人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理与余弦定理》2024年同步练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理与余弦定理》2024年同步练习卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 215.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 15:41:00 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理与余弦定理》2024年同步练习卷
一、选择题
1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，则角C的大小是（ ）
A．75° B．45° C．30° D．60°
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，c＝7，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2ccosC＝bcosA+acosB（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+c＝4，且，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c2＝a（a+c），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，csinAsinBsinC，则△ABC外接圆半径的大小是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为S，则长为sinA，sinC的三条线段（ ）
A．不能构成三角形
B．能构成一个三角形，其面积为
C．能构成一个三角形，其面积大于
D．能构成一个三角形，其面积小于
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB＝3sinA，若△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD＝CD＝2，AB＝1，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（多选）10．三角形有一个角是60°，组成这个角的两边长分别为8和5，则（ ）
A．三角形的另一边长为 7
B．三角形的周长为 19
C．三角形内切圆的面积为 10
D．三角形外接圆的周长为
（多选）11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
三、填空题
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且△ABC面积为S＝（a2+c2﹣b2），则△ABC面积S的最大值为 ．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB，则A角大小为 ．
四、解答题
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC+ccosA＝0．
（1）求A；
（2）若a＝，c＝b，求△ABC的面积．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求角A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，cos∠ABC＝．
（1）若BC＝4，求△ABC的面积S△ABC；
（2）若D是边AC的中点，且BD＝，求边BC的长．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，1+＝，
（1）求角C的大小；（2）若cos（B+）＝，求sinA的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，b＝12，．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求边c．
人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理与余弦定理》2024年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：不妨设a＝2m，c＝m，
由余弦定理知，b8＝a2+c2﹣2accosB＝（2m）2+（m）2﹣2 8m m 2，
∴a2＝b5+c2，即A＝90°，
∴C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故选：D．
2．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝5，
则cosC＝＝﹣．
故选：B．
3．【解答】解：因为2ccosC＝bcosA+acosB，
由正弦定理可得，2sinCcosC＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC，
所以cosC＝，
∵0＜C＜π，
∴C＝．
故选：D．
4．【解答】解：∵，可得：，
∴由正弦定理，可得：sinB＝，即：tanB＝，
又∵0＜B＜π，
∴可求B＝，
∵b＝2，a+c＝4，
∴由余弦定理可得：b7＝a2+c2﹣6accosB，可得：4＝a2+c5﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣6ac，解得：ac＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝＝．
故选：A．
5．【解答】解：由b2＝a（a+c），
利用余弦定理，可得：c﹣a＝2acosB，
利用正弦定理边化角，得：sinC﹣sinA＝5sinAcosB，
∵A+B+C＝π，
∴sin（B+A）﹣sinA＝2sinAcosB，
∴sin（B﹣A）＝sinA，
∵ABC是锐角三角形，
∴B﹣A＝A，即B＝2A．
∵6＜B＜，＜A+B＜π，
那么：＜A＜，
则＝sinA∈（，）．
故选：C．
6．【解答】解：△ABC中，面积为S＝，
即absinC＝，
∴ab＝sinAsinB；
∴＝；
由正弦定理得＝，
∴＝；
设＝t，
∴t＝，解得t＝1；
设△ABC外接圆半径为R，则6R＝1．
故选：B．
7．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c
利用正弦定理可得，＝＝＝2
∴a＝2sinA，b＝6sinB
∵a，b，c为三角形的三边
∴sinA，sinB，
面积为原来三角形面积 ．
