第十八章 第3课时菱形 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）八年级数学下册人教版

第3课时—菱形
知识点一：菱形的定义与性质：
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2.菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质．
特殊性：
①边的特殊性：四条边都相等．
即：AB=BC=CD=AD
②对角线的特殊性：对角线相互垂直且平分每一组对角．
即：AC⊥BD，且∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，∠ADB＝∠
CDB＝∠ABD＝∠CBD
③面积计算：等于对角线乘积的一半．即．
④对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形
【类型一：利用菱形的性质求值】
1．如图，在菱形ABCD中，，则（ ）
A．120° B．125° C．130° D．150°
2．如图，四边形是菱形，于点H，若，则等于（ ）
A． B． C．5 D．4
3．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
4．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的周长为（ ）
A．8 B． C．6 D．4
5．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．
A．48 B．24 C．12 D．6
7．如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④；其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【类型二：利用菱形的性质求坐标】
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B（-1，0）和C（2，0）在x轴上，若顶点A，D中有一个顶点在y轴的正半轴上，则第四个点的的坐标为（ ）
A．(-1，) B．(3，)
C．（-3，）或（3，） D．（3，）或（-3，）
11．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26
13．如图所示，在坐标系中放置一菱形，已知，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2020次，点的落点一次为，……，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
知识点二：菱形的判定：
1.直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形．
符号语言：∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形
2.平行四边形判定：
①邻边相等的平行四边形是菱形．
符号语言：∵在 ABCD中，AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
②对角线相互垂直的平行四边形是菱形．
符号语言：∵在 ABCD中，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
【类型一：菱形判定条件的判定】
14．如图，在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
16．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【类型二：菱形的证明】
17．如图，的两条对角线、相交于点，，，，求证：四边形是菱形.
18．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接求证：四边形 是菱形
19．如图，在中，，点D是斜边的中点，，．
求证：四边形CDBE是菱形．
20．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，且AE⊥AC，．求证：四边形ABCD是菱形．
【类型三：菱形的判定与性质】
21．如图，在中，，E，D分别是的中点，延长到点C，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
22．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．
23．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，与相交于点O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
24．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
25．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF=∠DAE，连接BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
(1)求证：BD=EF；
(2)若∠GHF=∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)在（2）的条件下，当∠BAF=∠DAE＝90°时，连接BE，若BF=4，求△BEF的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，，
∴∠DAB＝，
∴∠B＝180°－∠DAB＝180°－30°＝150°，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键．
2．B
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
设与交于点O，
∴，
则，
∴，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用面积法求边上的高是解题的关键．
3．A
【分析】先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°-∠D=180°-110°=70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠1=∠BAD=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
4．A
【分析】根据菱形的性质得到，，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
5．C
【分析】由菱形的性质得出，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得．
6．C
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积即可解答．
【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称、菱形的性质等知识点，判得阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
7．B
【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，由三角形的内角和为180°就可以求出∠BGD的值；得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG；在直角三角形GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等；由三角形的面积公式系可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．
∵∠A=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形．
∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴∠BFD=∠DEB=90°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴∠BGD=180°-30°-30°=120°，
故①正确；
∵∠GDB=∠GBD=30°，
∴DG=BG，
在△CDG和△CBG中，
，
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC=∠BGC=60°．
∵∠BFD=∠DEB=90°，，，
∴∠GDC=∠GBC=90°，
∴∠GCD=30°，
∴CG=2GD=GD+GD，
∴CG=DG+BG．
故②正确．
∵△GBC为直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF与△CGB不全等．
故③错误；
∵sinA=
∴
∵=AD BF
=AB×
=，
故④正确；
∴正确的有：①②④共三个．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．
8．B
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.
【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAE=60°，
又∵AE=BF，
∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；
∵∠B=∠CAE=60°，
则在△ADO和△ACH中，
∠OAD=60°=∠CAB，
∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，
∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；
∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴∠BAG=30°，BG=，
∴AG==,
∴菱形ABCD的面积为：==，故④错误；
故正确的结论有2个，
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.
