2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知，则下面说法正确的是( )
A. 点的坐标是 B. 当是原点时，点的坐标是
C. 当是原点时，点的坐标是 D. 点的坐标是
3.设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.复数，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形解的情况为( )
A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 有无数解
6.定义：若为虚数单位，则称复数是复数的平方根根据定义，则复数的平方根是( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.在平行四边形中，是的中点，是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 零向量与任一向量平行 B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 单位向量是模为的向量 D. 方向相反的两个非零向量必不相等
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
11.已知向量，，则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则或
D. 若与的夹角为锐角，则
12.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数的三角形式的辅角主值为______．
14.设，为单位向量，且，则 ______．
15.如图，小明同学在山顶处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上，两点的俯角分别为，，且若山高，汽车从点到点历时，则这辆汽车的速度为______．
16.在中，满足，过的直线与，分别交于，两点若，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，且的面积为，求，．
19.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，是边的中点．
试用，表示，；
求的值．
20.本小题分
已知向量，，．
若，求实数；
设满足，且，求的坐标．
21.本小题分
如图，在平面四边形中，，设．
若，，求的长度；
若，求．
22.本小题分
在直角梯形中，，，，，是线段上包括端点的一个动点．
若时，
求的值；
若，求的值；
若，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为是纯虚数，
所以，解得．
故选：．
根据纯虚数的定义求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，不能得出点的坐标是，选项A错误；
当是原点时，点的坐标是，选项B正确；
当是原点时，点的坐标是，选项C错误；
点的坐标不一定是，选项D错误．
故选：．
根据平面向量的坐标表示，判断即可．
本题考查了平面向量的坐标表示应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
则在上的投影向量为，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，
故选：．
利用模的计算公式、复数三角形式的运算法则即可得出．
本题考查了模的计算公式、复数三角形式的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在中，由正弦定理有，，，，
，，，，，
只能为锐角的一个值，所以只有一个解．
故选：．
利用正弦定理得，进而结合，进行判断即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设为虚数单位为复数的平方根，
则，
由复数相等可得，
解得，或，
或
故选：．
由复数相等可得的方程组，解方程组可得．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，是的中点，是的中点，
．
故选：．
由图形结合向量的加法运算与数乘运算求解．
本题考查平面向量的基本定理，考查数形结合思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，是单位向量，
所以，即，
所以，解得，
又，
所以的取值范围为．
故选：．
将平方，结合题意可得，由此可得的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于，根据单位向量的定义，可知项正确；
对于，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，项正确．
故选：．
根据零向量的定义与性质，判断出项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出、两项的正误；根据单位向量的定义，判断出项的正误．
本题主要考查了共线向量、零向量和单位向量的定义，向量相等的条件等知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，在中，由正弦定理得：，为外接圆的半径，
因为，所以，所以，故A项正确；
对于选项B，在中，由正弦定理得：，为外接圆的半径，
因为，所以，所以，所以，故B项错误；
对于选项C，若，由正弦定理可得，
即，所以即或，即，
所以为等腰角三角形或直角三角形，故C项错误；
对于选项D，若为锐角三角形，则，，
又正弦函数在为单调增函数，，即，故D项正确．
故选：．
根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正弦定理，三角函数性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，解得，故A正确；
由，得，解得，故B错误；
当与的夹角为时，，解得，故C错误；
当与的夹角为锐角时，有，且不共线，则解得且，故D错误．
故选：．
根据向量平行时的坐标关系即可判断A正确；根据向量垂直的充要条件即可判断B错误；根据向量夹角的余弦公式即可判断C错误；根据向量夹角为锐角时满足，且不共线即可求出的范围，从而判断D错误．
本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确．
故选：．
利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、，判断、、正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断正误．
本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：的辅角主值为．
故答案为：．
直接由辐角主值的定义，即可求解．
本题主要考查复数的三角表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，又，
，即，
，
解得．
故答案为：．
由向量的数量积及运算律计算可得解．
本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
由余弦定理可得，
这辆汽车的速度为，
故答案为：．
由余弦定理计算出的值，进而可计算汽车的速度．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
为的重心，且，
，且，，三点共线，
，且，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为：．
故答案为：．
根据题意知为的重心，从而可得出，再根据，，三点共线可得出，然后根据基本不等式和“的代换”即可求出的最小值．
本题考查了三角形重心的性质，三角形重心的定义，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
所以在复平面对应的点坐标为，
又因为在复平面对应的点落在第一象限，
所以，解得，
故实数的取值范为．
因为是方程的根，
所以也是方程的根，
所以，解得．
【解析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭，即可求解．
本题主要考查一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：在中，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
由得，，
由余弦定理得，即，
又的面积为，
，即，
，
联立得，．
【解析】应用正弦定理结合两角和差公式计算求解，即可得出答案；
应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，．
由题意可知，，，
又，，
所以．
【解析】利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；
以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
20.【答案】解：因为向量，，，
则，，
因为，
所以，
解得；
设，由题意，，，
由于，且，则，
解得或．
因此或．
【解析】利用向量垂直充要条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
先设，再利用题给条件列出关于实数，的方程组，解之即可求得实数，的值，进而得到的坐标．
本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量平行和向量垂直时的坐标关系，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得且，
可得，
在中，，
由余弦定理可知：，
所以．
因为，，所以，
又因为且，可得，，
在中，由正弦定理知，
所以，即，
可得，即．
【解析】根据题意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的长；
根据题意求得，得到，，在中，利用正弦定理求得，进而求得的值．
本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：如图，以为原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，
则，，，所以，．
；
设，则，，
，解得，
所以．
因为，设，则，所以，，
所以，，所以，
所以，
所以当时，最小，最小值为．
【解析】建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算即可；设点的坐标，利用，即可求出点坐标，即可求的值．
设，表示出点，的坐标，即可表示出的坐标，结合二次函数的性质可以求解．
本题考查了向量数量积的坐标表示，考查了数形结合思想及函数思想，属于中档题．
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