第十八章 第2课时矩形 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）八年级数学下册人教版

第2课时——矩形
知识点一：矩形的定义与性质：
1. 矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2. 矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．
特殊性质：
②边的特殊性：邻边相互垂直．
即：AB⊥BC，AB⊥AD
③角的特殊性：四个角都是90°．
即：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
④对角线的特殊性：对角线相等．即对角线相互平分且相等．
即：AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD．
由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是等腰三角形．
⑤面积：等于任意一组邻边的乘积．
⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形．
【类型一：利用矩形的性质求值】
1．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
3．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（　　）
A．22 B．24 C．25 D．26
4．如图，矩形的对角线，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
6．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝ °．
7．（多选）如图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．是等边三角形
【类型二：利用矩形的性质求坐标】
8．在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　）
A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)
C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)
10．如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，原点O为其对角线BD的中点，轴，点C的坐标为，将沿BD方向平移得到，当点在y轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是( )
A． B． C． D．
知识点二：矩形的判定：
1.直接判定：
有三个角（四个角）是直角的四边形是矩形．
符号语言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC
∴四边形ABCD是矩形
2.利用平行四边形判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形．
符号语言：∵在 ABCD中，∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形．
符号语言：∵在 ABCD中，AD=BC
∴四边形ABCD是矩形
【类型一：矩形判定条件的判定】
13．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD=AB D．∠BAD＝∠ADC
15．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
16．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD
【类型二：矩形的证明】
17．如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形．
18．如图，在中，，点D、E分别是线段的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求证：四边形为矩形．
19．如图，已知点M，O，N在同一直线上，，分别是与的平分线，，，垂足分别为B，C，求证：四边形是矩形．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
(1)求证：△ABD≌△DEA；
(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【类型三：矩形的判定与证明】
21．如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求ABCD的面积．
22．如图，已知在菱形中，对角线与交于点O，延长到点E，使，延长到点F，使，顺次连接点B，E，F，D，若，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的周长为多少．
23．如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

24．如图，在中，＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且，．
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．
25．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，则 ．
知识点三：直角三角形的斜边上的中线：
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ．
【类型一：利用直角三角形斜边的中心求值】
26．如图，为的中位线，点F在上，且，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．3 D．4.5
27．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
28．如图，点O是矩形的对角线AC的中点，交于点M，若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
29．如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ）
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
31．如图，在四边形中，，，是的中点，，则的面积为（ ）．
A． B．16 C．8 D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．A
【分析】由可得点F为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∵，
∴，
∴点F为中点，
又∵点E为边的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
3．D
【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
则，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∴，
∴的最小值为26，
即的最小值为26，
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
4．C
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得 ，再根据邻角互补求出的度数，然后得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解
【详解】解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，判定出是等边三角形是解题的关键．
5．##50度
【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．
6．40
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，根据矩形的性质得到∠DCA=∠EAC=20°，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．ABD
【分析】通过证明是等边三角形，可得，故选项B、D符合题意；由等腰三角形的性质可求，故选项A符合题意，选项C不符合题意，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，故选项B、D符合题意；
∴，
∴，故选项A符合题意，
∴，故选项C不符合题意；
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是等边三角形是解题的关键．
8．C
【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∵，
∴点的横坐标与点相同，为，
点的纵坐标与点相同，为，
∴点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．
9．D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4 a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
【详解】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4 a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4 a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4 a）2＋9＝2a2 8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2 8a＋26＝20，
∴（a 3）（a 1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4 a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4 a）2＋9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
10．C
【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
由题意可知：
∵点的横坐标为
∴点的横坐标为
∵点在轴上
∴点的坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
11．D
【分析】首先根据矩形的对称性求出点A的坐标为（-2，1），点D的坐标为（2，1），点B的坐标为（-2，-1），再由当点A平移到y轴上的时，点B平移到了原点O，得到△ABD的平移方式为，向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，由此求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，O为BD的中点，AB与y轴平行，
∴点O是矩形ABCD的对称中心，x轴，y轴都是矩形ABCD的对称轴，
∴点A的坐标为（-2，1），点D的坐标为（2，1），点B的坐标为（-2，-1），
∵当点A平移到y轴上的时，点B平移到了原点O，
∴△ABD的平移方式为，向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴点的坐标为（2+2,1+1）即（4，2），
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形变化—平移，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的对称性．
12．A
【分析】由点是的中点，可得出点D的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点P的坐标
【详解】解：过点P作PM⊥OD于点M，
∵长方形的顶点的坐标分别为，点是的中点，
∴点D（5,0）
∵，PM⊥OD，
∴OM＝DM
即点M（2.5,0）
∴点P（2.5,4），
故选：A
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
13．B
【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定．
【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为，
∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴此测量方法不可行，不合题意；
B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，
∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，
∴此测量方法可行，符合题意；
C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，
∴此测量方法不可行，不合题意；
D.测量四边形画框的的四边是否相等，
∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形，
∴此测量方法不可行，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理．
14．C
【分析】直接根据矩形的判定进行解答.