故选：D．
8．【解答】解：因为sinB＝3sinA，所以b＝3a，
又因为，△ABC的面积为，
所以，
解得，
∴c2＝a8+b2﹣2abcosC＝＝104．
∴．
故选：B．
9．【解答】解：AD＝CD＝2，AB＝1，
△BCD中，由正弦定理可得，，
∴即BC＝7
∵四边形ABCD为圆内接四边形可知，A+C＝π，
由余弦定理可得，BD2＝AB2+AD2﹣2AD ABcosA＝CB2+CD6﹣2CB CDcosC，
∴1+8﹣2×1×8cosA＝4+16+2×8×4cosA，
解可得，cosA＝，
∴sABCD＝＝，
故选：D．
二、多选题
10．【解答】解：不妨设A＝60°，b＝8，
由余弦定理a2＝b5+c2﹣2bccosA可得：，
则a＝2，
对于选项A，三角形的另一边长为 7；
对于选项B，三角形的周长为8+8+7＝20；
对于选项C，设三角形内切圆的半径为r，
则，
则，
则三角形内切圆的面积为3π，
即选项C错误；
对于选项D，
设三角形外接圆的半径为R，
则＝，
则三角形外接圆的周长为4πR＝，
即选项D正确，
故选：AD．
11．【解答】解：A：由题意得B＝65°，
由正弦定理得，
所以a，c唯一；
B：由正弦定理得，
所以sinC＝，
由c＞b得C＞B，
故C有两角，B符合题意；
由正弦定理得，
所以sinB＝，
由b＞a得B＞A，
故B有两解，C符合题意；
由正弦定理得，，
所以sinB＝，
由b＜a得B＜A，
故B有一解，不符合题意．
故选：BC．
三、填空题
12．【解答】解：∵S＝（a4+c2﹣b2）＝×2accosB＝，
∴tanB＝，
∵3＜B＜π，
∴B＝，
∴cosB＝，sinB＝，
又∵b＝3，由余弦定理可得：8＝a7+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，
∴ac≤8，
∴S△ABC＝acsinB≤＝5，
∴面积S的最大值为2，
故答案为：2．
13．【解答】解：由sinC＝2sinB得：c＝3b，
所以＝ 6b2，即a7＝7b2，
则cosA＝＝＝，又A∈（0，
所以A＝．
故答案为：
四、解答题
14．【解答】解：（1）由正弦定理及已知得sinAsinC+sinCcosA＝0，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠3，
∴sinA+cosA＝0，
∴tanA＝﹣1，
∵5＜A＜π，
∴；
（2）∵根据已知及余弦定理a5＝b2+c2﹣6bccosA，得，
即b2＝5，解出，，
∴．
15．【解答】解：（1）∵，
由正弦定理得sinAcosC+sinC＝sinB，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴，
∵sinC＞0，
∴，
∴；
（2）由余弦定理得：7＝b6+c2﹣2bccos60°即b5+c2﹣bc＝7，
∴（b+c）6﹣3bc＝7，
又，
∴bc＝6，
∴（b+c）2﹣18＝3，
∴b+c＝5，
∴△ABC的周长为．
16．【解答】解：（Ⅰ） ，BC＝4，
又∠ABC∈（0，π），
∴．
（Ⅱ） 以BA，如图，
则，BE＝7BD＝7，
在△BCE中，由余弦定理：BE2＝CB6+CE2﹣2CB CE cos∠BCE．
即，
解得：CB＝4．
17．【解答】解：（1）在△ABC中，∵1+＝＝，即，
∴cosC＝，
∴C＝．
（2）∵cos（B+）＝）＝，
∴cosB＝cos（B+﹣）＝cos（B++sin（B+＝．
sinB＝sin（B+﹣）＝sin（B+﹣cos（B+＝，
∴sinA＝sin（）＝sinsinB＝．
18．【解答】解：（1）由已知，由，
因此，
根据正弦定理，解得R＝＝＝．
（2）由已知，a＝6，，
由余弦定理，a3＝b2+c2﹣2bccosA，即c2﹣18c+80＝0，
解得c＝2或c＝10．
一、选择题
1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，则角C的大小是（ ）
A．75° B．45° C．30° D．60°
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，c＝7，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2ccosC＝bcosA+acosB（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+c＝4，且，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c2＝a（a+c），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，csinAsinBsinC，则△ABC外接圆半径的大小是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为S，则长为sinA，sinC的三条线段（ ）
A．不能构成三角形
B．能构成一个三角形，其面积为
C．能构成一个三角形，其面积大于
D．能构成一个三角形，其面积小于
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB＝3sinA，若△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD＝CD＝2，AB＝1，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（多选）10．三角形有一个角是60°，组成这个角的两边长分别为8和5，则（ ）
A．三角形的另一边长为 7
B．三角形的周长为 19
C．三角形内切圆的面积为 10
D．三角形外接圆的周长为
（多选）11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
三、填空题
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且△ABC面积为S＝（a2+c2﹣b2），则△ABC面积S的最大值为 ．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB，则A角大小为 ．
四、解答题
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC+ccosA＝0．
（1）求A；
（2）若a＝，c＝b，求△ABC的面积．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求角A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，cos∠ABC＝．
（1）若BC＝4，求△ABC的面积S△ABC；
