7.1任意角的概念与弧度制 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.1任意角的概念与弧度制 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-05 06:25:10 | ||
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文档简介
7.1 任意角的概念与弧度制 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．在人大附中节活动的入场券中有如下图形，单位圆与轴相切于原点，该圆沿轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应轴的位置正好是，若在整个运动过程中当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为），此时小猫头鹰位于处，圆与轴相切于，则劣弧AB所对应的扇形面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
8．角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．终边在轴上的角的集合是
B．终边在轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在上角的集合
10．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
11．下列说法正确的是（ ）
A．与的终边相同
B．若为第二象限角，则为第一象限角
C．终边经过点的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
12．已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是 .
14．在0到范围内，与角终边相同的角是 .
15．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
16．如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
四、解答题
17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
18．已知角的终边在直线上，
(1)写出角的集合；
(2)写出集合中适合不等式的元素.
19．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.
(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
20．已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
21．如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为．
(1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
(2)当时，求弧的中点到弦的距离
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
根据题意，可得α＝2，l＝4，所以，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】设扇形的半径为，圆心角为，由弧长与半径的关系求出，再由面积求出，即可求出扇形的周长.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
所以，
扇形的面积，解得或（舍去），
所以，
则该扇形的周长为.
故选：C
3．A
【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】由圆与圆外切，得，
又圆、圆与轴分别相切于原点和，则，
依题意，圆沿轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB长等于长2，
所以劣弧AB所对应的扇形面积是.
故选：A
4．B
【分析】由条件结合弧长公式求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式可得答案．
【详解】因为扇形的圆心角，它所对的弧长，
所以根据弧长公式可得，圆的半径，
所以扇形的面积；
故选：B．
5．C
【分析】根据终边相同的角的表示，将转化为到之间，从而判断角所在的象限.
【详解】，所以的终边所在的象限是第三象限.
故选：C.
6．D
【分析】直接根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】由扇形弧长公式，解得，
故选：D．
7．B
【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
8．D
【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.
【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于y轴对称，
所以．
故选：D．
9．ABC
【分析】利用终边相同的角的定义求解.
【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确；
B.终边在轴上的角的集合是，故正确；
C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确；
D.终边在上角的集合，故错误；
故选：ABC
10．AB
【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得.
【详解】对于A项，因，故A项正确；
对于B项，因，故B项正确；
对于C项，因，故C项错误；
对于D项，因，故D项错误.
故选：AB.
11．ACD
【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D.
【详解】对于A，因为，所以与的终边相同，正确；
对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误；
对于C，终边经过点的角的集合是，正确；
对于D，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，正确.
故选：ACD
12．ABD
【分析】借助终边相同的角的概念逐项计算即可得.
【详解】由题意可得，
当时，，故A正确；
当时，，故D正确；
当时，，故B正确；
令，解得，不符，故C错误.
故选：ABD.
13．.
【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可.
【详解】
如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，
则，
即，，
所以展台的面积为
故答案为：.
14．/
【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案.
【详解】与角终边相同的角的集合为，
取，可得．
在0到范围内，与角终边相同的角是.
故答案为：.
15．
【分析】根据扇形弧长与面积公式求解即可得答案.
【详解】设扇形的半径为，此扇形的圆心角为，
则，解得.
故答案为：.
16．
【分析】根据题设条件可得的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得的周期和相邻零点间的图象与轴所围区域的面积.
【详解】设，
如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，
开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，
然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，
当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，
当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，
点从开始到时是一个周期，故的周期为，
如图，为相邻两个零点，
在上的图像与轴围成的图形的面积为：
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可.
17．(1)
(2)，，
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【详解】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用终边相同角的公式可得答案；
（2）对整数赋值，结合角的范围可得答案.
【详解】（1）角的终边在直线上
且直线与轴正半轴的夹角为，
角的集合.
（2）在中，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
中适合不等式的元素分别是.
19．(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解；
（2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米.
因为，所以，所以.
因为厘米，所以厘米.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为160厘米.
（2）因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以
所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米.
20．(1)，最小值为；
(2)，最大值为．
【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解.
（2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解.