【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形，
A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误；
B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误；
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确；
D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别.
15．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确，不符合题意；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
16．D
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
17．见解析
【分析】根据题意可证明四边形是平行四边形，根据角平分线可得，，根据平行四边形得，可得，则，根据三角形内角和定理得，即可得．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明全等三角形，得到边等，再利用一组对边平行且相等判断平行四边形；
（2）先证明平行四边形，然后再加一个内角来判定矩形即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵E是线段的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，以及矩形的判定，解题关键是选择合适此题的条件来判定平行四边形和矩形．
19．见解析
【分析】先根据角平分线的定义得出，再根据，，得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，分别是与的平分线，
∴，，
∵点M，O，N在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ABD≌△DEA；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，∠B=∠AED，BD=AE，
∴△ABD≌△DEA（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BDAE，BD=AE，
∴AECD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定方法．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论；
（2）先求得∠ADE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可求AE的长度，再由勾股定理求得DE的长，则可得BF的长度，再根据含30度角的直角三角形的性质可求AF的长度，由勾股定理求得AB的长，即可求得 ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DCAB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2，DE＝，
由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，
∴AF＝2BF=4，
∴AB＝，
∴ ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，运用含30度角的直角三角形解决问题是本题的关键．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由三角形中位线定理得，则，得，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出的长，再由矩形的性质得，．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可知，是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形的周长＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【详解】（1）∵CE∥BD　　DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD=　　∠ACE=90°
∴AE==
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形；
（2）连接CD，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠C＝90°，
∴∠DFC＝90°＝∠C，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF，
∴当CD有最小值时，EF的值最小，
∵当CD⊥AB时，CD有最小值，
∴CD⊥AB时，EF有最小值，
∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，
∴CD的最小值为5，
∴EF的最小值为5．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）证是等腰直角三角形，得，则，过D作于点M，则是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵点E为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：如图，过点作，交于，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理，掌握判定方法及性质是解题的关键．
26．B
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出的长，进而求出的长．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴，
∵为的位线，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27．D
【分析】根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
28．D
【分析】由三角形相似的性质可得，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且点O是矩形的对角线的中点，，
∴，
在中，，
∵在中，点O是斜边上的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求出的长度是本题的关键．
29．C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到，再根据垂线段最短即可得出结论．
【详解】解：∵，E是BD的中点，
∴．
又∵于点B，
∴AE是斜线段，BE是垂线段．
∴AE>BE．
∴AE>CE．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和垂线段最短的定理，正确理解并应用这些知识点是解题关键．
30．B
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解
【详解】∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键
31．C
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到AE=BE=DE=CE=4，推出∠BAE=∠ABE，∠CBE=∠BCE，得到∠AEC=，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴AE=BE=DE=CE=4，
∴∠BAE=∠ABE，∠CBE=∠BCE，
∵∠ABE+∠CBE=，
∴∠AEC=∠BAE+∠ABE+∠CBE+∠BCE=，
∴,
故选：C．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等边对等角的性质，熟记直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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