分，，线段的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
知识点四：平行线间的距离：
1. 平行线间的距离：
作一组平行线的垂线，两垂足之间的线段的长度叫做平行线间的距离．
2. 性质：
平行线间的距离 处处相等 ．
【类型一：利用平行线间的距离求值】
35．如图，直线，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段AD的长度 D．线段CE的长度
36．如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
37．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形的性质可直接判断求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
故D选项成立；B，A，C选项错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可．
【详解】因为平行四边形的对角相等，邻角互补，所以A正确，不符合题意；
因为平行四边形的对边平行且相等，邻边无法判断，所以B不正确，符合题意；C正确，不符合题意；
因为平行四边形的对角线互相平分，所以D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
3．A
【分析】由平行四边形的性质即可求得答案．
【详解】解：平行四边形的性质为对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，
∴选项B、C、D不符合题意；平行四边形的对角线不一定相等，
∴选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，即平行四边形的性质对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
4．A
【分析】先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点F，平分交于点E，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
5．D
【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，设交于点O．
由作图可知：平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴
∴
在中，．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的判定是解题的关键．
6．C
【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长．
【详解】∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
7．D
【分析】的平分线分成和的两条线段，设的平分线交BC于E点，有两种可能，或，证明是等腰三角形，分别求周长．
【详解】解：设的平分线交于E点，
又，
．而．
当时，，
的周长；
当时，，
的周长．
所以的周长为或．
故选：D．
【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
8．B
【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
平行四边形ABCD中，OE⊥AC
垂直平分，
AE=4，DE=3，AB=5，
，，
，，
，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
9．C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB=8，AC=12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OA=AC=6，BD=2OB，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB==10，
∴BD=2OB=20．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】设BC＝x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：设BC＝x，
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴CD＝20﹣x，
∵平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝12×4＝48．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解公式，根据面积列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
11．D
【分析】先证明是等边三角形，可得，根据平行四边形的性质求出，可得，即可求出，①正确；根据，求出，计算即可得出②正确；根据，，求出可得③正确；根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得④正确；根据，可得⑤正确．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴平行四边形的周长，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，故③正确；
④在中，
∵，，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴E为中点，故⑤正确；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
12．B
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则与不全等．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，故②正确；
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
∴与不全等，故④错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．C
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质进行分析作答．
【详解】解：∵四边形的平行四边形，
∴，且．
∴，即，则．
，即，则．
∴点D的坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质．
14．C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，只要计算出BC的长度，就可由A点坐标推出D点坐标．
【详解】解：∵B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2）
∴BC=2﹣（﹣2）=2+2=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
15．D
【分析】根据坐标以及平行四边形的性质，先求得点的坐标，根据使点A移动到点，即向左平移1个单位向上平移1个单位，据此即可求得平移后C点的对应点的坐标
【详解】解：A，D
四边形是平行四边形，
B的坐标为，
∵将平移，点A移动到点，即向左平移1个单位向上平移1个单位，
∴平移后C点的对应点的坐标为
故选D
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平移方式求点的坐标，根据题意找到平移方式是解题的关键．
16．C
【分析】过B作，先利用平行四边形的性质求出的长度，再求出、的长度，然后求得的长，即可得出结论．
【详解】解：过B作，交x轴于点F，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，，
∴，
∴，
∴点B的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．B
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
18．D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴四边形可以是等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
19．C
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
②③不能证明△ADO≌△CBO，则AD与CB不一定相等，不能判定出四边形ABCD为平行四边形；
②④不能证明△ADO≌△CBO，则AD与CB不一定相等，不能判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
综上，有①②、①③、①④、③④共4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形有判定和性质，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
20．C
【分析】根据平行四边形的判定逐个判断即可．
【详解】解：①，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
②∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
③，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意，
故共有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键．
21．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）求出，根据证出两三角形全等即可；
（2）根据三角形全等得出，，推出，根据平行四边形的判定推出即可．
【详解】（1）证明∵，
∴，则，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，
理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有，以及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．见解析
【分析】证明，得到OD=OB，即可证得结论．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23．见解析
【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DEBC，DE＝BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．
【详解】∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
又∵DECF，
∴四边形DCFE是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
24．见解析
【分析】证明，得，，则，再由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
25．(1)①见解析；②见解析
(2)16°
【分析】（1）①由AD//BC，可得∠OAE＝∠OCF，然后根据ASA即可证明△AOE≌△COF；②同理可证△AOD≌△COB，由全等三角形的性质可得AD＝CB，又AD//BC，则可证四边形ABCD为平行四边形；
（2）先根据平行线的性质可得∠EBD=∠DBF=32°，∠ABC＝180° ∠BAD=80°，由线段垂直平分线的性质得BE=DE，则∠EBD=∠EDB=32°，然后根据∠ABE＝∠ABC ∠EBD ∠DBF即可求得答案.
【详解】（1）证明：①∵AD//BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②∵AD//BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵AD//BC，∠DBF=32°
∴∠EDB＝∠DBF=32°，
由（1）②得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
∴EF是BD的垂直平分线
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB=32°，
∵AD//BC，∠BAD=100°
∴∠ABC＝180° ∠BAD=180° 100°=80°，
∴∠ABE＝∠ABC ∠EBD ∠DBF＝80° 32° 32°=16°
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据AD∥BC，可得，根据，DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠AED=∠CFB=90°，结合AE＝CF即可证明，根据全等三角形的性质可得，即可得证；
（2）勾股定理可得,证明四边形是平行四边形，可得，继而可得，勾股定理求得，在中勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD=CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2） DE⊥AC，BF⊥AC，
，
，
∠DAH＝∠GBA，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
中，，
，
在中，，
，
解得．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵等边和等边，
∴，，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
过G作于H，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别证明，得出结论；
（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过作，
∴，
∴，
∵垂直平分，则,
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
30．2
【分析】证明，由相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
31．5
【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴，，
∵的周长为30，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握三角形两边中点所连线段平行且等于第三边的一半，是解题的关键．
32．A
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据三角形周长公式计算即可得到答案．
【详解】解：∵点D，E，F分别为三边的中点，
∴，，，
∵的周长为18，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
33．B
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
34．B
【分析】延长交于F，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【详解】解：如图，延长交于F，
平分，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
， ，
，
又点E为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等的性质和判定，中位线的判定和性质，解决本题的关键是延长构造全等三角形．
35．B
【分析】直接根据平行线间的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵直线a//b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间距离．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离的定义成为解答本题的关键．
36．B
【分析】根据平行线间的距离进行计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，，
则直线a与c的距离为5 2＝3（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查平行线间的距离，理解平行线间的距离的意义是正确解答的前提．
37．C
【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论．
【详解】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．
答案第1页，共2页
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