第十九章 第3课时一次函数（2） 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 八年级数学下册人教版

第3课时—— 一次函数（2）
知识点一：一次函数的几何变换：
1. 一次函数的平移变换：
①一次函数的左右平移：
函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。
I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
②一次函数的上下平移：
函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。
I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
2. 一次函数的对称变换：
①函数关于轴对称：
若函数关于轴对称，函数的自变量 不发生变化 ，函数值变为原来的 相反数 。
即关于轴对称的函数解析式为 。
②函数关于轴对称：
若函数关于轴对称，函数的函数值 不发生变化 ，自变量变为原来的 相反数 。
即关于轴对称的函数解析式为 。
【类型一：求平移前后的函数解析式】
1．将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．将直线向左移1个单位，所得到的直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．将直线向上平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线，则平移前的直线解析式为： ．
【类型二：根据前后解析式判断平移情况】
6．在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，将直线l平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（　　）
A．将l向右平移4个单位长度 B．将l向左平移4个单位长度
C．将l向上平移4个单位长度 D．将l向下平移4个单位长度
7．在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣3x﹣1平移后，得到直线l2：y=﹣3x﹣4，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将l1向左平移1个单位 B．将l1向右平移1个单位
C．将l1向上平移2个单位 D．将l1向上平移1个单位
8．平移直线得到直线，正确的平移方式是（ ）
A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．在平面直角坐标系中，将直线平移得到的直线，则下列平移方式叙述错误的是（　　）
A．将向下平移12个单位长度得到l2
B．将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到l2
C．将向右平移4个单位长度得到l2
D．将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到l2
【类型三：利用平移求值】
10．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿y轴向上平移7个单位得到的，则m＝ ．
12．如图，A（1，0）、B（3，0）、M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=-x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围（ ）
A．3≤t≤7 B．3≤t≤6 C．2≤t≤6 D．2≤t≤5
【类型四：函数的对称】
13．直线关于轴对称的直线的函数表达式为 ．
14．直线 与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（　　）
A． B． C． D．
15．若直线与直线（）关于y轴对称，则直线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
16．已知直线向下平移2个单位长度后得到直线，且直线与直线关于y轴对称，则k的值为（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
知识点二：待定系数法求函数解析式：
1. 待定系数法求函数解析式的具体步骤：
具体步骤：
①设函数解析式——。
②找点——经过函数图像上的点。
③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。
④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。
⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。
【类型一：求正比例函数解析式】
17．一个正比例函数的图象过点，它的表达式为（ ）．
A． B． C． D．
18．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3
19．如果点A在正比例函数的图象上，它到x轴的距离是4，到y轴的距离是2，则正比例函数的解析式是 ．
【类型二：求一次函数解析式】
20．已知一次函数的表达式为，且当时，y的值是4，则该函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
21．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：
x … ﹣2 1 3 …
y … 7 ﹣2 ﹣8 …
则y与x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1
22．已知一次函数，当时，，当时，，求该一次函数的表达式．
23．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)试判断点是否在此一次函数的图象上．
24．如图，点坐标为，直线经过点和点，交轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，且满足，求点的坐标．
知识点三：一次函数与一次方程、与不等式：
1. 一次函数与一次方程：
①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为 。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。
2. 一次函数与二元一次方程组：
若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。
3. 一次函数与不等式：
①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。
4. 求函数交点坐标：
求函数与函数的交点坐标，只需建立方程
求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 纵坐标 。
【类型一：利用函数求方程的解】
25．如图一次函数的图象分别交轴，轴于点、，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，直线（）过点，则关于的方程的解为 ；
27．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是 ．
29．如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是 ．
【类型二：利用函数求不等式的解集】
30．一次函数（其中）的图像与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
31．已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ．
32．已知一次函数（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
33．如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
34．如图，已知一次函数与函数图象相交于点M，当时，x的值是 ，当时，x的取值范围是 ，当时，x的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
2．D
【分析】根据图象的平移规则：左加右减，上加下减进行平移即可．
【详解】若直线向左平移1个单位，则．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的平移，熟记左右平移只针对字母是解题的关键．
3．A
【分析】根据函数上下平移的规律：“上加下减常数项”可得出平移后的函数解析式，即可得出答案．
【详解】将直线向上平移2个单位长度，所得直线的关系式为：
故选：A
【点睛】此题考查了一次函数图像与几何变换，解答本题关键是掌握平移的法则：“左加右减括号x”，“上加下减常数项”．
4．D
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【详解】解：将直线y=-2x沿y轴向下平移4个单位后的直线所对应的函数解析式是：y=-2x-4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5．y＝2x+1
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线y＝2x﹣6，
则平移前的直线解析式为：y＝2（x+2）﹣6+3＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．
【详解】解：设将直线向左平移a个单位后得到直线（），
∴，
解得：，
故将直线向左平移个单位后得到直线，
同理可得，将直线向上平移4个单位后得到直线，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．
7．A
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】∵将直线l1：y=-3x-1平移后，得到直线l2：y=-3x-4，
∴可知是向下平移了3个单位长度，
观察选项中没有答案，
又y=-3x-4=-3(x+1)-1，
∴可知是将l1向左平移1个单位长度得到．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
8．A
【分析】根据“上加下减”法则进行判断即可.
【详解】将直线向上平移个单位长度得到直线，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数图像平移的性质，熟练掌握相关平移特点是解题关键.