（2）若D是边AC的中点，且BD＝，求边BC的长．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，1+＝，
（1）求角C的大小；（2）若cos（B+）＝，求sinA的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，b＝12，．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求边c．
人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理与余弦定理》2024年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：不妨设a＝2m，c＝m，
由余弦定理知，b8＝a2+c2﹣2accosB＝（2m）2+（m）2﹣2 8m m 2，
∴a2＝b5+c2，即A＝90°，
∴C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故选：D．
2．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝5，
则cosC＝＝﹣．
故选：B．
3．【解答】解：因为2ccosC＝bcosA+acosB，
由正弦定理可得，2sinCcosC＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC，
所以cosC＝，
∵0＜C＜π，
∴C＝．
故选：D．
4．【解答】解：∵，可得：，
∴由正弦定理，可得：sinB＝，即：tanB＝，
又∵0＜B＜π，
∴可求B＝，
∵b＝2，a+c＝4，
∴由余弦定理可得：b7＝a2+c2﹣6accosB，可得：4＝a2+c5﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣6ac，解得：ac＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝＝．
故选：A．
5．【解答】解：由b2＝a（a+c），
利用余弦定理，可得：c﹣a＝2acosB，
利用正弦定理边化角，得：sinC﹣sinA＝5sinAcosB，
∵A+B+C＝π，
∴sin（B+A）﹣sinA＝2sinAcosB，
∴sin（B﹣A）＝sinA，
∵ABC是锐角三角形，
∴B﹣A＝A，即B＝2A．
∵6＜B＜，＜A+B＜π，
那么：＜A＜，
则＝sinA∈（，）．
故选：C．
6．【解答】解：△ABC中，面积为S＝，
即absinC＝，
∴ab＝sinAsinB；
∴＝；
由正弦定理得＝，
∴＝；
设＝t，
∴t＝，解得t＝1；
设△ABC外接圆半径为R，则6R＝1．
故选：B．
7．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c
利用正弦定理可得，＝＝＝2
∴a＝2sinA，b＝6sinB
∵a，b，c为三角形的三边
∴sinA，sinB，
面积为原来三角形面积 ．
故选：D．
8．【解答】解：因为sinB＝3sinA，所以b＝3a，
又因为，△ABC的面积为，
所以，
解得，
∴c2＝a8+b2﹣2abcosC＝＝104．
∴．
故选：B．
9．【解答】解：AD＝CD＝2，AB＝1，
△BCD中，由正弦定理可得，，
∴即BC＝7
∵四边形ABCD为圆内接四边形可知，A+C＝π，
由余弦定理可得，BD2＝AB2+AD2﹣2AD ABcosA＝CB2+CD6﹣2CB CDcosC，
∴1+8﹣2×1×8cosA＝4+16+2×8×4cosA，
解可得，cosA＝，
∴sABCD＝＝，
故选：D．
二、多选题
10．【解答】解：不妨设A＝60°，b＝8，
由余弦定理a2＝b5+c2﹣2bccosA可得：，
则a＝2，
对于选项A，三角形的另一边长为 7；
对于选项B，三角形的周长为8+8+7＝20；
对于选项C，设三角形内切圆的半径为r，
则，
则，
则三角形内切圆的面积为3π，
即选项C错误；
对于选项D，
设三角形外接圆的半径为R，
则＝，
则三角形外接圆的周长为4πR＝，
即选项D正确，
故选：AD．
11．【解答】解：A：由题意得B＝65°，
由正弦定理得，
所以a，c唯一；
B：由正弦定理得，
所以sinC＝，
由c＞b得C＞B，
故C有两角，B符合题意；
由正弦定理得，
所以sinB＝，
由b＞a得B＞A，
故B有两解，C符合题意；
由正弦定理得，，
所以sinB＝，
由b＜a得B＜A，
故B有一解，不符合题意．
故选：BC．
三、填空题
12．【解答】解：∵S＝（a4+c2﹣b2）＝×2accosB＝，
∴tanB＝，
∵3＜B＜π，
∴B＝，
∴cosB＝，sinB＝，
又∵b＝3，由余弦定理可得：8＝a7+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，
∴ac≤8，
∴S△ABC＝acsinB≤＝5，
∴面积S的最大值为2，
故答案为：2．
13．【解答】解：由sinC＝2sinB得：c＝3b，
所以＝ 6b2，即a7＝7b2，
则cosA＝＝＝，又A∈（0，
所以A＝．
故答案为：
四、解答题
14．【解答】解：（1）由正弦定理及已知得sinAsinC+sinCcosA＝0，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠3，
∴sinA+cosA＝0，
∴tanA＝﹣1，
∵5＜A＜π，
∴；
（2）∵根据已知及余弦定理a5＝b2+c2﹣6bccosA，得，
即b2＝5，解出，，
∴．
15．【解答】解：（1）∵，
由正弦定理得sinAcosC+sinC＝sinB，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴，
∵sinC＞0，
∴，
∴；
（2）由余弦定理得：7＝b6+c2﹣2bccos60°即b5+c2﹣bc＝7，
∴（b+c）6﹣3bc＝7，
又，
∴bc＝6，
∴（b+c）2﹣18＝3，
∴b+c＝5，
∴△ABC的周长为．
16．【解答】解：（Ⅰ） ，BC＝4，
又∠ABC∈（0，π），
∴．
（Ⅱ） 以BA，如图，
则，BE＝7BD＝7，
在△BCE中，由余弦定理：BE2＝CB6+CE2﹣2CB CE cos∠BCE．
即，
解得：CB＝4．
17．【解答】解：（1）在△ABC中，∵1+＝＝，即，
∴cosC＝，
∴C＝．
（2）∵cos（B+）＝）＝，
∴cosB＝cos（B+﹣）＝cos（B++sin（B+＝．
sinB＝sin（B+﹣）＝sin（B+﹣cos（B+＝，
∴sinA＝sin（）＝sinsinB＝．
18．【解答】解：（1）由已知，由，
因此，
根据正弦定理，解得R＝＝＝．
（2）由已知，a＝6，，
由余弦定理，a3＝b2+c2﹣2bccosA，即c2﹣18c+80＝0，
解得c＝2或c＝10．