北京市中关村中学2023—2024学年第二学期期中调研高二数学（无答案）

北京市中关村中学2023—2024学年第二学期期中调研
高二数学 2024.4
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （共 40分）
一、选择题，本部分共 10题，每题 4分，共 40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目
要求的一项。
1.已知集合 A {x | 2x 3}， B {x | log2 x 1}，则 A B （ ）
A. [log 2 3, 2) B. (0, log2 3] C. (0, ) D. ( , log2 3]
2.下列函数的求导正确的是（ ）

A. e x e x B. ln x2 2 x C. e
x ln 3 1 ex 3 D. x
2 2
x
3.已知函数 f x cos x , x 0, ，则函数 f x 的极小值点为（ ）
2
5 5 1 5 5
A. 3 或 B. ( ， ) C. ( , ) D.
6 6 6 2 12 6 2 12 6
4.函数 f x x2 2x ex的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5.如图，在三棱锥 A BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且DB DC 2，点 E为 BC中点，
若直线 AE与CD所成的角为60 ，则三棱锥 A BCD的体积等于（ ）
2 2 2A． B．
3 3
4
C． D．2
3
6. 已知函数 f (x) ax ln x . 若对于任意 x1 x2 0，都有 f (x1) f (x2 )，则实数 a的范围是（ ）
A. [0, ) B. ( ,0] C. ( ,0) D. ( ,1]
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7.已知直线 y x m与圆O : x2 y2 4交于 A , B两点，且△AOB为等边三角形，则 m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 6
8. π一个小球作简谐振动，其运动方程为 x(t) 10sin(πt )，其中 x(t )（单位：cm）是小球相对于平
3
衡点的位移， t（单位：s）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， t （ ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
3 2 6
9. 已知等比数列 an 满足 a 32 q
1
1 ， ，记Tn a1a2 an (n N )，则数列{Tn}（ ）2
A．有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
10. 已知数列{an}满足 a 1 a a
1
1 ，
2
n 1 n a2 n
.给出下列四个结论中，所有正确结论的序号是( )
①数列{an}每一项 an都满足 0 an 1 (n N
) ; ② 数列{an}的前n项和 Sn 2 ;
2 1
③数列{an}每一项都满足 a 成立 ; ④ 数列{a }每一项 a 都满足 a ( )
n 1
n (n N ) .n 1 n n n 2
A.①③ B. ②④ C.①③④ D. ①②④
第二部分 （共 110分）
二、填空题，本题共 5小题，每题 5分，共 25分.
11. 双曲线 y
2 x2
1的实轴长为 ，渐近线方程为 .
25 9
z
12. 在复平面内，复数 z对应点的坐标为 Z (1,2)，则 z 的虚部为 ， i .
13.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn an 1，则 an ，数列 an 的前 n 项和
Tn .

14.已知等边 ABC的边长为 4，E，F 分别是 AB，AC 的中点，则 EF EA ;若M，N 是线段 BC

上的动点，且 MN 1，则 EM EN 的最小值为 .
15.已知函数 f (x) 2sin( x )的部分图象如图所示.
①函数 f (x)的最小正周期为 ；
②将函数 f (x)的图象向右平移 t(t 0)个单位长度，得到函数 g(x)
的图象.若函数 g(x)为偶函数，则 t的最小值是 .
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三、解答题，本题共 6小题，共 85分，请将答案写在答题卡相应位置.
16.（本题满分 14分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且满足 an 1 an 2， S2 a3 .
（1）若 a1，a3， am成等比数列，求 m的值；
（2）若数列 an bn 为等比数列， a1 b1,a2 b2 ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
a 2 2a 17
（3）设 cn n n ，直接写出数列 ca 1 n 的最小项.n
17. （本题满分 13分）
在 ABC中，bcosC ccosB 2acos A．
（1）求角 A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得 ABC存在且唯一确定，
求 ABC 的面积．
条件①： c 2a；
条件②： c 8；
1
条件③： cosC 7 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分．
18. （本题满分 14分）
如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是正方形，平面 A1ADD1 平面 ABCD，
AD 2， AA1 A1D .
（Ⅰ）求证： A1D AB；
Ⅱ 21（ ）若 AB与平面 A1DC1的所成角的正弦值为 ，7
求 AA1的长度.
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19.（本题满分 20分）
2
已知函数 f x ln x ax 2a 1 x ，其中a R .
（1）当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）当 a 1时，求函数 f x 在 (0,2]的最大值；
1
（3）当 a 时，求函数 f x 的单调区间；
2
1
（4）证明：当 a 0, 时，函数 f x 有且仅有一个零点.
2
20.（本题满分 14分）
x2 y2
已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
3
的一个焦点为 F (1,0)，且过点 (1, )．
a b 2
（1）求椭圆C的方程和离心率；
（2）过点 P(4,0)且与 x轴不重合的直线 l 与椭圆C交于 A， B两点，与直线 x 1交于点Q，
点M 满足MP x 轴，MB∥x轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值．
21.（本题满分 10分）
集合 S {a *1,a2 ,L,an}(ai N ,i 1,2,L,n)，集合T {bij | bij ai a j ,1 i j n}，
n(n 1)
若集合 T中元素个数为 ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 S
2
为“好集合”.
（Ⅰ）判断集合 S1 {1,2,3},S2 {1,2,3,4}是否为“好集合”;
（Ⅱ）若集合 S3 {1,3,5,m} (m 5)是“好集合”，求 m的值.
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