9．D
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出结论即可．
【详解】解：A．将向下平移12个单位长度得到，即，故本选项不符合题意；
B．将向右平移2个单位长度可得，再向下平移6个单位长度得到，即，故本选项不符合题意；
C．将向右平移4个单位长度得到，即，故本选项不符合题意；
D．将向右平移3个单位长度得到，再向下平移2个单位长度得到，即，故平移方式错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
10．B
【分析】将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【详解】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．
11．4
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得m的值．
【详解】解：∵一次函数的图象沿y轴向上平移7个单位得到，
即，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平移规律，熟记知识点是解题关键．
12．C
【分析】分别求出直线经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】解：当直线y=-x+b过点B（3，0）时，
∴，
当直线y=-x+b过点M（4，3）时，
3=-4+b，
解得：b=7，
∴，
当y=0时，，解得：x=7，
∴，
∴若直线与线段BM有公共点，t的取值范围是：2≤t≤6，
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是根据题意求出直线经过点B、点M时的t的值．
13．
【分析】取直线上任意两点，然后求出这两点关于x轴的对称点坐标，最后根据待定系数法即可求解．
【详解】解：取直线上任意两点，，
，关于x轴的对称点分别为，，
设所求直线解析式为，
则，
解得，
∴函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握待定系数法是解题的关键．
14．D
【分析】根据直线（，且k，b为常数）关于x轴对称的性质求解．
【详解】∵直线l与直线关于x轴对称，
∴直线l的解析式为，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线（，且k,b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成：,即.
15．A
【分析】根据对称性求得m、n的值，进而求得直线y＝mx+n与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
【详解】解：∵直线y＝﹣4x+m与直线y＝nx+2（n≠0）关于y轴对称，
∴m＝2，，
∴m＝2，n＝4，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝2x+4，
令x＝0，则y＝4；
令y＝0，则x＝﹣2，
∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（﹣2，0）和（0，4），
∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为：×2×4＝4．
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键．
16．B
【分析】根据向下平移2个单位得，求出，再根据与关于y轴对称，求出k值即可．
【详解】解：∵向下平移2个单位得，
∴，
∵与关于y轴对称，
即与关于y轴对称，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查直线的平移和关于y轴对称的两条直线，一次项系数互为相反数．
17．A
【分析】设正比例函数为，将点代入求解即可．
【详解】解：设正比例函数为，将点代入得，
解得：，即，
故选A
【点睛】此题考查了待定系数法求解正比例函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法的应用．
18．B
【分析】根据正比例函数的待定系数法，即可求解．
【详解】设函数解析式为：y＝kx（k≠0），
∵图象经过(3，﹣3)，
∴﹣3＝k×3，解得：k＝﹣1，
∴这个函数的关系式为：y＝﹣x，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正比例函数的待定系数法，掌握待定系数法，是解题的关键．
19．或
【分析】根据题意写出A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式．
【详解】解：∵点到x轴的距离是4，到y轴的距离是2，
∴A点坐标为或或或，
把或代入得，解得，
此时正比例函数解析式为；
把或代入得，解得，
此时正比例函数解析式为；
综上所述，正比例函数解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，解题的关键是根据点到坐标轴的距离写出点的坐标．
20．B
【分析】根据待定系数法求解即可．
【详解】解：将，代入一次函数表达式，
可得，
解得，
∴该函数的表达式为．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正确计算是解题关键．
21．D
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式．
【详解】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（﹣2，7），（1，﹣2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣3x+1．
当x=3时，y=-3×3+1=-8
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题的关键．
22．
【分析】利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴，
解得：，
∴该一次函数的表达式为．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式的方法是解题的关键．
23．(1)；
(2)在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数解析式为，将点坐标代入即可求出的值，进而求解；
（2）将横坐标代入解析式，求得值，即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵，在函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由（1）知，函数解析式为：，
∴当时，，
∴点在一次函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握一次函数的一般形式是解题的关键．
24．(1)
(2)或
【分析】（1）设直线的函数表达式为，利用待定系数法将，代入即可求解；
（2）设点的坐标为，先求出点D的坐标，进而求出，由得，求出的值即可；
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：设点的坐标为
由（1）可知直线的函数表达式为，
令，得，
解得，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，平面直角坐标系内求三角形的面积，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
25．C
【分析】根据方程的解即为一次函数与x轴交点的横坐标进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点，
∴方程的解为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟知一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解是解题的关键．
26．
【分析】方程的解就是当时一次函数与轴的交点横坐标．
【详解】解：方程的解，即为函数图像与轴交点的横坐标，
∵直线过，
∴方程的解是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
27．C
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
28．
【分析】当时，的函数图象与的函数图像相交，从而可得到方程的解．
【详解】解：一次函数和正比例函数的图象交于点，
当时，，
方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．
29．
【分析】根据图象解出方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
∵直线与直线交于点，
∴关于x的方程的解是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，理解满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就定满足函数解析式．函数图象交点的横坐标为两函数解析式组成的方程的解是解题的关键．
30．A
【分析】根据一次函数（其中）的图像与轴交于点，得出，从而得出x的解集．
【详解】解：一次函数（其中的图像与轴交于点，
直线与轴的交点为，
，
，
一次函数是增函数，
关于的不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
31．
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
【详解】解：由图象得，
当时，对应的自变量x的值是0，该函数图象y随x的增大而减小，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的解集，利用数形结合思想解答是解题的关键．
32．C
【分析】从图象上可得函数值y随x的增大而减小以及函数与x轴的交点的横坐标，进而可求不等式的解集．
【详解】解：由图象可知，函数的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
∴当时，函数值大于0，
即关于x的不等式的解集是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系．解题的关键在于数形结合求解不等式的解集．
33．
【分析】要求的解集，即求的解集，根据函数图象写出点A左边部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵
∴
∴的解集，即为的解集，
由图可知，关于x的不等式的解是，
∴关于的不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
34． 1
【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．
【详解】解：由图象可知，当时，x的值是1；
当时，x的取值范围是；
当时，x的取值范围是．
故答案为：1，，．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程、与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
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