第七章三角函数 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教B版（2019）必修第三册

第七章 三角函数 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．7 B．5 C．9 D．11
2．若，使等式成立的的值是（ ）
A． B． C． D．
3．设，条件，条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在区间上单调递增
C．的最小正周期为
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
二、多选题
9．已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
10．已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在上有2个零点
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
12．已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题
13．若，则的值为 ．
14．已知向量，则集合中的所有元素之和为 ．
15．若的最大值为3，则 ．
16．已知函数的部分图像如图所示，则 ， ．
四、解答题
17．函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值；
(3)若恒成立，求的取值范围.
18．已知函数的图象关于直线对称．
(1)求的解析式及零点；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象，若，求函数的值域.
20．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．
(1)若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若函数，，且与具有关系，求a的最大值；
(3)若函数，，且与具有关系，求m的取值范围．
21．已知函数（）的最小正周期为．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，，求．
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参考答案：
1．D
【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值.
【详解】，
，，
由题可知，，，解得，，
又，当时，取得最小值11．
故选：D．
2．D
【分析】结合特殊角的正弦值利用终边相同的角求解即可.
【详解】由得，所以，
又，所以，所以或，
因为，所以的值是或.
故选：D
3．B
【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．
【详解】由于，
若，则，充分性不成立，
若，则，必要性成立，
故是的必要不充分条件．
故选：B．
4．D
【分析】利用三角函数的图象的平移变换可得，结合正弦函数的对称性可知，再根据三角函数的单调性即可求解.
【详解】由题知，
∵的图象关于原点对称，
∴，，解得，，
∵，当时，，
∴．
由，，得，，
∴函数的单调递增区间为，.
故选:D．
5．A
【分析】由利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
6．B
【分析】根据余弦的定义计算即可.
【详解】由题知，解得．
故选：B.
7．C
【分析】利用三角函数及对数函数的性质计算即可.
【详解】易知 时，，所以，
又为单调递减函数，
所以时，，
而，所以的值域是，
则.
故选：C
8．D
【分析】由正弦型函数的解析式结合正弦函数的性质，求最小值单调区间和最小正周期，由函数图象的平移求解析式.
【详解】函数，
因为，所以，所以，故A错误；
当时，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故B错误；
的最小正周期，故C错误；
将的图象向右平移个单位，
得到，故D正确.
故选：D.
9．AB
【分析】根据给定的函数图象，结合函数解析式，利用五点法作图求出参数，再逐项分析判断得解.
【详解】对于A，观察图象，得，周期，则，
又，则，又，于是，
因此，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在是递减，
因此在区间上单调递减，B正确；
对于C，，的图象关于直线不对称，C错误；
对于D，的图象向右平移个单位长度得，D错误.
故选：AB
10．BCD
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为的图像关于原点对称，
则，解得，又，
则时，，所以，故A错误；
因为，所以的图像关于点对称，故B正确；
当时，则，且函数在单调递减，故C正确；
令，即，解得，又，
则，共两个零点，故D正确；
故选：BCD
11．CD
【分析】首先结合图象求出的解析式，再结合余弦型函数的图象与性质逐项分析即可.
【详解】由图可知，，
所以，因为且点在递减区间上，所以，
则，
又，，且点在递减区间上，
所以，则，
又，所以，故，
则，则的最小正周期，
因为，故A错误；
因为的最小正周期，即，所以，故B错误；
当时，，
因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度得到，
又为奇函数，函数图象关于原点对称，故D正确；
故选：CD.
12．BD
【分析】根据对称轴得到解析式.根据图像平移判断A选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角的三角函数值，得到B选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD两个选项进行判断.
【详解】因为函数图象的一条对称轴为直线，所以，得，因为，所以，从而.
选项A：将的图象向左平移个单位长度得到
而，所以平移后得不到函数的图象，故A错误.
选项B：令，即，所以，故B正确.
选项C：由，令，根据正弦函数单调性知在上单调递增，在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，在上单调递减，故C错误.
选项D：由得，区间长度为.
根据正弦函数图象和性质，当区间关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，为;
当区间关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将看成一个整体，根据的范围得到的范围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质.
13．
【分析】根据条件求出，再将所求式子弦化切代入运算得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
14．0
【分析】由题意可得，可得，计算可得，分类讨可求的值，可得结论.
【详解】因为，，
所以，
整理得，
因为，所以，
所以，所以，
所以或
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
综上所述：集合中的所有元素之和为.
故答案为：.
15．
【分析】根据正弦函数与余弦函数的最值分析，结合诱导公式可得．
【详解】由题意与同时取得最大值1，因此，，
故答案为：．
16． 2 /
【分析】由图象首先得，然后由点对应的正弦函数上的点求出，再由图象确定周期，得值．
【详解】由图形，
，，由图象知，而，所以，
由图象知最小正周期为，所以，
故答案为：2；．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可；
（2）根据诱导公式可求解；
（3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由图可得，
函数过点，
所以，则，
解得，
又，则，所以；
（2）若，即，
而；
（3）因为，所以，
则，令，
设，则恒成立，
由二次函数的图象性质可知，只需，
解得，故的取值范围为.
18．(1)，.
(2).
【分析】（1）由题意先求出，再求出的零点；
（2）由图象平移与变换法则得到，再利用整体代入法即可得解.
【详解】（1）的图象关于直线对称，
，得，
又，，，
令，即，得，
的零点为.
（2）由将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到，
令，，可得，，
故的单调递减区间为．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据函数图象可得，，由图象和公式求得，由求得，即可求解；
（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域.
【详解】（1）根据函数图象可得，，
，，
，得，，
又，，，
，，得，，
又，，
；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，
再向左平移个单位得到，
，
当时，，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，即的值域为
20．(1)与是否具有关系，理由见解析
(2)5
(3)或
【分析】（1）先求出，在的值域为，从而得到对任意的，存在，使得，得到结论；
（2）求出，结合，得到，得到不等式，求出的取值范围，求出最大值；
（3）由题意得到的值域，其中，换元后得到，由对称轴进行分类讨论，得到的值域，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）与是否具有关系，理由如下：
时，，故，
，
又在的值域为，
由于，即是的真子集，
故对任意的，存在，使得，
与是否具有关系.
（2）时，，
由题意得，任意的，存在，使得，
又，，
故，即，解得，
故的最大值为5；
（3）由题意得对任意的，存在，使得，
又，
故的值域，
令，，
令，则，
设，
若对称轴，即时，，
则，解得，与求交集，结果为，
若，即时，，
则，解得，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
综上，或
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）借助正切函数的周期性可得的解析式，利用正切型函数的单调性计算即可得；
（2）借助同角三角函数基本关系可得，结合诱导公式即可得解.
【详解】（1）由题可知，解得，所以，
令，，
可得，，
所以的单调递增区间为，；
（2），即，
因为，所以，
所以，
所以．
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