第十八章 第4课时正方形 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）八年级数学下册人教版

第4课时——正方形
知识点一：正方形的概念与性质：
1. 正方形的定义：
四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形叫做正方形．
所以正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
2. 正方形的性质：
具有矩形的一切性质，同时具有菱形的一切性质．
①边的性质：四条边都 相等 ．AB = BC = CD = AD
②边的性质：四个角都是 直角 ．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝ 90° ．
③对角线的性质：对角线相互 平分 且 垂直 ．AC 垂直平分 BD且BD 垂直平分 AC．
对角线 相等 ．AC ＝ BD
对角线 平分 每一组对角．即∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠DCA ＝ ∠BCA，∠ADB ＝ ∠CDB ＝ ∠ABD ＝ ∠CBD．
△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 等腰直角三角形 ．
④面积计算：可用计算平行四边形、矩形、菱形的面积的方法计算．
⑤对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【类型一：利用正方形的性质计算】
1．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线l过正方形的顶点A，于点E，于点F．若，则的长为 ．
4．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，点E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（　　）．
A．2 B．3 C．2 D．
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：
①△COE≌△DOF；
②△OGE∽△FGC；
③DF2＋BE2＝OG OC；
④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【类型二：利用正方形的性质计算坐标】
10．如图，在平面直角坐标系中，点A是y轴上一动点，点B是x轴上一定点，点B的坐标为，四边形ABCD是以AB为边的正方形，设点A的纵坐标为a，则点C的坐标可表示为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，正方形的边长等于4，且边与轴正半轴夹角为，点O为坐标原点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图所示点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），则点D的对应点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（3，-1） C．（2，-3） D．（1，-3）
14．如图，在平面直角坐标系中，面积为5的正方形的顶点A落在x轴的正半轴上，且到原点的距离为1个单位长度．若以A为圆心，AD的长为半径画弧，和x轴交于点E，点E在点A左侧，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点二：正方形的判定：
1. 直接判定：
四条边相等，四个角也相等的四边形是正方形．
符号语言：∵AB = BC = CD = AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝ 90° ．
∴四边形ABCD是正方形
2. 利用平行四边形、矩形以及菱形判定：
先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形．
①平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°．
符号语言：在 ABCD中，
∵AB＝BC，且∠ABC=90°
∴ ABCD是正方形
②平行四边形＋邻边相等＋对角线相等．
符号语言： ABCD中
∵AB＝BC且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
③平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且∠ABC＝90°
∴ ABCD是正方形
④平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等．
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形．
【类型一：正方形判定条件的判定】
16．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（ ）
A．， B．
C．，， D．，
17．在菱形中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是（ ）
A． B．
C． D．平分
18．有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
19．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【类型二：正方形的证明】
20．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形；
21．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点在对角线上，且．求证：四边形是正方形．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F．请猜测：四边形CFDE是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
23．如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，分别延长，到点E，F，使，依次连接B，F，D，E各点．
(1)求证：；
(2)若，则当　　°时，四边形是正方形．
24．如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，过点作，，交于点．
(1)判断四边形是什么特殊的四边形，并证明；
(2)直接写出当再满足什么条件时，四边形是正方形．
25．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线，交于点E，交于点F．
(1)试判定四边形的形状，并证明你的结论；
(2)满足什么条件时，四边形是正方形．
26．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(2)当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD：
(2)当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
(3)在满足（2）的条件下，当△ABC满足条件__________时，四边形BECD是正方形．
28．如图，已知的对角线AC，BD相交于点O，．
(1)如果______，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
(2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
【类型三：正方形的判定与性质】
29．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且，
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求四边形的周长．
30．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且，AF与DE相交于点G．
(1)求证：矩形ABCD为正方形
(2)若，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
31．如图，在中，，的平分线交于点D，，．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
32．如图，在中，，是边上的中线，以为边作平行四边形，连接分别与相交于点．
(1)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由．
(2)在（1）条件下，若，求的长．