9．C
【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案．
【详解】解：连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，
，轴，
，
，
点的坐标为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直．
10．C
【分析】当点A在y轴的正半轴上，由菱形的性质可得BC=AB=AD=3，根据勾股定理可得AO的长，即可得D的坐标；当点D在y轴的正半轴上，由菱形的性质可得BC=CD=AD=3，根据勾股定理可得OD的长，即可得A的坐标．
【详解】解：如下图，当点A在y轴的正半轴上，
∵B（-1，0），C（2，0），
∴BC=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=AD=3，
∴，
∴D（3，）；
如下图，当点D在y轴的正半轴上，
∵B（-1，0），C（2，0），
∴BC=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=3，
∴，
∴A（-3，），
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是注意两种情况．
11．D
【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标．
【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°，
∵，∠AEO=90°
∴，
∴
∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°，
∴，即
解得：．
∴点A坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴菱形的周长=4AB=20，
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
13．B
【分析】连接，由菱形的性质证明和都是等边三角形，可知每翻转6次菱形向前翻转一周，则点对应点的纵坐标与翻转前的纵坐标相同，横坐标增加4个单位长度，而菱形从原来的位置向前翻转4次时，点在轴上且横坐标增加2个单位长度，于是可由计算出菱形向前翻转的整数周数和余下要翻转的次数，从而求出的坐标．
【详解】解：如下图，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∵菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，
∴每翻转6次菱形向前翻转一周，
∴点对应点的纵坐标与翻转前的纵坐标相同，而横坐标增加4个单位长度，
∵（周）……4（次），
∴连续翻转2020次时菱形向前翻转336周又向前翻转4次，
∵菱形从原来的位置向前翻转4次，点在轴上且横坐标增加2个单位长度，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、坐标与图形旋转规律等知识，结合图形找到点在翻转过程中坐标的变化规律是解答本题的关键．
14．A
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
故选A．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，能够熟练运用判定定理是解题关键．
15．C
【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形此，故选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
D、，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．D
【分析】可根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，然后进行选择．
【详解】解：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形，且对角线互相垂直的平行四边形为菱形，
所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选D．
【点睛】本题主要考查了对菱形定义和判定的理解，解题关键是会举反例来证明选项错误
17．见详解
【分析】由平行四边形的性质得，根据勾股定理，可得即可证明；
【详解】解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
【点睛】本题主要考查菱形的证明、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
18．见解析
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAG＝∠FBG，由AAS证明△AGE≌△BGF，得出AE＝BF，由AD∥BC，可证四边形AFBE是平行四边形，由EF⊥AB，即可得出结论．
【详解】证明:四边形是平行四边形，
是的垂直平分线，
在和中，
又
四边形是平行四边形
是的垂直平分线
是菱形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】先证四边形CDBE是平行四边形，然后证邻边相等即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵在中，，点D是斜边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟悉菱形的判定方法是解题关键．
20．证明见解析
【分析】先证明AB=CD，再判断四边形ABCD是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线的性质判断AD=CD，从而可得结论．
【详解】证明： DE＝CD，
，
四边形ABCD是平行四边形，
AE⊥AC，DE＝CD，
四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练的判定四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，，，再证明，可得结论；
（2）先求解，由，可得，，再求解，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵中，，
∴，，
∵E，D分别是的中点，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，而，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵，菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的面积的计算，熟练的掌握菱形的判定方法是解本题的关键．
22．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论；
（2）利用菱形的性质和勾股定理得出，则EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴平行四边形四边形AFCE是菱形，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，是等边三角形，
∴,
∴，
∴EF＝2OE＝2，
∴四边形AFCE的面积为：AC×EF＝×2×2＝2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，再证，然后证是等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为20，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即的长为4．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中心等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明∠BAD=∠FAE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△FAE，即可得出答案；
（2）求出∠ABD=∠GBF，证明AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（3）延长EA交BC于点M，得EM⊥AD，求出，再根据三角形面积公式求解即可得到结论．
【详解】（1）∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，即∠BAD=∠FAE，
∵AB=AF，AD=AE，
∴△BAD≌△FAE，
∴BD=EF；
（2）∵∠GHF=∠BFG，且∠GFH+∠GHF+∠HGF=180°，∠GBF+∠BFG+∠HGF=180°，
∴∠GFH=∠GBF，
由（1）可知∠GFH=∠ABD，
∴∠ABD=∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠GBF，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）延长EA交BC于点M，
∵∠DAE＝90°，
∴EM⊥AD，
由（2）可知四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴EM⊥BF，
∵AB=AF，BF=4，
∴BM=FM=2，
∵∠BAF＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
答案第1页，共2页
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