【详解】（1），
则．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立．
此时．
当时，最小，最小值为．
（2），．
．
当，即时，．
当时，最大，最大值为．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值
（2）利用垂径定理结合解直角三角形可得．
【详解】（1）设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
所以，
，
当且仅当，即，取得最大值
（2）设交于，则由垂径定理得，
，
由（1）知，，
所以，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．在人大附中节活动的入场券中有如下图形，单位圆与轴相切于原点，该圆沿轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应轴的位置正好是，若在整个运动过程中当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为），此时小猫头鹰位于处，圆与轴相切于，则劣弧AB所对应的扇形面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
8．角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．终边在轴上的角的集合是
B．终边在轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在上角的集合
10．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
11．下列说法正确的是（ ）
A．与的终边相同
B．若为第二象限角，则为第一象限角
C．终边经过点的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
12．已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是 .
14．在0到范围内，与角终边相同的角是 .
15．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
16．如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
四、解答题
17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
18．已知角的终边在直线上，
(1)写出角的集合；
(2)写出集合中适合不等式的元素.
19．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.
(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
20．已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
21．如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为．
(1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
(2)当时，求弧的中点到弦的距离
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
根据题意，可得α＝2，l＝4，所以，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】设扇形的半径为，圆心角为，由弧长与半径的关系求出，再由面积求出，即可求出扇形的周长.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
所以，
扇形的面积，解得或（舍去），
所以，
则该扇形的周长为.
故选：C
3．A
【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】由圆与圆外切，得，
又圆、圆与轴分别相切于原点和，则，
依题意，圆沿轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB长等于长2，
所以劣弧AB所对应的扇形面积是.
故选：A
4．B
【分析】由条件结合弧长公式求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式可得答案．
【详解】因为扇形的圆心角，它所对的弧长，
所以根据弧长公式可得，圆的半径，
所以扇形的面积；
故选：B．
5．C
【分析】根据终边相同的角的表示，将转化为到之间，从而判断角所在的象限.
【详解】，所以的终边所在的象限是第三象限.
故选：C.
6．D
【分析】直接根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】由扇形弧长公式，解得，
故选：D．
7．B
【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
8．D
【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.
【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于y轴对称，
所以．
故选：D．
9．ABC
【分析】利用终边相同的角的定义求解.
【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确；
B.终边在轴上的角的集合是，故正确；
C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确；
D.终边在上角的集合，故错误；
故选：ABC
10．AB
【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得.
【详解】对于A项，因，故A项正确；
对于B项，因，故B项正确；
对于C项，因，故C项错误；
对于D项，因，故D项错误.
故选：AB.
11．ACD
【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D.
【详解】对于A，因为，所以与的终边相同，正确；
对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误；
对于C，终边经过点的角的集合是，正确；
对于D，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，正确.
故选：ACD
12．ABD
【分析】借助终边相同的角的概念逐项计算即可得.
【详解】由题意可得，
当时，，故A正确；
当时，，故D正确；
当时，，故B正确；
令，解得，不符，故C错误.
故选：ABD.
13．.
【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可.
【详解】
如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，
则，
即，，
所以展台的面积为
故答案为：.
14．/
【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案.
【详解】与角终边相同的角的集合为，
取，可得．
在0到范围内，与角终边相同的角是.
故答案为：.
15．
【分析】根据扇形弧长与面积公式求解即可得答案.
【详解】设扇形的半径为，此扇形的圆心角为，
则，解得.
故答案为：.
16．
【分析】根据题设条件可得的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得的周期和相邻零点间的图象与轴所围区域的面积.
【详解】设，
如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，
开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，
然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，
当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，
当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，
点从开始到时是一个周期，故的周期为，
如图，为相邻两个零点，
在上的图像与轴围成的图形的面积为：
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可.
17．(1)
(2)，，
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【详解】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用终边相同角的公式可得答案；
（2）对整数赋值，结合角的范围可得答案.
【详解】（1）角的终边在直线上
且直线与轴正半轴的夹角为，
角的集合.
（2）在中，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
中适合不等式的元素分别是.
19．(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解；
（2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米.
因为，所以，所以.
因为厘米，所以厘米.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为160厘米.
（2）因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以
所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米.
20．(1)，最小值为；
(2)，最大值为．
【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解.
（2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解.
【详解】（1），
则．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立．
此时．
当时，最小，最小值为．
（2），．
．
当，即时，．
当时，最大，最大值为．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值
（2）利用垂径定理结合解直角三角形可得．
【详解】（1）设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
所以，
，
当且仅当，即，取得最大值
（2）设交于，则由垂径定理得，
，
由（1）知，，
所以，
所以．
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