33．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值；
(3)若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．
34．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
(1)∠EAF＝　 　（直接写结果）．
(2)①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】现根据菱形的性质得出AD=DC，再由ADC是等边三角形即可计算得出结果
【详解】解：连接AC
图1中，四边形ABCD是菱形
∴AD=DC
∵∠D=60°
∴ADC是等边三角形
∴AD=DC=AC=16cm
∵图2为图1改变形状得到
∴正方形的边长为16cm
故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形具有不稳定性，灵活理解题意是关键
2．A
【分析】连接AC，根据正方形的面积为，可得，再由菱形的面积为，得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，
∵正方形的面积为，
∴ ，
解得： ，
∵菱形的面积为，
∴ ，
即 ，
解得： ．
故选： A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
3．6
【分析】利用证明得到，则．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
4．B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．D
【分析】连接，由正方形的性质求得，进而求得与，再由勾股定理求得，最后根据轴对称性质求得．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形关于对称，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是由正方形的性质与勾股定理求得的长度．
6．A
【分析】如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决．
【详解】解：如图，把绕A逆时针旋转90°得到，
∴，
∴，
∴，
∴G、B、E三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
7．B
【分析】
如图，过点F作于点H，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，证明，得到，求出（负值舍去），则 ，，即可得到．
【详解】
解：如图，过点F作于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G为EF的中点，
∴，
∴
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴ ，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
8．C
【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
【详解】解：①在正方形ABCD中，OC=OD，∠COD=90°，∠ODC=∠OCB=45°，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE=∠EOF-∠COF=90°-∠COF，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②由①全等可得OE=OF，
∴∠OEF=∠OCF=45°，∠OGE=∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，
故④正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，
∴DF2+BE2=EF2，
∵∠OCE=∠OEG=45°，∠EOG=∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴OG OC=EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG OC，
故③不正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
9．D
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，
如图，延长交的延长线于，
∵，
∴∠AHE=∠BCE，
∵点是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵已证明，
∴是Rt△HGD斜边的中线，
∴，
∴，
∵，，
∴．故③正确；
根据可得，
若成立，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在Rt△BEC中，有，
∵，
∴，
显然，
∴假设不成立，
∴，故④错误，
故正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
10．B
【分析】过点C作轴，证明，可得，，根据已知求出点C纵坐标，点E横坐标，问题可解．
【详解】解：如图，过点C作轴交点为，
，
，
，，
，
，，
点A的纵坐标为a，
，
，
，
点C纵坐标为，
，
点E在x轴上，
点E横坐标为，
；
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标中图形顶点坐标问题，应用全等三角形的判定及性质，解题关键是构造全等三角形，正确表示线段的长度．
11．B
【分析】根据、的互相垂直平分线，且，即有，问题得解．
【详解】解：连接 ，交于点，
，
，
四边形是正方形，
、的互相垂直平分线，且，
，，
∴点坐标，
故选：B．
【点睛】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．
12．C
【分析】过C作轴，根据正方形和边与轴正半轴夹角为，得到，已知正方形边长为4，利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半以及勾股定理，求出、长，即可得到点C坐标．
【详解】过C作轴，
四边形为正方形，
，
边与轴正半轴夹角为，
，
，
，
点C坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形性质，图形与坐标，勾股定理以及直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握直角三角形中角的性质是解题关键．
13．A
【分析】过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，通过证明△ABE≌△ADF，得到AE和AF的长度，即可求出点D的坐标．
【详解】解：过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠1+∠EAB=90°，
∵BE⊥y轴，
∴∠2+∠EAB=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中，
∠1=∠2，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE≌△DAF，
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4）
∴AF=BE=2，OA=3，OE=4
∴OF=OA-AF=3-2=1，AE=OE-OA=4-3=1
∴DF=AE=1，
∴D（1，1）
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，熟练掌握相关内容构造出全等三角形是解题的关键．
14．B
【分析】先求得正方形的边长，即AE的长，再利用坐标与图形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为5，
∴AD=，
由题意得AE=AD=，
∵A（1，0），
∴点E的坐标是（1-，0），
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确求得正方形的边长是解题的关键．
15．B
【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
16．A
【分析】根据正方形的判定定理即可求解．
【详解】A项，由，可得四边形ABCD为矩形，
由，可知矩形ABCD为正方形，故A项符合题意；
B项，，不能判定四边形ABCD为正方形，故B项不符合题意；
C项，，，，四边形ABCD为菱形，故C项不符合题意；
D项，，，不能判定四边形ABCD为正方形，故D项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理.
17．B
【分析】根据四边形ABCD是菱形，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．
【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC=90°，即AB⊥BC；
故添加的条件为：AC=BD或∠ABC=90°或AB⊥BC．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
18．C
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法逐一判断即可解答．
【详解】解：A．因为四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是菱形，
当①时，菱形是正方形，
故A不符合题意；
B．因为四边形是平行四边形，
当①时，平行四边形是矩形，
当③时，矩形是正方形，
故B不符合题意；
C．因为四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是菱形，
当③时，菱形还是菱形，
故C符合题意；
D．因为四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是菱形，
当④时，菱形是正方形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．
19．B
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可．
【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
20．见解析
【分析】由推导，利用有一组邻边相等的矩形是正方形解题．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【点睛】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
21．证明见解析
【分析】由菱形的性质可知，，由，可得，可证四边形是菱形；则，，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴菱形是正方形．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．正方形，证明见解析
【分析】求出∠ACB=∠CFD=∠CED=90°，根据矩形的判定得出四边形CFDE是矩形，根据角平分线的性质得出DF=DE，即可证明．
【详解】解：四边形CFDE是正方形，
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠ACB＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF=DE,
∴四边形CFDE是正方形．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的判定，角平分线的性质等知识点，解此题的关键能综合运用知识点进行推理．
23．(1)见解析
(2)25
【分析】（1）根据菱形的性质可得，则，即可得到；
（2）先根据，，证明四边形是平行四边形，再根据得到四边形是菱形，只要，即得四边形BFDE为正方形；
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：若，则当时，四边形是正方形．理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，， ，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
要使四边形是正方形，则，
∴，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、正方形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据直角三角形上的中线得出，根据菱形的判定得出即可；
（2）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
证明：，，
四边形是平行四边形．
，是边上的中线，
，
平行四边形是菱形；
（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)当时，四边形是正方形
【分析】（1）首先根据，，可证得，四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义，可证得，，据此即可证得结论；
（2）根据正方形的判定定理，即可解答．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
证明：，，
，，，
∴四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，
理由：由（1）得四边形是菱形，
∴当，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握和运用特殊平行四边形的判定定理是解决本题的关键．
26．(1)菱形，证明见解析
(2)AD=2AB
【分析】（1）由N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，可得NE∥CM，NE=CM，MF=CM，NE=FM，NE∥FM，可得四边形MENF是平行四边形，根据四边形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠A=∠D=90°，证明△ABM≌△DCM，可得BM=CM，根据E、F分别是BM、CM的中点，可得ME=MF，则平行四边形MENF是菱形；
（2）由四边形MENF是正方形，则∠EMF=90°，又△ABM≌△DCM，则△ABM、△DCM为等腰直角三角形，可得AM=DM=AB，AD=2AB，即可得证当AD=2AB时，四边形MENF是正方形．
【详解】（1）四边形MENF是菱形．
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴，NE=CM，MF=CM，
∴NE=FM，，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME=MF，
∴平行四边形MENF是菱形．
（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
∵四边形MENF是正方形，则∠EMF=90°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM=DM=AB，
∴AD=2AB，
∴当AD=2AB时，四边形MENF是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)△ABC是等腰三角形
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）添加条件，使四边形BECD是正方形，即可 .
【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）证明：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当△ABC是等腰三角形时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：△ABC是等腰三角形．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形ABCD为正方形；
（2）根据邻边相等的矩形是正方形即可得证．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
所以添加条件：，则四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：由（1）可得四边形是矩形，
又，
所以四边形是正方形．
【点睛】本题考查了添加一个条件证明四边形是正方形，矩形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键．
29．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论；
（2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴正方形EFMN的周长为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解．
30．(1)见解析
(2)9
【分析】(1)首先根据矩形的性质可知，再根据直角三角形的性质可得，据此即可证得，即可证得结论；
(2)首先可证得△AGE∽△ABF，设，则，，再根据△ABF≌△DAE，可得，根据勾股定理可求得AF，再根据相似三角形的性质，可得△ABF的面积，据此即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵AF⊥DE，
∴，．
∴．
在△ABF与△DAE中，
∴．
∴．
∴矩形ABCD为正方形．
（2）解：∵，，
∴△AGE∽△ABF．
设，则，．
∵△ABF≌△DAE，
∴．
∴在Rt△ABF中，．
∴．
∵△AEG的面积为4，
∴△ABF的面积为13．
∴四边形BEGF的面积为：13-4=9．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
31．(1)见解析
(2)512
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用角平分线和平行线的性质证明，再利用等角对等边得出，最后利用正方形的判定即可证明；
（2）利用正方形的性质得出，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴．
即四边形的面积为512．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解第（1）问的关键，熟记菱形的面积公式是解（2）问的关键．
32．(1)当满足时，四边形为正方形，理由见解析
(2)
【分析】（1）先利用直角三角形的性质得到四边形是菱形，再利用正方形的判定即可得到结论；
（2）先利用直角三角形的性质及正方形的性质得到全等三角形，再利用全等三角形的性质得到的长度．
【详解】（1）解：当满足时，四边形为正方形，理由如下：
∵是边上的中线，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键．
33．(1)证明见解析
(2)
(3)10
【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得，即可解决问题；
（3）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
，
∴，
在和中，，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
为的中点，
，
在中，，
∵四边形是正方形，
，
，即，
解得，
则正方形的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
34．(1)45°
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴DF的长为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
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